推广23年乙卷导数压轴的八种方式（原卷版）

推广23年乙卷导数压轴的八种方式1.图像交点个数与转化典例（2023年乙卷21题）.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由.（3）若在存在极值，求的取值范围.推广1.图像交点个数与零点转化例1．已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

基本原理：1.已知，且的两个具体的根，求根的个数，或者根据解的个数求参数范围.解法剖析：换元，最终转化为根的个数，这类问题由于一元二次方程的根最终可以求解，所以实际就转化成函数作图后找到交点个数，或者根据交点个数求参数即可，且知一元二次型方程根的个数，求参数的取值范围.解法剖析：换元，最终转化为一元二次方程根的分布.3.一元二次方程根的分布对一元二次方程（其中）和二次函数，有：（1）方程的个根都比小的充要条件是（2）方程的个根都比大的充要条件是（3）方程的一根都在内，另一根在内的充要条件是（4）方程的个根都在内的充要条件是（5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要条件是.（6）方程的个根都在外，且一根比小，另一根比大的充要条件是4.求解复合函数零点问题的技巧:（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围.二．典例分析例1.函数，方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例2．已知函数，关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．

推广3.函数的对称性与零点问题一．基本原理1点关于点对称：点关于对称的点坐标为，一般地，若点关于直线对称的点为，可连接交于点，则垂直平分，所以，且为的中点，又因为在直线上，可得.进一步，我们可以通过上式算得：点关于直线对称的点的坐标可计算为.特别地：（1）点关于直线对称的点为（2）点关于直线对称的点为（3）点关于直线对称的点为性质1.轴对称:函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时.我们就称函数关于对称.代数表示:(1).(2).即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.性质2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.用代数式表示：(1).，(2).一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.上述问题经常可以通过两个函数图象上存在上述特征的对称点求参数范围而出现，其本质是一个方程根的存在性问题，我们的基本做法就是分离参数，然后求得参数的范围.二．典例分析例1.（2023武汉四月调考）已知函数，其中.（1）证明：恒有唯一零点；（2）记（1）中的零点为，当时，证明：图像上存在关于点对称的两点.

例2（广州一模T11）．已知函数，点分別在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（

）A．若关于的方程在上无解，则B．存在关于直线对称C．若存在关于轴对称，则D．若存在满足，则例3．（2023年乙卷21题）.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由.（3）若在存在极值，求的取值范围.

推广4.不动点问题一．基本原理1.不动点:已知函数,若存在,使得，则称为函数的不动点.不动点实际上是方程组的解的横坐标，或两者图象的交点的横坐标.2.稳定点:已知函数,若存在，使得，则称为函数的稳定点.显然,若为函数的不动点，则必为函数的稳定点.二．典例分析例1.设函数为自然对数的底数）.若存在使成立,则的取值范围是（）A.B. C. D.

推广5.保值区间例1．设函数，若存在区间，使在上的值域是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例2．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．

推广6.过点求切线一．求过点A处切线方程方法如下：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线.二．典例分析例1．（2021新高考1卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．例2.（2022新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________．例3．若过点可以作曲线的三条切线，则（）A． B．C． D．

推广7.公切线问题一.基本原理切线过点，求切线的方法：(要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点)，求法步骤：①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程：解出切点坐标，从而写出切线方程．二．典例分析例1．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．

.已知函数有极值点，求参数的值或范围,一般转化为由可以解出变号零点，所以本质仍是一个零点问题.例1．（2023年乙卷21题）.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由.（3）若在存在极值，求的取值范围.例2．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．导数与零点专题是高考考察的重点内容，下表列举了从18年起全国卷对这个点的考察：2022年2021年2020年2019年2018年全国一卷20题：证明零点个数全国二卷（乙卷）已知零点个数求参数20题：证明零点个数，公切线.21题：已知零点个数求参数全国三卷（甲卷）极值点偏移已知图象交点（零点个数）求参数21题：零点分布新高考1卷证明零点个数与零点同构极值点偏移新高考2卷已知零点个数求参数如上表所示，导数与零点是高考导数大题部分的重要命题方向之一，结合近五年全国主要地方的模拟考试题来看，该专题大致可以分为四个具体的命题方向：1.判断或证明零点个数.此题型以2019年全国一卷20题为典型例子，是一类较新的题型.重点考察学生利用函数单调性与值域，零点存在性定理准确的找到零点的存在性，突出考察学生的逻辑推理与数学运算素养，具有较高的综合性.2.已知零点个数求参数范围.此题型在16-18年连续三年均有考察，处理此类问题有两种常见的方法：含参数讨论及分离参数，重点考察学生利用函数单调性分析值域，数形结合解决问题.此题型还可衍生到对过点求切线个数，公切线个数的考察上.3.讨论或者证明零点所满足的分布特征.此题型以2020年全国三卷21题为典型例子，需要在找到零点的基础上进一步分析出零点所满足的分布，对学生的逻辑推理，严谨表达均有较高的要求.要考察变量替换与构造函数解决问题的基本方法，此类问题处理方法较多，有偏移法处理，变量代换