空间几何体的表面积与体积习题附答案

空间几何体的表面积与体积习题附答案1.圆柱的侧面积可以通过展开图计算，展开图是一个正方形，边长为2πr，所以侧面积为4πr^2，即4πS，因此选项为A。2.根据三视图可以看出该几何体由两个同底的半圆锥组成，底面半径为1，高为3，因此体积为2×(1/3)πr^2h=π，因此选项为D。3.根据三视图可以看出该几何体是一个组合体，由一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱锥组成。直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，因此梯形的高为2，底边为2和4，面积为(2+4)×2/2=6，共有2个梯形，因此梯形的面积之和为12，因此选项为B。4.根据三视图可以看出该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，圆锥的高为圆柱高的一半，因此圆锥的高为2，圆柱的底面积为π，侧面积为4π，圆锥的侧面积为2π×5/2=5π，因此表面积为π+4π+5π=9π+5π，因此选项为A。5.根据三视图可以看出该几何体为一个直三棱柱削去一个同底的三棱锥，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形，因此三棱柱的体积为底面积×高=3×4×5=60，三棱锥的体积为1/3×底面积×高=1/3×3×4×3=4，因此该几何体的体积为60-4=56，因此选项为C。C1F＝4，连接EF，交AD于点G，求三角形AEF和四边形ABCG的面积和长方体ABCD-A1B1C1D1的体积．解：首先可以求出AE＝BF＝6，EF＝8，再根据三角形相似可以求出AG＝12，GD＝4，因此AD＝16，AGD为等腰直角三角形，所以GD＝DG＝4，因此CG＝10，BG＝AB－AG＝4，所以ABCG为梯形，其面积为(AB＋CG)×4＝56.三角形AEF的面积为1/2×AE×EF＝24.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16×10×8＝1280.题目1：一长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。解析：首先，交线围成的正方形EHGF的边长为10，因为EH=EF=BC=10。然后，作EM⊥AB，垂足为M，则AM=AE=4，EB=12，EM=8。因为四边形EHGF为正方形，所以MH=EH²-EM²=6，AH=10，HB=6。所以四边形AEHF的面积为56，四边形BCHF的面积为72。因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为56:72=7:9。答案：7:9。题目2：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为多少？解析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，其底面面积为3，高为2/3。所以该几何体的体积为1/3×3×2/3=2/3。答案：2/3。题目3：已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为V，求此三棱锥的外接球的表面积。解析：记三棱锥P-ABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h。首先，由已知可得，h=V/[(1/3)×4]=V/4。然后，PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h。又正△ABC的外接圆半径为r=2√3，因此R²=r²+h²=12+V²/16。所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=4π(12+V²/16)。答案：4π(12+V²/16)。(已删除无效段落)4.根据题意，这个几何体为一个五棱锥P-ABCDE，侧(左)视图是一个等边三角形。根据五棱锥的公式，体积V=1/3×底面积×高。因为侧视图是等边三角形，所以底面为正五边形，底面积为15，高为2，代入公式得体积V=3。5.(1)根据题意，圆锥内有一个高为x的内接圆柱，设圆柱的底面半径为r，则根据勾股定理可得r=√(R^2-(H-x)^2)。由于圆柱的侧面积S=2πrx，代入r的表达式得S=2πx√(R^2-(H-x)^2)/H。对S求导可得S'=(2π(H-x)^2(R^2-2xH))/H^2√(R^2-(H-x)^2)，令S'=0得x=H/2，此时S取得最大值，最大值为πRH/2。(2)根据题意，将圆锥分成小圆锥和圆台，且两几何体的体积相等。设小圆锥的底面半径为a，高为b，则小圆锥的体积为1/3πa^2b。由于小圆锥与圆台的体积相等，设圆台的高为c，则圆台的体积为1/3π(R+a)^2(H-b-c)。根据题意可得1/3πa^2b=1/3π(R+a)^2(H-b-c)，化简得b=H(R/(R+a))^2，c=H(2a/(R+a))^2。因此，小圆锥的高与圆台的高的比值为(2a/(R+a))^2/(R/(R+a))^2=4/9。6.(1)根据题意，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，且AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°。因为AB=BC=AD，所以四边形ABCM为正方形，CM⊥AD。又因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD。因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM。综上可得，BC∥平面PAD。(2)根据题意，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，且AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，△PCD的面积为27。由于侧面PAD为等边三角形，所以AP=PD=AD/2，PC=PD=2CD，因此PC=PD=6。根据勾股定理可得PA=√(AD^2-AP^2)=√(3AD^2)/2，CD=PD/2=3，因此PC=√(PA^2-CD^2)=6。根据四棱锥的公式可得体积V=1/3×底面积×高，底面为正方形，底面积为