第45讲 古典概型与几何概型的计算策略（原卷版）

8/9第45讲古典概型与几何概型的计算策略【高考地位】古典概型与几何概型是高考中的常考知识点，对于古典概型，列举法仍是求解其概率的主要方法，而与排列、组合问题相结合的概率问题仍是命题的热点；对于几何概型除掌握其定义外，其题型的重点主要体现在两种常见的几何度量——长度、面积，难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.类型一古典概型的计算策略万能模板内容使用场景求古典概型的概率解题模板第一步判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是有限个；第二步分别计算事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数；第三步运用古典概型的计算公式计算即可得出结论.例1.【2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A． B． C． D．【变式演练1】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（）A．B．C．D．【变式演练2】【江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考】为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A． B． C． D．【变式演练3】【江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）】造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治､经济､文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁､扫码支付､共享单车和网购．若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（）A． B． C． D．类型二几何概型的计算策略万能模板内容使用场景求几何概型的概率解题模板第一步判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是无限个；第二步分别计算事件A和基本事件所包含的区域长度、面积或体积等；第三步运用几何概型的计算公式计算即可得出结论.例2在区间上随机取一个数,使得成立的概率为．例3.（2021·贵州省思南中学高三月考（理））在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有极值点的概率为（）A． B． C． D．【变式演练4】把长为的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于的概率是（）A．B．C．D．【变式演练5】一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B．C．D．【变式演练6】【四川省阆中中学2020-2021学年高三9月月考】小华爱好玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为的正方形和构成的标靶图形，如果点正好是正方形的中心，而正方形可以绕点旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）A． B． C． D．2．（2021·全国高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A． B． C． D．3．【2020年高考全国Ⅰ卷文数4】设为正方形的中心，在中任取点，则取到的点共线的概率为 （）A．B．C．D．4．【2020年高考全国Ⅱ卷文理数4】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为，志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者 （）A．名 B．名 C．名 D．名5.【2020年高考山东卷5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 （）A．B．C． D．6．【2020年高考江苏卷4】将一颗质地均匀的正方体骰子先后掷次，观向上的点数，则点数和为的概率是．7.【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（）（A）EQ\F(1,3)（B）EQ\F(1,2)（C）EQ\F(2,3)（D）EQ\F(3,4)8.【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A）（B）（C）（D）9.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多10.【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为.11.【2016高考新课标1文数】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A.B.C.D.12.【2017课标=2\*ROMANII，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.B.C.D.【反馈练习】1．【江西省吉安市2021届高三大联考】给出一组样本数据：1，4，，3，它们出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取两个数，则这两个数的和为5的概率为（）A． B． C． D．2．【广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟】已知正六边形的边长为，在这个顶点中任意取个不同的顶点，得到线段，则的概率为（）A． B． C． D．3．【陕西省汉中市2020-2021学年高三上学期第一次模拟文科】五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为（）A． B． C． D．4．【广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）】某小区从热爱跳广场舞的3对夫妻中随机抽取2人去参加社区组织的广场舞比赛，则抽取的2人恰好为1对夫妻的概率为（）A． B． C． D．5．【江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三第二次模拟考试】如果从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则这2个数的和能被3整除的概率为（）A． B． C． D．6．【江西省南昌二中2020届高三（6月份）高考数学（理科）】如图，点在以为直径的圆上，且满足，圆内的弧线是以为圆心，为半径的圆的一部分.记三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ.在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为，，则（）A． B．C． D．7．【吉林省通化市梅河口五中2020届高三数学（文科）五模】为了求得椭圆的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入共n个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有个.若矩形的面积是2，则可以估计椭圆的面积为（）A． B． C． D．8．【贵州省贵阳市四校2021届高三上学期联合考试】在区间[-2，2]随机取一个数，则事件“，且”发生的概率为（）A． B． C． D．9．【安徽省名校学术联盟2020届高三下学期押题卷文科】如图，在边长为2的正方形内有一个边长为1的正三角形，则向正方形中随机投入一个点，其落在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．10．【2020届重庆市高三三诊数学（文）】在平面直角坐标系中，设，F表示正切函数与单位圆围成的一个封闭区域（如图中阴影部分），那么向E中随机投一点，则所投点落在F中的概率为（）A． B． C． D．11．（2021·河北高三月考）8个人排成两排，每排4人，则甲、乙不同排的概率为（）A． B． C． D．12．（2021·云南昆明市·（文））一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（）A． B． C． D．13．（2021·河北高三月考）十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（）A． B． C． D．14．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）A． B． C． D．15．（2021·武功县普集高级中学高三开学考试（理））已知直线将圆分为，两部分，且部分的面积小于部分的面积，若在圆内任取一点，则该点落在部分的概率为（）A． B． C． D．16．（2021·甘肃高三开学考试（理））从区间和内分别选取一个实数，，得到一个实数对，称为完成一次试验．若独立重复做次试验，则的次数的数学期望为（）A． B． C． D．17．（2021·云南民族中学高三月考（文））七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分以外的概率为（）A． B． C． D．18．（多选）（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则（）A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为19．（多选）（2021·湖南高三）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（）A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是20．（2021·浙江金华·高三月考）袋中原有3个白球和2个黑球．每