2021年中考数学综合题冲刺17 二次函数综合（拔高）（含答案及解析）

专题17二次函数综合(提优)

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线-2x+c与直线>=丘+6都经过A(0,-3)、8(3,

0)两点，该抛物线的顶点为C.

.(1)求此抛物线；

(2)求直线AB的解析式；

(3)设直线AB4该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在二点M,过M作x轴的垂磁交抛

物线于点N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在,

请说明理由.

【分析】(1)、(2)用待定系数法即可求解;--

，(3)［)如图八连接CN,,若点用在》轴出；四边形CEMN为平行四边形，则CE=MV,选而默解;

②如图2,连奏EM,CM,MN,若点M症x轴;方，四边形CENM为平行四边彩，则CE=MN,进而

求解.LJ、一-［故•］女.L-、

【解答】解：(j)♦.•抛物线y=o?-2x+c经过A(0,-3)、B(3,0)两点，

抛物线的解析式为y=?」2x-3；

(2)•直线)，=匕+8经过A(0,-3)、B(3,0)两点,

.(3k+b=0，解得：｛O

.力=一3

直线AB的解析戏y=〈-3；

(3)•.•>=/-2x-3尸(x-1)2-4,

・・.抛物线的顶点。的坐标为(1,-4),

,・，CE〃)，轴，：：

：.E(1,-2),/

：.CE=2,ii■

①如图1,连接CM若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，贝l」CE=A/N,

feM(〃，a-3h*WV(tz,a2-2a-3),

.\MN=a-3-(J-如-3)=-(r+3af

.*.-/+3。=2,

解得：4=2,.4=](舍去)，

>♦♦.♦

：.M(2,-1),-

②如图2,连接EMCM,MN,若点例在x轴上方，，四边形CEMW^F行四边形，则CE=MN,1»

设A-3),则N(。，。2-2。-3),

:.MN=j-2a-3-(〃-3)ka?-3。,

，/-3a=2,.

你得：“=当豆一卷去负云)，

3+717-34-V17

AM(----,------),

综上，M点的坐标为(2,-1)或(------，-------).、

2*A2*..、、

【.点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质.等，其中(3),要注

意分类求解，避免遗漏.

2.抛物线y=o?+法+3(a,b为常数，。70)与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点，与y轴交于C点.设

该抛物线的顶点为其对称轴与x轴的交点为N.

(I)求该抛物线的解析式和顶点M的坐标；

(II)P为线段MN(含端点M,N)上一点，且纵坐标为〃?，Q(〃，0)为x轴上一点，且尸Q_LPC.

①求〃关于，”的函数解析式；

②当〃取最大值时，将线段CQ向上平移/个单位长度，使得线段CQ与抛物线有且只有一个交点，请

U1)①设P点坐标为(2,M(其中04〃W4),由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ1,即可求解；

②求出线段CQ的解析式，得到线段CQ向上平移，个单位长度后的解析式为：)=-亲+3+f,当线段CQ

向上平移，线段：CQ与抛物线有且只有一个灰点时，由△=(),即可求的.

>

■.♦•L，L>\'•

【解答】解：(I)设抛物线的表达式为y—ci(x-xi)(x-X2)—a(x+2)(x-6)—a(x2-4x-12),

则-12a=3,解得：a=-i,

抛物线解柝式为：y=-1(7-4x-12)==#+x+3①；

•・•则抛物线的对称轴为：x=2,顶点拉(2,4)；-----

(JI)①设P点坐标为(2,〃?)(其中0+“W4),

贝l」PC2=22+(w-3)2,P^^m1+(〃-2)2,CQ1=32+n2,

♦《■▼Jy■■/fA'、■%J/♦

，*/♦.-，♦/——j—―/*--t^p//>二一

'：PQ±PC,

..二'.•'【"一•-I

•在RlZXPCQ中，由勾股定理得：PC2+P02=Ce2,

即22+(-3)W+(n-2)2=32+n2,

wQ.V

整理得：〃=Jinr-3/?7+4)=.(m—1(0<〃W4)；

ZZZo

,R'JT1，1.<t—/17.

②对于〃=J{nr-3m+4)=i(/??—5)(0WmW4),..\

Z*ZZo

,当.m=4时，”取得最大值为4,

则。(4,0),

由点C、。典坐标得：线段C。的解析式为：产一点+3,

■■.―一.•”.•

.设线段CQ向上平移"/个区位长度后的解析式后y=-$+3+,②，

当线段CQ向上#琢线段‘CQ与抛物线有白或有一上交点时，

联立①②并整理得：，d-7x+4r=0,，,，，

由4=49-16r=0,

解得t=y|.^

【点评】本题是二《函数综合题，主要考查的总一次函数的性质、勾股定热的运用、图形的平移等,7

；定的综合性：*J适中「..

3.如图，抛物线y=-7+2叶3与x轴正手轴，)，轴正半轴分别交于gA、B,点G为抛物线的厚点.

(1)求顶点G的坐标；

(2)求抛物线与x轴的交点坐标；

(3)若点P是抛物线上一点，点尸的横坐标为,〃，当x》〃?，此函数图象上的函数值y随x的增大而减

小，写出机的取值范围；

(4)点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位长

度，点。为抛物线上点M、N之间(含M、N)的一个动点，求点。的纵坐标的取值范围.

【分析】(I)y亏-』+2x+3=-(x-1)2+4,即可求解：

.，(2)令y=-7苞+3=0,解得x=-l或1,即可求解；

(3)由(1?知，抛物线的云称轴为『1,“=«■1<0,.故当x>［时，函数值y随二的增大眄减小，即

甫求解；’.

(4)求出点M,点N坐标，即可求解.•.,

A■一

【解答】解：(1)*y=-+2x+3—~Cx-1)*4,

上顶点G的坐标为'(1,4)：

(2)令)=-/+2T+3=0,解得彳=-1或3,

故抛物线和R府的交点坐标为屋1,0)>(3,0)；

•••

»(3)由(1)'知；.抛物线的对称轴为直线I,

V«=-l<0,

・■，；'.Mt/,*«，//.，:/1.

故当x>l时，函数值y随x的增大而减小，

故加21；

/•，,3d，jv'•

(4)•.•产-?+2x+3=-(x-1)2+4,・一・•

・*■-KJ-

；.对称轴为直线x=l,

•.•点M,N为抛物线X两点(点M在点N的左自)，且到对称轴的距离分疝为3个单位长度和5个单日

长度，

•♦.点加的横坐标为-2或.4,点N的横坐标为6,.,

.•.点M坐标为(：-2,-5)或(4,-5»,N坐标为(6,-21),:

••,点Q为抛物说t点M,N之间(含点M,灰)的一个动点，.

••二点Q的纵坐标y()的取值范'围为：-?1.0oWa5.

【点评】本题为二次函数综杳题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，”二次函

数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键.

4.已知，如图，抛物或yua^+Zw+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P息线

段4B上方抛物线上的一个动点.

(1)求直线AB的解析式；

(2)求抛物线的解析式：

(3)当点P运动到什么位置时，△B4B的面积有最大值？

【分析】(1)‘直博利用待定系数法，即可得当结论；，.\»,

(2)根据交点式，设抛物线的解析式为y=a(x-6)(科2)(aWO),将点A(0,G)代入求解，即可得

出结论；

(3)利用5△以冷=SeB4/v+SaPBN，即可求解.

【薛答】解：(1)等线<8的解析式为(ZWO)：

将点A(0,6);B(6,0)代入y=Ax+A.(4WO),得_0，.'j.,.；、

-[/<=-1

F=6'

则直线AB的解析式为y=」x+6；•

•.■♦W

,(2):抛物线过点R(6；0),C(-2,0),一

，设抛物线的解标式为.y=a(x-6)(x+25：(aW0),i

将点A(0,6)代入y=a(x，-6)(x+2),得-12。=6,•

解得〃=―♦

・••抛物线的解析式为尸(%-6)(x+2)=—J/+2r+&

-、.•j一、一一

，(3)如图，

过点尸作PN〃y轴，及AB于N,

.******.

1f

设尸点坐标为S，—5P+2f+6)(0<r<6),

则N(/,r+6),

PN=yp-w-5^+2^+6-(-什6)=-i「+2什6+f-6=—与d+3九

N乙'乙

•'•SAAB=S4PAN+S&PBN

.J，if，1/♦,*7’d

11

=1PN,\xp-必|+]PN・\XB-xp\

=gpN«xB-XA），=^x（-52+3八X6

=+（L3）2+g,上：'<

，z

15*

...当，=3,即点P位于（3「一）时，△以8的面积有最大值.

2

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角蔡的面积公式掌握坐标系中求几何图形

面积的方法是解本题的关键.

5.在平面直角坐标系X。），中，抛物线-2m•+"?-3与x轴交于点A、B.

（I）①求相的取值范围；.

②当抛物线经过原点时，求抛物线的解析式；

,,f•.z

③求抛物线的顶点坐标；

（2）若线段48上有且只有5个点的横坐标为整数，求”的取值范围；

（3、若抛物线在-3<x<0这一段位于x轴下方，在5Vx<6这一段位于x轴上方，求机的值.

【分析】（1）,①根据抛物线与x轴有两个交展得出△>（）,即可得出军侬；

用将点（0,0）代入抛物线好析式中，求解即可得出结论；

③用配方法潞抛物线葡析式配成顶点式，即可落出结论；.’.

（2）先判断出*=3时，yWO,当x=4时，>>>0,解不等式，即,可得、出结论；

..（3夕先判断出抛物线在这一段位于1轴上方，结合抛物线在-30x<（r这一段位于x轴下

方，得出当X=-3时，y=0,即可得出结洽

【解答】解：（,1广（3：抛物线尸族-2必+”?-3与.轴交于点4、B,

；.△=（-2m）2-4w（/n-3）>0,

t>••

：.m>0；

♦♦■

•②将'（0,0）代入皿物线y=蕨-2/nx+〃L3吊，得0=，〃-3,

r./w=3,•-，，.

・・・抛物线的解析式为,=3/--6x：

(3)Vy=??tx2-2nix+)n-3=m(x2-2x+l)•-3=m(m-1)2-3,

■♦।<k।>K***■f.***:,»

，抛物线的顶1巾标为(L-3)；

(2)由⑴知，抛物线的对称轴为直线为x=l,

•••线段AB上有目只有5个点的横坐标为整数，»,

；.这些整数为i1.0,1,2,3,

・.4k.：■一1..Lw

7/w>0,1•-.〕

，当％=3时，y=9/n,6，〃+加-3W0,f,.

.一

..w<甲

当>=4时»y=16m-Sm+m-3>0,

.1

13

­，•gV，"W4；''

(3)由(1)知，抛物线的对称轴为曾线为x=l,且m>0,

:施物线在，5<x<6或一段位?x轴上方，.-.*^-、,.

矍据抛物线的号称性得，购物线在-4。<*「3这一盘位于x轴上方厂.

1/抛物线在-3<x<0这一段位于x轴下方，

..O**..

・••当x=-3时,y=9m+6〃?+〃7-3=0,•

：3

..,〃=否

【£评】此题是二次函数综合窗，主要考直了二次函数的‘性质，配方羊，熟练掌握疝运用二次函数的性

质是解本题的关键.、\•?、•？、

•.%••

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=32-左经过坐标原点，与x轴正手轴交于点4,该抛物线的货

点为M,直线y=~^x+b经过点A,与y轴交于点B,连接OM.

(1)求人的值及点M坐标.

(2)将直线A8向卞平移，得到过点M的直笺)，=〃a+〃，且与x轴负半轴交于点C,取点。(2,0),

连接。M,此时发现/ADM-ACM是个常数，请写出这个常数，并证明.

(3)点E是线段A8上一动点，点F是线段OA上一动点，连接E凡线段£尸的延长线与线段。/交于

点G,当NBEF=2NBAO时,是否存在点E,使得3GF=4EF?若存在，直接写出点E的坐标；若不存

在，请说明理由.

(2)证明：如图1中，设平移后的直线的解析式为把点M的坐标代入求出"，过点。(2,

0)作。干从则直线Q”的解析式为y=2r-4,构建方程组求出点”的坐标，证明

推出/Z)MC=45°晶结论.

'(3)如图2中'，菰覆G作匕"J_QA于H；上1E作E/JLQA于K.证明［跖4』/840,由题意》诂A

11

=/GFH,tanZBAO==4，推出tanNG/T/ntaHNEFK：为由G”〃EK,进而求解.

【解答】(1)解：对于抛物线y=基2-令y=0,得到三t2-2x=(),

J3

解得V=0或6,

•*.A(6,0),...•a-a

•.•二、1•1,1♦;、B•二't

直线y--1x+/?经过点A,...

L■■■

・・・0=-3+b,

：.b=3,

♦*<小/♦"«jt/♦

**.*v=iv2-2x=i(l3)"-3,

-33

：.M(3,-3A:、

〉“j|rfr,jfi

(2)证明:如图1中，设平移后的直线的解析式y=-1r+”.

xX'

-*-

•••平移后的直线经过M(3；-3)：

3=-l+n,<，f-

・

••__13»

••»

V•.平移后的直线的解析式为尸一营一处,.---,

过点D(2,01作DHLMC于H,

则直线DH的解析式为y=2x.-4②，

.一■

联立①②并解得「二1_2'::

：.H(1,-2),

*-VD(2,0),M(31-3：,

：.DH=g2+1%V5,HM=Vl2+22=V5.

iirM•y(/•*jfr.

，NDWC=45°,

•・•ZADM=ZDMC+ZACM,

・♦♦

.・・・・・NAOM」NACMw45—为常数；..

(3)解：存在；理由：

，，

如图2中，过点G作G“_LOA于"，过点E作EKJ_OA于K."

：・2EFA=NBA0,,

VZEM=ZGFH,tanZB/lO=^=1=1,

*0462

14

Z.tanZGFH=tanZEFAT=务’

,:GH〃EK,：

GFGH4、「

—=—=-,设GH=4k,EK=3k,

FEEK3

则OH=HG=4k,FH=8k,FK=AK=6k,

：.OF=AF=\2k=3,

••k='r,

：.OF=3,FK=AK=I，Ek=%.

9/

：・OK=〈2,.♦,

93

；・E(一，一).一

24

【£评】本题属于*次函数综A题，考查了：次函数的性;贡，一次函数的性质,.平*线分线段成比例定

程，解直角三般(等知识，，解题的关键是学含添加常用辅助线，构薄笃角三角形解决问题，学唐利用参

数购建方程解决问题，属于中考压轴题.

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-/+2%+3与x轴交于点A,8(点A在点B的左侧)，与)，

轴交于点C,抛物线顶点为点£>.

.(1)求B,C,。三点坐标；

(2)如图1,抛物线上有E,尸两点，且轴，当△£>£下是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；

(3)如图2,连接BC,在直线BC上方的抛物线上有一动点P,当△P8C面积最大时，点尸坐标.

【分析】(1)对于y=-/+2x+3,令丁=-7+2》+3=0,解得x=3或-1,令x=0,,则y=3,故点A、B、

。的坐标分别为(7,0)、(3,0)、(0,3),函数的对称轴为x=l,工x=l时，y=-/+2x+3=4,即

■••

"苛求解；「"'一//**.**/:'’/Xy

.(2)△OEF是等腰直角三角形，E尸〃x轴，典]根据函数的对称性，‘只有ZEDF为直角一种情况，即”尸

=DH,即可求触；.1：'.)

(3)由△P8C面积=SMHC+SAPHB=，'〃・08,即可求解.

【解答】解：.(1)对于y=-1+2无+3,令y=-/+2x+3q0,解得克=3或-1,令x：0,.贝!]y=3,

’做点4、B、。的坐标分另『为(-1,Q故(3,0\(0,3),

函数的对称轴为±±1,当为=1时，y=-%2+2r+3=4,»

故点D的坐标为(1,4),•

故B,C,。三点坐标分别为(3,0)、’(0,3)、(1,4)；

1•⑵；△。即是等腰直角三庙形，小〃》轴，-..一

则根据函数的对称性，,只食NE/加为直角一种情况，*.»*.,

设点EG,-f+2x+3),点0和点E关于函数对称轴对.称，故点尸(2-x,-/+2/3),

图1

过点。作DHLEF与点4,

•••△CEF是等麻直角三角形，故△£>“£病腰直角三角形，

故HF=DH,即居,(yo-")，

I

则-(2-x-x).=(4-?-2x-3),解得x=l(舍去)或0,

•2••

故x=0,■

则所=2-1一%2；

♦<^♦<•■♦

，.■•,•

(3)过点P作P〃〃y轴交BC于点H,

山点8、C的坐标得，直线8c的表达式为y=-x+3,

设点尸的坐标为(x,-/+2X43)，则点”(x，-x+3),.

则△PBC面积=%HC+SAPHB=3PH*OB=ix3X(-?+2x+3+x-3)=-1)+%,

V-1<0,故△P8C面积存在最大值，此时x=2，

■.■，一•/］，，AJ

」人-315

故点P(一，一).

24

【点评】本题为三次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的

自养.要会利亩成形结合而思想把代数和)由图形结A起来，利用小威标的意攵表示线段的必看从

而未出线段之间的关系.

••<

8.如图，己知二次函数产成+后的的图象与x轴交于A、B,与y轴交于点C,ZACB=90°,且0C=

20A.

(1)求此二次函数的关系式；

(2)若点P为直线BC上方抛物线上的一动点，PM_LBC于M,PN〃丫轴交8c于N,求△2"义周长的

最大值及此时是P的坐标；

(3)过点A作BC的平行线交抛物线于£>,E为直线A£>上一动点，尸为平面内一动点，当以8、C、E、

尸为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点E坐标.

【分析】(1)证明为C0=NC8。，则。不二办”。，即42=2・08,-解得：0B=8,故点8(8,07,

进而求解；

(2)设△PMN周长为/,则i=PN+PM+NM=PN(\+sinZMPN+cosZMPN)=%在(-|r+4+1.v

-4)=邑箸，―32+^),即可求解；“I

.(3)分BC是菱形的边、8c是菱形的对角线两种情况，利用菱形的性质和中点公式T，分别求解即可.

【解答】解：(1)连接4C,由抛物线的表出式知，点C(0,4),而OC=2O4,

：./ACO+NBCO=90°,4CO+NCBO=90°,

ZACO=^CBO,

tanZACO=就=tanZCBO=的，

即.0C2=0A-B0,即42=2・。8,解得：0B=8,故点8(8,0),

由点A、8的坐标知，抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-8),。

将点C的灰标代入工式并解得〃=-i

q

故抛物线的表达式咏=一1(x+2)Gf-8"==#+|x+4：

(2)由点8、C的坐标得，直线BC舞表达式为尸-巨+4,

延长PN交x轴.于点H,

则ZMNP=90°二NPNM=90：-ZBNM=ZCBO,

nr41-，-71

在RtACOB中,.tanNC3O=滞=尹*W'NMPN,则cosZMPN=南，sihZMPN=言

设点P(x>—]:+全+4),则点N(x,-3+4),

设△PMN周长为/,则l=PN+PM+NM=PN(1+sin/MPN+cosNMPN)=(-|x2+|A+44-1r-4)

=^|^([#+2x),)...、...；.,•..;•、J..

•，殳第<D,圈有最大值，当:4时，/典最大值为空詈在，此呻点尸(4,6)；「

(3)-：AD//BC,则设直线AQ的表达式为)，=一1G+2)

设点£的坐标为(3—5-1),点尸(〃?，〃)，

乙

而点■8、C的坐标分别为？8,0)、(0,4)；：*

①当8C是菱形的边时，»,.

则，8C=CE或BE,.

•

即82+4?=?尸+(4+i/+l)2或82+42=?，(8-/)2+(-if-1)2,

解得t=-2±4百或6±4V3,.

故点E的坐标为K-2+4百，-2百)或(-2-曷氏2V3)或(6+4b，-4三26)或(6-46，2+2旧]

②当8C是菱形的对角线时，

且CE=CE即尸+(士+1+4)2=m2+(/?-4)之①，

2

由中点公式得：5(.8+0)=*Cm+t),且5(4+0)=1-1)②，

联其①②并解得尸2,故点E(2,-2)；-

综上，点E的坐标为(-2+48，-28)或(-2-4V12%)或X6+4V1-4-2百)或Y6-48，

-4+2V5)'或G2，-2).

【点评】本题是三孥数舔合题，主要考查了工■次函数盼性质、菱形的性理、解直隽三角形、图形呼f

移等，其中(3),胃注意分类求解，避免遗漏；

9.如图，在平面直角坐标系中，直线y=fcr+l与x轴交于点A,与)，轴交于点C,过点C的抛物线;=〃/

-(6a-2)x+b与直线AC交于另一点B(4,3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)已知x轴上一动点Q(〃?，0),连接BQ,若AAeQ与ZVIOC相似，求出〃?的值.

【4析】(1)把点£、8坐标A入二次函数表达式得13=«X42-4(6«-2)+1,即看求解:

(2)分NAQB=90。、NA8Q=90。两种情，况，求解即可.

【例答】解：(1)点C的坐好为(0,1),b=\,

将点B坐标代入代入二次函数表达式得：3=4%+1,解得：k"，'

则一次函数表立式为：尸全+1，则点A汇标为(-2,0),

把点C、B坐标代入二次函数表达式得：3=aX42-4(6a-2)+1,解得，=/

则二次函数表达式为：y=P-jr+1；

.4.2

(2)①如下图4当乙4。8=90°时，

f

△48。与△AOC相似，机=4,

②当乙48。=90°时，△Ab。与△AOC相似,

A0_2_

AB=J(4+2尸+32=3底cosZBAO=石=海'

则AQ=eV瓢。=T'

.则而=竽一2=学,

乙乙■“«・

11

即：肥的值为4或二■.

【点评】本题考查的二次函数综合运用，落及到三角形形似、解直角‘三角形等知识“要注意根焉不同情

《if4-if

况分类讨论，本题难度不大，但容易遗漏情况.

10.如图，抛物线)，=0?+版+6经过A(-2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C,点力是抛物线上一动

点，设点。的横坐标为，"(l</n<4),连结AC、BC、DB、DC.

(1)求抛物线的函数表达式.

3

(2)当△8CQ的面积等于△AOC的面积的;时，求加的值.

4

(3)当，〃=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使

得以点8、D、M.N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在,

请说明理由.

【分析】(1，)用待定系数法即时求解；

(2)SABDC=KHDXOB=2(-为2+射+6+薪-6)=2(-^m2+3m)♦硝LiC0=|x|x6X2=l即

L4-ZZ<4-4L

可求解•；

(3)分8。是边、8。是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点公式即可求解.

【解答】解：(1)由抛物线交点式表达式得：y=a(x+2)(x-4)-2x-8)=ax2-2ax-8d,

即-8«=6,解得：ci=—彳q,

故抛物线的表达式为：尸一#+|r+6；

'(2)由抛物线的表达式知，点C(0,6),..

由点B、.C的坐标，得直线/C的表达式为；尸一|x+6,

如图所示，过点D作,轴的平行线交直线BC于点H,

则S/、BDC=XOB=2（—■?〃广+*”+6+6）=2（—最〃「+3/"）,

Z4ZZ4

331；9-

.•./△ACO=4xzx6X2=2，

即：2（—薪?+3加）=

4L

解得：加=1或3（舍去1）,

故机=3；..

(3)当加=2时；点。(2,6),

■、*.K.

设点M(x,0),点N(f,〃)，贝lj”=一3+|/+6①，

①当BD是边时，

点B向左平移2个单位向上平移6个单位得到点D,同样点M(N)向左平移2个单位向I平移6个单

位得到点MIM),

幽工广。啾；江

解得x=4(此时是点B的横坐标，舍去)或±g(不合题意的值已舍去)；

故点M的坐标为(旧，0)或(-旧，0)；

②当8。是对角缱时，

^(3+4)=；")③,

由中点公式得：

|(6+0)=1(n+0)

=6

联立①③并解得t=2,

e1%=5»♦♦

.故点M的坐标为(V0)；'

综上，点M的坐标为(V1710)或(-V17,6)或(,5.0).,

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了欠函数的性质、平行四边形的性质I图形的平移、面枳

的计算等，其中(3),要注意分类求解，避免遗漏.

11.如图1,抛物线y=-f+fcr+c与x轴相交于点4(-1,0)和点B,交y轴于点C,CO=3AO,点P是

抛物线上第一象限内的一动点，点Q在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式：.

(2)过点P作PO〃y轴交8c于点Q,求线段PO长度的最大值；

(2)设点P(x,>/+2r+3),则点。(x,-x+3)(0<x<3),则PD=(-#+2x+3)-(-x+3)=--+

3x=-(x-|)2+1,即可求解；

(3)证明△CM8也△CP3CASA),则CA/=CP=2,OM=2>-2=1,即可求解.

【解答】解：2VA(-1,0),则OA=1,

又'.'CO=3AO,：.OC=3,Ct0,3),

把A,C两点的坐板代入y=-/+fec+c得仁1二°+。=°,

.1c==□

解得『=今。。'•.匕7

lc=3

抛物线的解析式为y=-?+2r+3；.

(2)由=0得点8(3,0),设直殡8c的解析式为.尸质+b,'

将点8(3,0),C(0,3)代入得解得｛：=-1

=3

二直线BC的解析式为y=-x+3,

设点P(x,,-/+2x+3),.则点力(X,-x+3)<0<x<3),'

9

2+-

PD=(―%2+2x+3)—(—x4-3)=—x2+3%=—(%4

.•.当x=|时，P£>有英大值/

(3)；B(3.,0),C(0,3),

*'：.OC=OB,----

ABOC是等腰直角三角形，

：.^BCO=45°',

VZBCP=45\,

；./BCP=/BCO=45°,

J.CP//OB,

设P(f,3),代木抛物线y=-r+2x+3得P(2，3〉，'一二》.「--•»k.'

[，，•[>»•]>

故CP=2-0=2,

••••-•

在ACMB和△CPB/；

'/BCP=zfBCO=45°

BC=BC>

.、4QBC=LPBC

：.2CMB迫ACPB(AS4),

，CM=CP=2,

：.OM=3-2=1,*

.•.点M(0,1).

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形全等、等腰直角三角形的性质等，

,有•定的综合性；赖适血

12.如图，已知二次函数的图象经过点A(3,3)、8(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点,

过点P作X轴的垂线，垂足为£>("30),并与直线OA交于点C.

(1)求出二次函数的解析式；

（2）当点P在直线。4的上方时，求线段PC的最大值；

（3）当点尸在直线OA的上方时，求△APO的最大面积.

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

)

9

求解

2即可

2+-

（2）由PC—PD-CD--m+4m-m=-nr+3nif4

、

（3）由S/\AOP的最大值=5“（7。+5八/04=$xPC〃*Xx4，,即可求解.

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：），=ox（x-4）,

把A点坐标（3,3）代入得：〃=-1,

,函数的解析式为j=;,/+4x,