圆锥曲线测试题(有答案)

圆锥曲线测试题(有答案)1.过椭圆$4x+y=1$的一个焦点$F_1$的直线与椭圆交于$A,B$两点，求$\triangleABF_2$的周长，其中$F_2$是椭圆的另一个焦点。解：由椭圆的性质可知，$F_1F_2$是椭圆的长轴，$AB$是椭圆上到直线距离和的平分线，因此$\triangleABF_2$是等腰三角形，周长为$2AB+F_1F_2=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，故选$\textbf{(B)}$。2.已知$x^2+y^2=1$是椭圆的两个焦点，问在$y>0$的区域内满足方程的点的个数。解：由椭圆的性质可知，椭圆上每个点到两个焦点的距离之和等于$2$，因此在$y>0$的区域内，满足方程的点的个数为$\boxed{\textbf{(A)}}$。3.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$，若过点$F$且倾斜角为$60^\circ$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）。解：直线与双曲线的交点在右支上，说明直线的斜率$k$满足$0<k<\frac{b}{a}$，又因为直线与双曲线的交点只有一个，说明直线与双曲线的判别式$b^2k^2-a^2$为$0$，解得$k=\pm\sqrt{\frac{a^2}{b^2-a^2}}$，因此离心率$e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}$的取值范围为$\boxed{\textbf{(C)}}$。4.已知抛物线$y=2px$与直线$ax+y-4=0$相交于$A,B$两点，其中$A$点的坐标是$(1,2)$，如果抛物线的焦点为$F$，那么$FB+FA$等于（）。解：由抛物线的性质可知，$F$是抛物线的焦点，$PF$到抛物线的切线垂直，因此$PF$是抛物线的准线，设准线方程为$y=kx$，则$F$的坐标为$(0,\frac{1}{2p})$，$PF$的方程为$y=-\frac{1}{2p}$，$A,B$的坐标为$(1,2)$和$(\frac{4p-1}{a},\frac{8p}{a}-\frac{4p-1}{a})$，因此$FB+FA=2\sqrt{p^2+(\frac{1}{2p}+\frac{8p}{a}-\frac{4p-1}{a}-2)^2}=2\sqrt{p^2+(\frac{8p^2+1-4ap}{2ap})^2}$，故选$\textbf{(D)}$。5.设$F_1,F_2$是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左右焦点，过$F_1,F_2$作$x$轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率$e$为（）。解：设椭圆的中心为$O$，则$F_1,F_2$在$x$轴上的坐标分别为$(-c,0)$和$(c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$，正方形的边长为$2c$，对角线长为$2\sqrt{a^2+b^2}$，因此$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\boxed{\textbf{(A)}}$。6.设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$和双曲线$x^2-y^2=1$的公共焦点为$F_1,F_2$，$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2$的值等于（）。解：设$F_1,F_2$在$x$轴上的坐标分别为$(-c,0)$和$(c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$，则$P$的坐标为$(x,\pm\sqrt{x^2-1})$，其中$x>\max\{c,1\}$，由$PF_1+PF_2=2a$和$PF_1-PF_2=2\sqrt{a^2-b^2}$可得$PF_1=\sqrt{(x+c)^2-y^2}$，$PF_2=\sqrt{(x-c)^2-y^2}$，因此$\cos\angleF_1PF_2=\frac{PF_1^2+PF_2^2-(F_1F_2)^2}{2PF_1\cdotPF_2}=\boxed{\textbf{(B)}}$。7.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，以$F_1F_2$为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为$(1,2)$，则此双曲线为（）。解：设$F_1,F_2$在$x$轴上的坐标分别为$(-c,0)$和$(c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$，则渐近线的方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，圆的方程为$(x-c)^2+y^2=c^2$，代入$(1,2)$可得$c=2$，因此$a^2-b^2=4$，又因为$F_1F_2=2c=4$，故$a^2=b^2+4$，代入可得$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$，故选$\textbf{(D)}$。8.顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点$(-2,3)$的抛物线方程是（）。解：设抛物线方程为$y=ax^2$，代入过点$(-2,3)$的条件可得$a=-\frac{3}{4}$，故抛物线方程为$y=-\frac{3}{4}x^2$，故选$\textbf{(D)}$。9.已知椭圆$E$的中心在坐标原点，离心率为$\frac{1}{2}$，$E$的右焦点与抛物线$C:y=8x$的焦点重合，$A,B$是$C$的准线与$E$的两个交点，则$AB$等于（）。解：设椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，则$c=\sqrt{a^2-b^2}$，又因为$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，故$a=2c$，代入可得$a=\frac{4}{3},b=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$E$的方程为$\frac{x^2}{\frac{16}{9}}+\frac{y^2}{\frac{8}{9}}=1$，$C$的焦点为$(0,\frac{1}{64})$，准线方程为$y=8x+\frac{1}{64}$，代入可得$x=\frac{1}{17},y=\frac{9}{17}$，因此$AB=2\sqrt{a^2-b^2}=\boxed{\textbf{(A)}}$。10.设$F_1,F_2$是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$和双曲线$x^2-y^2=1$的公共焦点，$P$是它们的一个公共点，且$\angleF_1PF_2=60^\circ$，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（）。解：设椭圆的离心率为$e_1$，双曲线的离心率为$e_2$，则$F_1F_2=2\sqrt{a^2-e_1^2b^2}=2\sqrt{e_2^2a^2-b^2}$，$PF_1+PF_2=2a$，$PF_1-PF_2=2\sqrt{a^2-e_2^2b^2}$，因此$\cos\angleF_1PF_2=\frac{PF_1^2+PF_2^2-(F_1F_2)^2}{2PF_1\cdotPF_2}=\frac{e_2^2-e_1^2}{2e_1e_2}$，又因为$\angleF_1PF_2=60^\circ$，故$\frac{e_2^2-e_1^2}{2e_1e_2}=\frac{1}{2}$，解得$e_1e_2=1$或$e_1e_2=3$，故选$\textbf{(B)}$。11.已知抛物线C：y=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为π/3的直线交曲线C于A、B两点，则弦AB的中点到y轴的距离为（）。改写：已知抛物线C的焦点为F，方程为y=4x。过点F且倾斜角为π/3的直线与曲线C交于A、B两点。求弦AB的中点到y轴的距离。12.已知双曲线C:x^2/3-y^2/a^2=1的左、右焦点为F1、F2，点P在双曲线C上，且PF1=6.5，则PF2等于（）。改写：已知双曲线C的方程为x^2/3-y^2/a^2=1，左、右焦点分别为F1、F2。点P在双曲线C上，且PF1=6.5。求PF2的值。13.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的2倍，且过点P(3,0)，则椭圆的方程为__________。改写：已知椭圆以坐标轴为对称轴，长轴是短轴的2倍，过点P(3,0)。求椭圆的方程。14.若抛物线y^2=2px(p>0)的焦点也是双曲线x^2-y^2=8的一个焦点，则p=______。改写：已知抛物线y^2=2px(p>0)和双曲线x^2-y^2=8有一个公共焦点。求p的值。15.已知抛物线的方程为y=2px(p>0)，O为坐标原点，A、B为抛物线上的点，若OAB为等边三角形，且面积为483，则p的值为__________。改写：已知抛物线的方程为y=2px(p>0)，O为坐标原点，A、B为抛物线上的点，且OAB为等边三角形，面积为483。求p的值。16.若A、B分别是椭圆E:x^2/4+y^2/m^2=1(m>1)短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A、B的任意一点，若直线AP与直线BP的斜率之积为-m，则椭圆E的离心率为__________。改写：已知椭圆E的方程为x^2/4+y^2/m^2=1(m>1)，短轴上的两个顶点为A、B。点P是椭圆上异于A、B的任意一点，且直线AP与直线BP的斜率之积为-m。求椭圆E的离心率。17.已知双曲线C和椭圆x^2y^2/41+x^2/4-y^2/9=1有公共的焦点，且离心率为3。（Ⅰ）求双曲线C的方程。（Ⅱ）经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A、B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程。改写：已知双曲线C和椭圆有一个公共焦点，且离心率为3。双曲线C的方程为（待求）。经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A、B两点，且M为AB的中点。求直线l的方程。18.已知抛物线C:y=2px(0<p<3)的焦点为F，点Q(m,2)在抛物线C上，且QF=3。（Ⅰ）求抛物线C的标准方程及实数m的值；（Ⅱ）直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于A、B两点，若△AOB（O为坐标原点）的面积为4，求直线l的方程。改写：已知抛物线C的焦点为F，方程为y=2px(0<p<3)。点Q(m,2)在抛物线C上，且QF=3。（Ⅰ）求抛物线C的标准方程及实数m的值。（Ⅱ）直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于A、B两点。若△AOB（O为坐标原点）的面积为4，求直线l的方程。19.已知椭圆C:x^2/2+y^2/2b^2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1、F2，离心率为e，且过点(2,2)。（1）求椭圆C的标准方程。（2）M、N、P、Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1、F2，且这条直线互相垂直，求证：11(MNPQ)+23/(MN·PQ)为定值。改写：已知椭圆C的方程为x^2/2+y^2/2b^2=1(a>b>0)，两个焦点分别为F1、F2，离心率为e，且过点(2,2)。（1）求椭圆C的标准方程。（2）M、N、P、Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1、F2，且这条直线互相垂直。证明：11(MNPQ)+23/(MN·PQ)为定值。20.椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e，过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，MF=1/2。（1）求椭圆C的标准方程；（2）求椭圆C的离心率。改写：已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，离心率为e。过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，MF=1/2。（1）求椭圆C的标准方程；（2）求椭圆C的离心率。2）设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆上的动点，且点P与点A，B不重合。直线PA与直线x=3相交于点S，直线PB与直线x=3相交于点T。需要证明以线段ST为直径的圆恒过定点。解：首先，连接ST并延长交于点M。由于直线PA与直线x=3相交于点S，因此点S的横坐标为3。同理，点T的横坐标也为3。因此，线段ST垂直于x轴，且其中点M的横坐标为3。由于椭圆C的左、右顶点分别为A、B，因此线段AB平行于x轴。由于点P在椭圆上运动，因此线段PA和线段PB的斜率均不为零。因此，线段PA和线段PB与线段AB的交点分别为C和D，且CD平行于ST。由于线段ST垂直于x轴，因此点M的纵坐标为线段ST的中点纵坐标。由于线段CD平行于ST，因此线段CD的中点也在线段ST上，且线段CD的中点纵坐标等于M的纵坐标。因此，线段ST的中点即为线段CD的中点，设其为点N。由于线段AB平行于x轴，因此点N的纵坐标等于线段AB的纵坐标。因此，点N是一个定点，且以线段ST为直径的圆恒过点N。2）已知圆C：(x-1)²+(y-2)²=4，点A(2,0)。点P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线I和半径CP相交于点Q。需要求解：（I）当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程；（II）直线y=kx+1与线段PQ相交于点T，需要求出k的值。解：（I）设点P的坐标为(x,y)。由于点P在圆上运动，因此满足圆的方程。将点P的坐标代入圆的方程，得到(x-1)²+(y-2)²=4。由于线段AP垂直平分线I，因此点Q在线段PI上。设点Q的坐标为(a,b)，则线段AP的斜率为(y-0)/(x-2)=-(x-a)/(y-b)。解得a=(x+y-2)/2，b=(x+y+2)/2。由于点Q在半径CP上，因此满足圆的方程(x-1)²+(y-2)²=4。将点Q的坐标代入圆的方程，得到(a-1)²+(b-2)²=4。将a和b的表达式代入，得到(x+y-3)²+(x+y)²=32。化简得到轨迹方程3x²+3y²-6x-12y+13=0。（II）由于直线y=kx+1与线段PQ相交于点T，因此点T的坐标满足y=kx+1且在线段PQ上。线段PQ的中点坐标为((x+1)/2,(y+2)/2)，因此点T的坐标满足y=kx+1且在直线AP的延长线上。设点T的坐标为(c,kc+1)，则直线AP的方程为y=-x/2+1，直线PT的方程为y=kx+(2+k)/2。由于点T在直线AP的延长线上，因此满足y=-x/2+1。将这个方程和直线PT的方程联立，解得k=2/3。1.解：直线l与双曲线交于点A，B。设A坐标为(x1,y1)，B坐标为(x2,y2)。由双曲线方程得到：x2/k2-y2/2=1，x1/k2-y1/2=1。解方程得到：k≠2，k=4。因此，直线l的方程为y=4x-7。2.解：（1）由椭圆方程得到：a2=2b2。又因为e2=1-b2/a2，所以e2=1/3。因此，椭圆的方程为x2/8+y2/4=1。点(2,2)在椭圆上。（2）由椭圆方程得到：a=8，b=4。因此，椭圆的焦点坐标为F1(-2,0)和F2(2,0)。3.解：（1）由椭圆方程得到：a2=2b2。又因为e2=1-b2/a2，所以e2=1/3。因此，椭圆的方程为x2/8+y2/4=1。点(2,2)在椭圆上。（2）设直线MN的方程为y=k(x+2)，PQ的方程为y=-1/(x-2)。由MN与PQ互相垂直，得到k=-1/2。将k带入椭圆方程，消去y并整理得到：(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0。设M(x1,y1)和N(x2,y2)，则有x1+x2=-4k，且MN=2(2+2k)。将MN和PQ的长度代入，解方程得到k=-3/2或k=1/2。因此，直线MN的方程为y=-3x/2-3或y=x/2-1。1.经过计算可得MN和PQ的长度，即MN=2(421+k^2)/(2k^2+1)，PQ=(421+k^2)/(k^2+2)。由此可得MNPQ=421+k^2/8。因此，1132+MNPQ=8。2.已知b/c=21/3，联立解得a=2。椭圆C的标准方程为(x^2/4)+(y^2/1)=1。证明时，设直线AP的斜率为k，直线AP的方程为y=k(x+2)，联立椭圆方程和x=3得到点S(3,5k)。设P(x,y)，代入椭圆方程后整理得到y=-(x^2/4)-4，因此直线PB的方程为y=(-4k/(4x-4))·(x-4)。根据斜率的定义可得k·k'=-(4x-4)/(4x+2)，因此直线PB的方程为y=(-4k'/(4x-2))·(x-3)。以ST为直径的圆的方程为(x-5k/4)^2+(y-5/4)^2=(25/16)。3.解法一：配方后可得圆C的方程为(x+2)^2+y^2=23。由于QC+QA>CA，因此点Q的轨迹是一个椭圆，其方程为(x^2/3)+(y^2/3)=1。解法二：将y=kx+2代入圆C的方程得到(x^2/3)+(kx+2)^2=23，化简后可得到k^2<1/3，因此点Q的轨迹是一个椭圆，其方程为(x^2/3)+(y^2/3)=1。根据直线与椭圆的交点可得到点A和点B的坐标，进而求得x_A·x_B和y_A·y_B，代入