历年高中数学联赛真题分类汇编44平面解析几何

1/3历年高中数学联赛真题分类汇编专题44平面解析几何第四缉1．【2019年贵州预赛】设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1A．0,33 B．33,1 C．4【答案】D【解析】解法1:由N3c2,即9b⇒4a因为0<e<1,所以3e2-4<0,故3e又由MF1+|MN|<2⇔⇔2a+3c综上,得43解法2:因为N3c2,2c得3c<a,2．【2018年福建预赛】若直线l与两直线l1：x－y－l=0，l2：13x－3y－11=0分别交于A、B两点，且线段AB中点为P(1，2)，则直线l的斜率为（）A．－2B．－3C．2D．3【答案】B【解析】由点A在直线l1：x－y－7=0上，设A(t，t－7).由AB中点为P(1，2)，知B(2－t，11－t).∵点B在直线l2：13x+3y－11=0上，∴13(2－t)+3(11－t)－11=0.解得，t=3.∴A(3，－4)，kl3．【2018年福建预赛】已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=kx+b(k>0)交线段CA于点D，交线段CB于点E.若△CDE的面积为2，则b的取值范围为（）A．(2−1，1)B．2−2，【答案】B【解析】如图，设CD=m，CE由条件知，△ABC为等腰直角形，CA=CB=22，CA⊥CB由△CDE的面积为2，得12由k>0，得m>n.因此，2<m≤22设DE交y轴于点F，点F到CA、CB的距离相等，设为t.则SΔCDE∴b=OF=2−CF=2−2∴b=2−42m+n4．【2018年贵州预赛】已知一双曲线的两条渐近线方程为x−3A．2B．3C．22D．【答案】A【解析】解：由于两渐近线相互垂直，故此双曲线的离心率与渐近线为y=±x的双曲线的离心率相同，而以y=±x为渐近线的双曲线方程为x2−y5．【2018年北京预赛】如图，平面直角坐标系x−O−y中，A,B是函数y=1x在第I象限的图象上两点，满足∠AOB=60°且A．23.B．323.C．3【答案】C【解析】依题意，ΔOAB是正三角形.又A,B是函数y=1x在第I象限的图象上两点，所以A,B关于直线设点Aa,1由OA=AB得a2+1所以，正ΔOAB的面积=36．【2018年贵州预赛】已知一双曲线的两条渐近线方程为x−3A．2B．3C．22D．【答案】A【解析】解：由于两渐近线相互垂直，故此双曲线的离心率与渐近线为y=±x的双曲线的离心率相同，而以y=±x为渐近线的双曲线方程为x2−y7．【2018年四川预赛】设F1、F2分别是椭圆x2a2+yA．1 B．2 C．3 D．2【答案】B【解析】设PFm+n=2a,①m2+12mn=2.由①②③得b故答案为：B8．【2017年天津预赛】将曲线y=log2x沿x轴正方向移动1个单位,再沿y轴负方向移动2个单位,得到曲线C.在下列曲线中,与C关于直线x(A)y=2x+(C)y=−22−【答案】C【解析】提示：任取曲线y=log2x上一点2t,t,平移后得到曲线C上的点2t+1,9．【2017年四川预赛】已知F1,F2为椭圆x2a2+y(A)0,12 (B)0,13 【答案】C【解析】提示:如图,由F1A=3F2B,可得F2B设M为已知椭圆上一动点,分PM为1：2的三等分点形成的轨迹为C,则曲线C与已知椭圆的交点即为点B.显然,当P点在椭圆内,则曲线C也在椭圆内,与椭圆无公共点;而当P点在橢圆外,则曲线C与椭圆有公共点.所以在椭圆上存在两点A,B,使得F1故2c>a.10．【2017年陕西预赛】如图,已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆O:x2+(A)12 (B)13 (C)22 【答案】D【解析】提示：因为OA=OB,∠AOB=60∘于是,直线AB的方程为y=±代入x2a2Δ=12a6+以a2=311．【2017年黑龙江预赛】方程为x2a2+y2b2=1a(A)12 (B)13 (C)14 【答案】D【解析】提示:因为D0所以3所以−3c=−a12．【2017年黑龙江预赛】已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b(A)35 (B)34 (C)45 【答案】C【解析】提示:设PF1=x,因为因为P在圆上,所以PF12所以P又因为ca=513．【2017年湖南预赛】已知椭圆C:x28+的弦长,与被直线l:y=kx+(A)kx+y+k(C)kx+y−k【答案】D【解析】提示:对于A,当k=1时,椭圆C被直线kx+对于B,当k=0时,椭圆C被直线kx−对于C,当k=−1时,椭圆C被直线kx+因此,正确的选项为D.14．【2016年陕西预赛】已知A、B为抛物线y=3-x2上关于直线x+y=0对称的相异两点.则|AB|等于（）.A．3B．4C．32D．【答案】C【解析】因为点A、B关于直线x+y=0对称，所以，设点A(a，b)，B(-b，-a).又点A、B在抛物线y=3-x2上，则b=3−a2不妨设点A(-2，-1)，B(1，2).则|AB|=32.选C.15．【2016年吉林预赛】已知椭圆E：，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()A．kx＋y＋k＝0B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0D．kx＋y－2＝0【答案】D【解析】试题分析：解：由数形结合可知，当l过点（-1，0）时，直线l和选项A中的直线重合，故不能选A．当l过点（1，0）时，直线l和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．直线l斜率为k，在y轴上的截距为1；选项D中的直线kx+y-2="0"斜率为-k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选D考点：直线和椭圆的位置关系点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法16．【2016年吉林预赛】已知椭圆E：，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()A．kx＋y＋k＝0B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0D．kx＋y－2＝0【答案】D【解析】试题分析：解：由数形结合可知，当l过点（-1，0）时，直线l和选项A中的直线重合，故不能选A．当l过点（1，0）时，直线l和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．直线l斜率为k，在y轴上的截距为1；选项D中的直线kx+y-2="0"斜率为-k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选D考点：直线和椭圆的位置关系点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法17．【2016年浙江预赛】曲线为平面上交于一点的三条直线的充分必要条件为（）。A．a=0B．a=1C．a=−1D．a∈R【答案】A【解析】由于直线y=x与y=−x交于原点，于是，曲线要为平面上三条交于一点的直线当且仅当直线x+2y+a=0过原点，即18．【2016年浙江预赛】设双曲线x2a2−y2b2=1（aA．3+12B．3+1C．【答案】D【解析】要使ΔF1F2A19．【2016年四川预赛】已知F1、FA．33B．32【答案】B【解析】设PF椭圆方程为x2双曲线方程为x两曲线的半焦距为c1、c由圆锥曲线定义得m+n=2a于是，m=a又由余弦定理得m⇒⇒1由均值不等式得4=1当e1从而，该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为3220．【2016年湖南预赛】设m、n为非零实数，i为虚数单位，z∈C.则方程|z+ni|+|z−miA．B．C．D．【答案】B【解析】注意到，|z+ni|+|z−mi|=n表示以F1由n=|z+ni|+|z−mi故双曲线|z+ni|−|z−mi21．【2015年浙江预赛】“a=2，b=2”为“曲线C:A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【答案】A【解析】充分性显然成立.当曲线C经过点2,1时，有2显然，a=−2，从而，必要性不成立.22．【2015年浙江预赛】若过点P1,0A．1617B．365C．26【答案】C【解析】不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，记其边长为a，面积为S，过点P的直线的倾斜角θ0<θ<当过点P、PQsin此时，正方形的面积S=PQ类似地，当过点P、R的直线为正方形的对边所在的直线时，当过点P、S的直线为正方形的对边所在的直线时，23．【2015年天津预赛】方程y=1+A．一个圆B．两个半圆C．一个椭圆D．以上结论均不对【答案】B【解析】由已知方程得y=1+2x−x2及y=−1−2x−x2，分别表示以24．【201