2022高中数学知能优化训练湘教版选修

1．(2022年东城区高三质检)“x＝eq\f(π,4)”是“函数y＝sin2x取得最大值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当x＝eq\f(π,4)时，函数y＝sin2x＝sineq\f(π,2)＝1取得最大值；反过来，当函数y＝sin2x取得最大值时，不能推出x＝eq\f(π,4)，如x＝eq\f(5π,4)时，函数y＝sin2x也可取得最大值．综上所述，“x＝eq\f(π,4)”是“函数y＝sin2x取得最大值”的充分不必要条件，选A.2．(2022年高考陕西卷)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若a>0，则|a|>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分条件；若|a|>0则a>0或a<0，所以“a>0”不是“|a|>0”的必要条件．3．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，qp，所以q是p的必要条件．4．直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行的充要条件是m＝________.解析：由题意，得eq\f(2,3)＝eq\f(m,－1)≠eq\f(1,－1)，∴m＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)一、选择题1．(2022年高考福建卷)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A.由x＝4知|a|＝eq\r(42＋32)＝5；反之，由|a|＝eq\r(x2＋32)＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件，故选A.2．(2022年厦门市高三质检)若集合A＝{3，a2}，B＝{2,4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，又是必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若a＝2，则A＝{3,4}，可得A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则a2＝4，可得a＝±2，所以“a＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．3．(2022年高考天津卷)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A.∵x≥2，且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x2＋y2≥4的必要条件．4．(2022年高考福建卷)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选A.由a＝2能得到(a－1)(a－2)＝0，但由(a－1)·(a－2)＝0得到a＝1或a＝2，而不是a＝2，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件．5．(2022年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3解析：选A.要求a>b成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a>b，而由a>b推不出选项．在选项A中，a>b＋1能使a>b成立，而a>b时a>b＋1不一定成立，故A正确；在选项B中，a>b－1时a>b不一定成立，故B错误；在选项C中，a2>b2时a>b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3>b3是a>b成立的充要条件，故D也错误．6．在下列四个结论中，正确的有()①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①② B．③④C．①④ D．②③解析：选C.对于结论①，由x3＜－8⇒x＜－2⇒x2＞4；但是x2＞4⇒x＜－2或x＞2⇒x3＜－8或x3＞8，不一定有x3＜－8.故x3＜－8⇒x2＞4，但x2＞4A⇒\x3＜－8.所以①正确．对于结论②，在“△ABC为直角三角形”中没有明确哪个顶点为直角顶点，因此就不一定有“AB2＋AC2＝BC2”成立．故“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．对于结论④，由“a2＋b2≠0”⇒“a，b不全为0”，反之也成立，因此④正确，③错误．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p是q的必要条件，但不是充分条件．11．证明：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.证明：(1)必要性：∵f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)．∴b＝0.(2)充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，此时f(x)为奇函数．∴一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.12．已知条件p：－1≤x≤10，q：x2－4x＋4－m2≤0(m>0)不变，若p是q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？解：p：－1≤x≤10.q：x2－4x＋4－m2≤0⇔[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0(m>0)⇔2－m≤x≤2＋m(m>0)．因为p是q的必要而不充分条件，所以p是q的