圆内接四边形与四点共圆-教案(有答案)

优秀教案 欢迎下载优秀教案 欢迎下载《圆内接四边形与四点共圆（选学）》教案设计引言：圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切G联系 ，？这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形。实际上，在许多题目G已知条件中，并没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把实际存在G圆找出来，然后再借助圆G性质得到要证明G结论。确定四点共圆G办法有哪些呢？思路一：用圆G定义：到某定点G距离相等G所有点共圆。 T若连在四边形内三边O中垂线相交于一点，那么这个四边形G四个顶点共圆。 （这三边G中垂线G交点就是圆心）。产生原因：圆G定义：圆可以看作是到定点G距离等于定长G点G集合。基本模型：AO=BO=CO=DO=A、B、C、D四点共圆（。为圆心）思路二：从被证共圆G四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。 T要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。思路三：运用有关性质和定理：①对角互补，四点共圆：对角互补G四边形G四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形G对角互补。基本模型：乙A+/D=1800(或/B+/D=1800)uA>BC、D四点共圆②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线G夹角相等，则这两个点和线段G两个端点共四个点共圆。产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对G圆周角相等。方法指导：把被证共圆G四个点连成共底边G两个三角形，且两三角形都在这底边G同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等 （同弧所对G圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。NCAB=NCDB ua、B、C、D四点共圆③同斜边G两个直角三角形G四个顶点共圆，其斜边为圆G直径。产生原因：直径所对G圆周角是直角。NC=2D=900 uA、B、C、D四点共圆④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角G四边形G四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形G外角等于内对角。基本模型：

EB、C、D四点共圆⑤用相交弦定理或切割线定理G逆定理：把被证共圆G四点两两连成相交G两条线段，若能证明它们各自被交点分成G两线段之积相等，即可肯定这四点共圆。 （相交弦定理G逆定理）产生原因：相交弦定理。基本模型：DAE,BE=CE，DEuA、B、C、D四点共圆把被证共圆G四点两两连结并延长相交G两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成G两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成G两线段之积，即可肯定这四点也共圆.（割线定理G逆定理）产生原因：割线定理。基本模型：E

EA*EB=ED*EC=EA*EB=ED*EC=A、B、C、D四点共圆二、新课探究例1、如图，AD、BE、CF是锐角AABCG三条高，H为垂心。（1）图中共有多少组四点共圆？（2）求证:/ADF=/ADE。分析：解工LI＞含H的共有三扪.孙上E：乩F；八不含用的也有三蛆‘口」所匕EC；CP.T.4r所以共有6班.f2）因为65尺;（四点共闾・ttZBDF-Zi又因为上ERK四点共解，故ZEDCm以从而ZBDF.ZEDC.由看角的余电相等.UlZA/n=ZAi）r由绪跄＜2）知—角&4叱的礁心If为SEF的内心.练习：锐角△ABCG三条高ADBE、CF交于H,在AB、C、DE、F、H七个点中，能TOC\o"1-5"\h\z组成四点共圆G组数是（ ）A4组B、5组C、6组D、7组分析：解：如图，以烦为斜边的两个直角三角形,四个顶点共回（M孔氏E）, A以B脑斜边的两个直角三角形，四个顶点共同（B、EH、口）， X以CH为斜边的两个直角三角龙.四个顶点共圆（「D、乩E）, 夕以AE为斜边的两个直角三角龙』四个顶点共圆（A、氏IkB）,以时为斜边的两个直角三角形」四个顶点共国（B、F,E、匚）- 口淤以AC为斜边的两个直角三角形.四个顶点共同（*艮D、C）, 5 DC共6蛆.故选C.

例2、已知△ABC为等腰直角三角形，/C为直角，延长CA至D,以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E,连CE,CEBDG延长线交圆。于另一点F,那么BDG值等于CF分析：.2理由：解：如图，连接AE，应，DF,.-,期为直径,/.ZAED=ZAEB=ZACB=90B,二晟匚、氏E四点共叵1，AZA£F=ZA£D,yVZAFC=ZADB>*BDAD'笳一期''/ZFAD=ZFED=ZEEC=ZBAC=45”在RtAMF中>墨十二4FAD=c=；5・二收.故答案为：J2.教师小结：在四点共圆G题目G已知条件中，通常没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把存在G圆找出来，然后再借助圆G性质进行相应G推导。练习：（2011湖北武汉中考题改编）如图，在菱形ABC邛，AB=BD点E,F分别在AB,AD上，且AE=DF连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H,则四边形BCDGD面积（记作：S四边形BCDG与边CGO关系是。S四边形BCDGS四边形BCDG-CG理由：•••/BGE=/BDG+/DBF=/BDG+/理由：•••/BGE=/BDG+/DBF=/BDG+/GDF=60=ZBCD,••・点B、C、D、G四点共圆，/BGC=/BDC=60,/DGC=/DBC=60/BGC=/DGC=60 。过点C作CM，GB于M,CN，GD于N.则△CBM9△CDN(HL)。S四边形BCDG=S四边形CMGN,S四边形CMGN=2S△CMG。/CGM=60,GM=-CG,CM=—CG,

2 2一S四边形CMGN=2S△CMG=2X—X—CGX22CG2。如图，锐角AABC中,/A=60°,且O、I、H分别为AABCg外心、内心和垂心。求证：OI=IH。分析:连结AO、AI、OC、IC、HC。易见/日久=24=120\/日日C=18(r-乙4=]20',上身。=90'+亏=120',且。1.H均在BC的同恻,故B.OLH.U五点共圆.因为『为内心，所以44密=4:队 ①又A4OB为等腰三角形，=-^(180,-A4O3)=^(]80D-2ZC)=90D-ZC=ZC3Ht即ZABO=ZCBH②由①一②得/0RH=£HRF,用由3QJHV五点共圆，得。『=『凡练习：如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3G内心是I1,△A2A3A4G内心是I2,△A3A4A1G内心是I3o求证：(1)A2、11、I2、A3四点共圆；(2)/I1I2I3=90°。3 3 33分析:证明：(1)如图，连提11Al,工也,工也，工2%和4%'丁工［是%峭］内心，，*/11*也二右工内与4/%%%1工工也％=〃也%而乙％%%r匚工［%人「上工1%%荏二%%49延长A占交四边形A也与与外接圆于F.则ZA211A^ZAjIiFt/F工［%=Zl向/+Zl1A2A［+/］ 3Al=1C/%%时4也%+£A3M)+*4%%=9口"+；£%%%,同理二/4%=9旷当/%%%,又T四边形％%%%内接于一圆，■9/1A2A］A-；i~^― ?,'■”与11%二乙/工£与*--Vir1r与四点共回；(”又连接,则由(1)知与、工尸工寸&四点共圆，二/1［工工/=18/-/工1%与=1如n-jZA^kj同理/工34%二［即_一£13A4%=180°AZI1I2I3=36O,-CZl^jAg+Zl^kj）=|（/%与与*£%,与）=90".三、反馈训练如图，。是RtAABC斜边ABG中点，CHXAB于H,延长CH至D,使得CH=DH,F为CO上任意一点，过B作BELAF于E,连接DE交BC于G。求证：/CAF=/CDE;分析:D二'AKBC是Rt三角琅，BE1ATZ.ZEEA=ZACE=90'』/.AjB.匚■D四点共图且尤是此圆直径』又？CH_L跖CH=DH,J口在此圆上j/.AjB,0■D.E五点共圆./.ZCAF=ZCDE；四、课外拓展1、已知△ABC中，/ACB=90°,AB边上G高线CH与△ABCG两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QNG中点分别为E、F,求证：EF//AB。B证明：连接匚F、FH,是/AB匚的平分线.■--ZABN=ZCEK*又TCML知事/.ZCQN=ZBQH=90B-ZAEK-90"-ZCBH=ZCWBjACQ=HC.又F是Q题中点」ACF±QW>***Z£FB加二4MB，AC.RME四点共图.又/FBF/FBC,AFC=FHj「,点F在（:期中垂线上，同理可证，点E在的中垂线上，AEF±CM>又AB_LCH,AEFZ^AE.2、如图所示，I为AABCG内心，求证：△BICG外心。与A、B、C四点共圆。证明：连接。灰B工、0C/由口是夕卜七佚口/工口。=2/工B匚.由工是内心知上ABO2N工BC.从而上工皿二二g匚.同理上工08二二KE.而ZA+/ABC+RMB=1HT,SJtZBOC+ZA=180',于是dB、MC四点共商.3、如图，BD,CE是^ABCG两条高，F和G分别是DE和BCG中点，。是^ABCO外心.求证：AO//FG。证明：如圉■连接GD和GE,丁ZBDC=ZEEC=9Qb，BG=BC,J.DG二叔二EG,又YDFRF,ABF±BE,延长。这口E于HjVZBDC=ZEEC=90"「.B>C,E,D四点共圆，ZDEB=ZDCB-^ZAOE,epZAEH=|zAOE>^VOA=CBjaZEAH=ZBAO=90'-^ZAOB,ZEAH+ZAEH=90n于是*AD±DE>即M_LDEAAO//FG.题单1、若一个圆经过梯形ABCDG四个顶点，则这个梯形是梯形。分析：解：：圆经过梯形ABCD的四个顶点.ZA+ZC=18OB,/ADX/BC,/.ZA+ZB=1SOD,•*.ZB=ZC,，梯走此⑪是等腰梯走.故答案为二等暧.2、、如图，已知△ABC中，/BACW90°,AD±BC连接CH,则/ACH+/BAE= 。（提示：i于点F。）答案：90°理由：.解：,「△咽。中■上EM#9（TjAD1BC-BE1AC>J点4R、D、E荏以AB为直径的⑤口上；辿点A作③。的切线灯交BC的延长线EC于点F,RIJATXKB.•二点H是三角形林C的垂心， /JCH〃城, \£4=女灯（两直线平行，内错角相等）；叉ZBAFkFM+NCAB二眦」；,BEXAC,且AD、BE。点H,iA作。OG切线交BCG延长线（A/-ZBAC+ZMCA=0O".由答案是：90・・3、如图，菱形ABCDG对角线CD,DAG中点，求证：E,F,AC和BD相交十。点，E,F,G,H分别是AB,BC,G,H四个点在以O为圆心G同一个圆上。D*分析:解：连接口E,UF•0G,DH.「四边形必⑪为菱形」=BC=CD=DA,且BD_LAC*VE>F、G出别为AB、EC*CD>DA的中点，aoe=of=og=qh=1ab,J，ErF*aH四点在以。为圆心，为半径的圆上.4、如图，正方形ABCDG中心为O,面积为1989cm2oP为正方形内一点，且/OPB=450,PA:PB=5:14,贝UPB二。（提示：连结OA、OB）分析：42cm。理由：解：连接U30B.；正方形ABCD的中心为口>Z0PB=45",./口E总45”I：,口，F,k,B四点共商，AZAFB=ZA0B=190B-4S"-45"=90'*在△口AB中由勾股定理得：PA2^PB2=AB2=1989,由于FA：FB=5：14.设时=5*■?B=14xj(5x)2+(14k)2=1989j解程-x=3jAPE-14x=42.故答案为：42cm.5、（2011山东济南中考压轴题）如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合）,分别以AC、BC为一腰在ABG同侧作等腰△ACD和△BCE,CA=CD,CB=CE,/ACD与/BCE都是锐角，且/ACD=/BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接CP。(1)求证：△ACE^ADCB;(2)请你判断^ACM与^DPMG形状有何关系并说明理由;(3)求证：/APC=ZBPC。分析：解：(1)证：・./ACD