2022年数学中考综合题专题训练(压轴题)

2022年数学中考综合题专题训练(1)1.(2022湖南湘西)如图.抛物线与x轴相交于点A和点B,与y轴交于点C.(1)求点A、点B和点C的坐标.(2)求直线AC的解析式.(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点,且=6,求点M的坐标.(4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动(不与B,A重合),同时,点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t秒,请求出△APQ的面积S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,△APQ的面积最大,最大面积是多少?解：(1)令,(x+3)(x-1)=0,，A(-3,0)B.(1,0),C(0,3)(2)设直线AC的解析式为y=kx+b由题意,得解之得,y=x+3.(3)设M点的坐标为(x,)AB=4,因为M在第二象限,所以>0,所以=6解之,得,当x=0时,y=3(不合题意)当x=-2时,y=3.所以M点的坐标为(-2,3)(4)由题意,得AB=4,PB=4-t,∵AO=3,CO=3,∴△ABC是等腰直角三角形,AQ=2t,所以Q点的纵坐标为t, S=(1<t<4) 当t=2时△APQ最大,最大面积是.2.(2022湖南湘西)如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点(0，－6)和(3，－9)．(1)求出抛物线的解析式；(2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；(3)()()的坐标；(4)在满足(3)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．解：(1)依题意有即 ……2分 ……4分∴抛物线的解析式为：……5分 (2)把配方得，∴对称轴方程为 ……7分 顶点坐标 ……10分 (3)由点在抛物线上 有 ……12分 即 ∴ 或(舍去) ……13分 ∴ ∵点、均在抛物线上，且关于对称轴对称 ∴ ……15分 (4)连接，直线与对称轴相交于点 由于两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点，能够使 得△的周长最小．……17分 设直线的解析式 ∴有 ∴ ∴直线的解析式为： ……18分 设点 则有 ……19分 此时点能够使得△的周长最小． ……20分3.(2022湖南湘西)在直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是（3，0）．将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C．（1）求k的值；（2）求直线BC和抛物线的解析式；（3）求△ABC的面积；（4）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．解：（1）直线沿y轴向上平移3个单位后，过两点B，C.从而可设直线BC的方程为………..2分图1图2AECFBDAQCMBNP令，得C（0，3）……图1图2AECFBDAQCMBNP（2）由（1），直线BC的方程为…….7分又抛物线过点B，C∴∴抛物线方程为…….10分（3）由（2），令得…….12分即A（1，0），B（3，0），而C（0，3）∴△ABC的面积S△ABC=（3-1）·3=3平方单位…….15分（4）由（2），D（2，），设对称轴与x轴交于点F，与BC交于E，可得E（2，1），连结AE．∵∴AE⊥CE，且AE=，CE=（或先作垂线AE⊥BC，再计算也可）在Rt△AFP与Rt△AEC中，∵∠ACE=∠APE（已知）∴即=∴…….18分∴点P的坐标为（2，2）或（2，）…….20分（x轴上、下方各一个）（注：只有一个点扣1分）4.(2022湖南湘西)如图，等腰直角△ABC腰长为a，现分别按图1、图2方式在△ABC内内接一个正方形ADFE和正方形PMNQ．设△ABC的面积为S，正方形ADFE的面积为S1，正方形PMNQ的面积为S2，（1）在图1中，求AD∶AB的值；在图2中，求AP∶AB的值；（2）比较S1+S2与S的大小．解:（1）图1中，∵AD＝DF，∠B＝45°，从而DF＝DB，∴AD＝DB，∴AD∶AB＝1∶2……………2分图2中，∵PM＝MN，∠B＝45°，从而PM＝MB，∴MN＝MB，∴MN＝MB＝NC，∴AP∶AB＝PQ∶BC＝MN∶BC＝1∶3………..4分（2）图1中，S１＝…………6分又PQ∶BC=AP∶AB=1∶3，∴PQ=，∴S２＝………….8分ACOBMNDxy123从而S1+S2=又S=∴SACOBMNDxy1235.(2022湖南湘西)如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的正方形，M为OB的中点，将△沿直线AM对折，使O点落在处，连结，过点作于N.（1）写出点A、B、C的坐标；（2）判断△与△是否相似，若是，请给出证明；（3）求点的坐标.解：（1）∵OA=OB=2∴…3分（2）△∽△ …4分证：∵四边形是正方形∴又⊥∴∴又根据对称性质可知：于D点.∴在Rt△ODM中，在Rt△AOM中，∴∴△∽△ …6分（3）∵M是OB的中点∴∴在Rt△中，又∵OD是Rt△斜边上的高∴∴ ……8分又∵△∽△∴即∴∴ ………10分2022年数学中考综合题专题训练(2)6、如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数的图象为.（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图（2），求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标.（3）设P为y轴上一点，且，求点P的坐标.EF图1（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使为等腰三角形.若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.EF图1解：（1）等（满足条件即可）（2）设的解析式为，联立方程组，解得：，则的解析式为，点C的坐标为（）（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则，，，，，.得：.图2延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为，则点G的图2坐标为（0，），设点P的坐标为（0，）当点P位于点G的下方时，，连结AP、BP，则，又，得，点P的坐标为（0，）.当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为（0，）.综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，）(4)作图痕迹如答图2所示.由图可知，满足条件的点有、、、，共4个可能的位置.7、如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．(第24题图①)图(第24题图①)图②点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．解：(1)Q（1，0）点P运动速度每秒钟1个单位长度．(2)过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，.∴.在Rt△AFB中，.过点作⊥轴于点,与的延长线交于点.∵∴△ABF≌△BCH.∴.∴.∴所求C点的坐标为（14，12）.(3)过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，则△APM∽△ABF.∴..∴.∴.设△OPQ的面积为(平方单位)∴(0≤≤10).∵<0∴当时,△OPQ的面积最大.此时P的坐标为(，).当或时,OP与PQ相等.8、如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=，关于x的一元二次方程：2x2－2(m+2)x+2m+5=0(m>0)有两个相等的实数根（1）试求出m的值，并求出经过点A（0，－m）和点D（m，0）的直线解析式；（2）在线段AD上顺次取两B、C，使AB=CD=－1，试判断ΔOBC的形状；（3）设直线l与直线AD交于点P，图中是否存在与ΔOAB相似的三角形？如果存在，lOlO1－1xy解：（1）由题意得Δ=[－2（m+2）]2－4×2×（2m∴m=.∵m>0，∴m=.∴点A（0，－）、D（，0）.设经过A、D两点的直线解析式为y=kx+b，则解得∴y=x－.（2）作OE⊥AD于E，由（1）得OA=OD=，∴AD=，∴OE=AE=ED=.∵AB=CD=－1，∴BE=EC=1，∴OB=OC.在RtΔOBE中，tan∠OBE=，∴ΔOBC为等边三角形.（3）存在，ΔODC、ΔOPC、ΔOPA.9.(2022湖南湘西)已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（）是方程的两个根.（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标；（3）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），过E作EF∥AC交BC于F，连CE，设，△的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.（4）在（3）的基础上说明S是否存在最大值，并求出此时点E坐标，判断此时△的形状；若不存在，请说明理由.（1）方程∴OB=2，OC=8∴B（2，0） C（0，8）∵函数∴A（，0）即A（，0）B（2，0） C（0，8）…3分（2）B点在上∴∴……5分故函数解析式为顶点坐标为，大致图象及顶点坐标如下图.………7分（3）∵AE=m，AB=8，∴∵OC=8，OA=6，据勾股定理得∵AC∥EF，∴即， ……………10分过F作FG⊥AB于G∵而，∴ ……………12分∵S=S△CEB－S△FEB=∴S与m的函数关系式为，m的取值为 ……………14分（4）∵中，S有最大值 ……………16分，当m=4时，S有最大值为8 ……………18分E点坐标为：E（，0）∵B（2，0），E（-，0）∴CE=CB∴△BCE为等腰三角形 ……………20分