2021年中考九年级数学第一轮复习：三角形 压轴题突破练习题

2021年中考九年级数学第一轮专题复习：三角形压轴题专题突破练习题

1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形,

B,C,E在同一条直线上，联结〃C,

(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明(说明：结论中不得含有未标识的字母);

(2)试说明：DCVBE.

①②

2、已知：如图，在△A5C中，AB>AC,N8=45°,点、。是EC边上一点、,且/g/C,过点

，作皿助于点反与4?交于点片

(1)若NCAD=a,求//或的度数.

(2)在(1)的条件下，求/的大小；(用含a的式子表示)

(3)判断△力〃■的形状，并说明理由.

3、如图，在等边三角形4比1中，点£是边4C上一定点，点。是直线比上一动点，以DE

为一边作等边三角形应下，连接CK

【问题解决】

如图1,若点〃在边比1上，求证：CE+CF=CD；

【类比探究】

如图2,若点。在边8c的延长线上，请探究线段CE,CF与徵之间存在怎样的数量关系？

并说明理由.

4、已知：如图，在△486■中，点〃在边比■上，AE//BC,BE与AD、/C分别相交于点尺G,

AF2=FGFE.

(1)求证：△。吐△%G；

(2)联结〃G,求证：DGAE^ABAG.

5、如图，点。是等边△力阿内一点，N加3=110°,ZBOC=a.将△仇为'绕点。按顺时针

方向旋转60°得连接阳.

(1)求证：△(：如是等边三角形;

(2)当a=150°时，试判断△/①的形状，并说明理由;

(3)探究：当a为多少度时，如是等腰三角形？

6、如图，在△49。中，N〃S=90°,N4?C=30°，△。应是等边三角形，点〃在边48上.

(1)如图1,当点£在边及7上时，求证。E=E8；

(2)如图2,当点£1在a'内部时，猜想曲和旗数量关系，并加以证明;

(3)如图3,当点£在△/优1外部时，EfLLAB于点、H,过点£作方〃/8,交线段4C的延

长线于点G,AG^CG,BH=3.求CG的长.

7、如图，是边长为2的等边三角形，点〃与点6分别位于直线”■的两侧，且心的

联结劭、CD,BD交直线AC于点£

(1)当/。分90°时，求线段AF的长.

(2)过点4作/!忆切，垂足为点"直线加/交助于点尸,

①当次120°时，设AE=x,丁=心口(其中SVBCE表示△豌'的面积，5\力罚表

S\JAEF

示△/露的面积)，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当》g=7时，请直接写出线段划?的长.

SvAEF

8、已知△46C中，/6=60°,点，是4?边上的动点，这点、D祚DE"BC交.AC千点、E,将4

ADE沿龙折叠，点A对应点为尸点.

(1)如图1,当点尸恰好落在8c边上，求证：△应见是等边三角形；

(2)如图2,当点尸恰好落在△?!回内，且母'的延长线恰好经过点GCF=EF,求/力

的大小；

(3)如图3,当点尸恰好落在△/阿外，勿1交用于点G,连接即若BFLAB,AB=9,

求BG

的.长.

D,

D

D

9、如图1,在ABC中,ZACB=90，AC=BC,AD±CE,BE上CE,垂足

分别为DE.

(1)若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.

(2)如图2,在原题其他条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到ABC的外部，请你

猜想AD,DE,BE三者之间的数量关系，直接写出结论：.(不需证明)

(3)如图3,若将原题中的条件改为：''在ABC中，AC=BC,D,C,E三点在同一条直线上，

并且有ZBEC=ZADC=ZBCA=a,其中«为任意钝角”，那么(2)中你的猜想是

否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.

10、如图所示，已知△/比中，船=10厘米，收/V分别从点/、点3同时出发，沿

三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N

第一次到达6点时，收N同时停止运动.

(1)M、N同时运动几秒后，〃、N两点重合？

（2）材、N同时运动几秒后，可得等边三角形△4MV?

（3）M、4在6C边上运动时，能否得到以例V为底边的等腰△4KM,如果存在，请求出此

时".N运动的时间？

11、问题情境：在数学课上，老师出示了这样一个问题：如图1,在△48C中，AB=AC,AF

是8c边上的高，点〃在线段8c上（不与反。重合），以49为一边在的右侧作

使4=4反4DAE=4BAC,连接若/为£90°,猜想线段〃'、CD、龙之间的数量

关系.

图1图2

探究展示

（1）善思组发现，AF=LCE+CD）并展示了部分证明过程:

2

证明：ZDAE=ZBAC,

C.ZDAE-ADAC-ABAC-ADAC,

：.ACAE=ZBAD.

在△。£和△为。中,

任务：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)钻研组受善思组的启发，求出了N腔的度数，请直接写出—度

类比思考

如图2,创新小组在此基础上进行了深入思考，把/胡C=90°改为/阴C=60°,其它条

件不变，又求出了/&F=—度.

拓展延伸

设/劭C=a,々BCE=B,其它条件不变，则a,B之间有怎样的数量关系？直接写出

你的结论.

12、在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以1个单位

每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒.

(1)如图1,若BQ=6,PQ〃AC求t的值；

(2)如图2,若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A

运动，当t为何值时，AAPQ为等边三角形.

(3)如图3,将边长为9的等边三角形ABC变换为AB,AC为腰，BC为底的等腰三角形，且

AB=AC=10,BC=8,点P运动到AB中点处静止，点M,N分别为BC,AC上动点，点M以1个

单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当

MPM,ACNM全等时,求a的值.

A

AA

图1Q°图2

图3

13＞如图，在等边△?1阿中，点/，£分别是然，四上的动点，且｛6=切，BD交CE干点、P.

(1)如图1,求证：ZBPC=120°；

(2)点〃是边比'的中点，连接为，PM.

①如图2,若点/,尸，"三点共线，则与月/的数量关系是.

②若点4凡M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立,

说明理由.

图1图2图3

14、在中，N4曲=90°。="，点〃是直线45上的一点，连接切，将线段切

绕点「逆时针旋转90°,得到线段〃，连接敬

(1)操作发现

如图1,当点〃在线段46上时，请你直接写出AB与跖的位置关系为—；线段BD、AB、

防的数量关系为;

(2)猜想论证

当点。在直线4?上运动时，如图2,是点〃在射线四上，如图3,是点〃在射线劭上,

请你写出这两种情况下，线段砂、AB、龙的数量关系，并对图2的结论进行证明；

(3)拓展延伸

若48=5,BD=1,请你直接写出的面积.

参考答案

1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形,

B,C,£在同一条直线上，联结〃C,

(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明(说明：结论中不得含有未标识的字母);

(2)试说明：DCLBE.

【解答】解：(1)•••△/SC,△ZMi■是等腰直角三角形,

：.AB=AC,AD^AE,NBAC=NDAE=90°.

NBAE=NDAC=9G°+ZCAE,

在△员1£和△的C中

<AB=AC

<ZBAE=ZDAC-

AE=AD

二△为修(5>15)

(2)由(1)得△砌的△0〃

:.NDCA=NB=45°.

；/6G4=45°,

:.NBCD=NBCA+/DCA=9Q°,

：.DCLBE.

2、己知：如图，在△/6C中，AB>AC,N8=45°,点。是比1边上一点，且4片〃；过点

。作"1，/〃于点£,与仍交于点冗

（1）若/。4a,求切的度数.

（2）在（1）的条件下，求N比尸的大小；（用含a的式子表示）

（3）判断△［切的形状，并说明理由.

【解答】解：⑴'：AD=AC,

：.NACg2ADC,

'：ACAD=a,

：.ZACD=^(180°-ACAD}=90°-yQ；

(2)过点/作力£L8C于点C,如图所示：

：.ZDA(^ZADG=90°,

■:AD=AC,

：.ZCAG=ZDAG=—ZCAD=—a,

22

于点色

:.NDCE+NADG=90°,

ZDCE=ZDAG=—ZCAD=—a,

22

即NStyga；

(3)△力(T是等腰三角形.

理由：'：ZB=45°,AGA.BC,

.".ZW=45°,

：N%C=45°+ZCAG,/4R?=45°+ZDCE,4DCE=2DAG,NCAG=NDAG,

：.ABAC=AAFC,

:.AC=FC,

...△4〃1是等腰三角形.

3、如图，在等边三角形/欧中，点£是边4C上一定点，点，是直线比'上一动点，以DE

为一边作等边三角形比尸，连接

【问题解决】

如图1,若点。在边6c上，求证：CE+CF=CD；

【类比探究】

如图2,若点〃在边比的延长线上，请探究线段CE,CF与5之间存在怎样的数量关系？

并说明理由.

【解答】【问题解决】证明：在切上截取号/=留如图1所示：

,.•△46C是等边三角形，

：.NECH=6Q°,

...△a%是等边三角形，

:.EH=EC=CH,/谢=60°,

♦.•△孤户是等边三角形，

：.DE=FE,NDEF=6G,

：.NDEm4HEF=4FE84HEF=60°,

：.ZDEH=AFEC,

在△颂和中，

'DE=FE

<ZDEH=ZFEC-

EH=EC

:.丛DE监l\FEC(OS),

：.DH=CF,

:.CMC出DH=CE+CF,

:.C^CF=CD；

【类比探究】解：线段绥与3之间的等量关系是AX办应；理由如下:

•.•△49。是等边三角形,

：.ZA=ZB=60°,

过〃作如〃然，交然的延长线于点G,如图2所示:

•:GD〃AB,

:./GDC=/B=60°,NDGC=/A=6G0,

・•・/切。=N〃GC=60°,

••.△GCX?为等边三角形，

：.DG=CD=CG,NGDC=60°,

・・・△瓦>为等边三角形，

:.ED=DF,/EDF=/GDC=6C,

:・/EDG=4FDC,

在△跖9和△阳9中，

rED=DF

<ZEDG=ZFDC，

DG=CD

:ZG恒XFCD(SAS),

:・EG=FC,

：.FC=EG=C(^CE=CACE.

4、已知：如图，在△力回中，点〃在边回上，AE//BCBE与AD、4。分别相交于点尺G,

AF2=FGFE.

(1)求证：

(2)联结〃G,求证：DGAE=ABAG.

证明：(1),•*AF~=FG-FE，，-----=-----.

FGAF

又,：/AFR/EFA,：./\FAG^/\FEA.

:.NFAG=NE.

,CAE//BC,：.AE=AEBC.

：.AEBC=ZFAG.

又,：NACD=/BCG,：.△s△CBG.

.CACD

(2)'：l\CADsACBG,

''~CB^~CG

又；NZTRNM?,:ZDGs/\CAB.

.DG_CG

,・-----=-----

ABCB

■AEAG

'：AE//BC,

'~CBGC

AGGCDGAG

DGAE=ABAG.

5、如图，点。是等边内一点，N4必=110°,ABOC=a.将绕点。按顺时针

方向旋转60°得△/〃C,连接划.

(1)求证：如是等边三角形；

(2)当a=150°时，试判断△/切的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△/如是等腰三角形？

【解答】(1)证明：•••将△8OC绕点。按顺时针方向旋转60°得△1%,

:.CgCD,NOCD=60°,

...△CW是等边三角形.

(2)解：当a=150°时，△?!如是直角三角形.

理由是：•..将△仇〃绕点C按顺时针方向旋转60°得

：./\BOC^[\ADC,

:"ADC=NBOC=\5Q°,

又••,△。切是等边三角形，

：.NODC=6Q°,

ZADO=AADC-AODC=900,

VZa=150°,,/6勿=60°,

3=360°-Za-NAOB-NCW=360°-150°-110°-60°=40°,

切不是等腰直角三角形，即△｛如是直角三角形.

(3)解：①要使4g49,需NAOANADO,

'：ZAOD=360°-110°-60°-a=190°-a,ZADO^a-60°,

.♦.190。-a=a-60°,

a=125°；

②要使OA=OD,需NOAD=ZADO.

4gl80°-QAOIh/ADO)=180°-(190°-a+a-60°)=50°,

：.a-60°=50°,

：.a=110°；

③要使切=/〃，需NOAg/AOD.

4a=360°-110°-60°-a=190°-a,

/fl4gl80°-(a-60°)=120。,

22

二190°-a=120°-—,

2

解得a=140。.

综上所述：当a的度数为125°或110°或140°时，△/必是等腰三角形.

6、如图，在中，/〃S=90°,/4％=30°,ACDE是等边三角形,点〃在边四上.

(1)如图1,当点£在边比1上时，求证%1=微

(2)如图2,当点£在△48C内部时，猜想他和必数量关系，并加以证明；

(3)如图3,当点£■在△/比外部时，E/LLAB于息H,过点£作数〃/8,交线段4C的延

长线于点G,布=5微BH=3.求CG的长.

【解答】(1)证明：坦是等边三角形，

:.NCED=60°,

:.NEDB=6Q°-/6=30°,

:./EDB=NB,

:.DE=EB；

(2)解：ED^EB,

理由如下：取的中点0,连接％、E0,

•.,//加90°,/脑=30°,

.•.4=60°,OC=OA,

.•.△”17为等边三角形，

：.CA=CO,

万是等边三角形，

"AQXNOCE,

在△心力和△宛£1中,

CA=CO

ZACD=ZOCE,

CD=CE

:.△ACgXQCE,

：.ZCOE=ZA=60°,

：•4BOE=60°,

在△car和△隧'中，

'OC=OB

<ZCOE=ZBOE,

OE=OE

:ZOEQXBOE,

:.EC=EB,

:・ED=EB、

(3)取血的中点0,连接CO、EO、EB,

由(2)得△力也△兆及

：.ZCOE=ZA=60°,

:・/BOE=60°,

△C0形ABOE,

:.EC=EB,

：.ED=EB,

EHLAB,

:.DH=BH=3,

■:GE//AB,

AZ(7=180°-ZJ=120°,

=NCW60°,

：.£GCE=£CDA,

在△口衫和中，

'NG=NCOD

<ZECG=ZODC,

CE=CD

：.!\CEG^^DCO,

：.CG=OD,

设CG=a,则/G=5a,OD=a,

'.AC—OC—\a,

'：OC=OB,

；.4a=a+3+3,

解得，a=2,

即CG=2.

7、如图，%是边长为2的等边三角形，点〃与点8分别位于直线46■的两侧，且48/16；

联结如、CD,被交直线4c于点后

(1)当/。氏90°时，求线段AF的长.

(2)过点/作AHLCD,垂足为点H,直线AH交放于点E

s

①当NC4ZK120。时，设=y=-^-（其中*BCE表示△腔1的面积，Sy所表

S\JAEF

示△/露的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当》g=7时，请直接写出线段划?的长.

SvAEF

(1)•・•△/阿是等边三角形，

：.AH=BC-AC=2,ABAC=ZABC=ZAC&=60°.

9：AD-AC,：.AD-AB.：.AABD-ZADB.

•：NAB讣/AD济NBA8/CAA180。,N。氏90°,

N4»15°.:.ZEBC=45°.

过点月作££La；垂足为点G

设AE=x,贝i」EC=2—x.

在危中，ZACB=60°,

出1

・・・EG=ECsinZACB=—(2-x),CG=ECcosZACB=l一一x.

22

BG=2-EG=l+1.

2

在.RtABGE中,NEBC=45°,

••1H—X=—(2-X)・

22

解得X=4-2G

所以线段月夕的长是4-26.

(2)①设ZA3£>=a,则ZBZM=a,ADAC=ABAD-ABAC=120°-2a

,：AD-AC,AHA.CD,

・・・ZCAF=-ZDAC=60°-a,

2

又・・'ZAE/=60°+。，/.ZAFE=60°.

:.ZAFE=ZACB,

又ZAEF=ZBEC,，XAEFsXBEC.

・SyBCE=BE"

SvAEF人石

1出

由(1)得在以而中，BG=\+-x,£G=—(2-x)

22

・・・BE2=BG2+EG2=x2-2x+4.

.—2x+4

..y=-------；------(z0<x<2x)

x

2

②当/。次120°时，AE=—；

3

当120。<ZC4ZX180°时，AE=1.

8、已知△/灰中，N8=60°,点〃是力打边上的动点，过点。作应〃加交AC于点E,将4

力施沿龙折叠，点力对应点为尸点.

(1)如图L当点尸恰好落在回边上，求证：是等边三角形;

(2)如图2,当点尸恰好落在△/欧内，且小的延长线恰好经过点C,CF=EF,求N/1

的大小；

(3)如图3,当点尸恰好落在△力比1外，〃交比于点G,连接班若BFLAB,四=9,

求.BG

的.长.

【解答】(1)证明：如图1,:/月60°,DE//BC,

：.NADE=NB=60°,

•••△/庞沿如折叠，点/对应点为厂点，

:.NADE=/FDE=6G°,

.\ZW=60°,

4方=60°=4B=4BDF,

二△应声是等边三角形；

(2)解：•.♦/8=60°,DE//BC,

:.NADE=NB=6Q°,

•••△/(应沿如折叠，点/对应点为b点，

:.NADE=NFDE=6G°,乙A=LDFE,

：.ZADC=120°,

'：CF=EF,

：・4FEC=/FCE,

设/FEC=/FCE=x,驰4A=2DFE=4FEC=FCE=2x,

在△49。中，ZA+ZAC/hZADC=180°,

即2AA+120°=180°,

解得:x=20°,

AZA=2x=40°；

(3)解：同(1)得：/BDF=60°,△⑸％是等边三角形，N4DE=NB=60°,

:・BG=BD,

由折叠的性质得：AD=FD,

YBFLAB,

：.ZBFD=90°-60°=30°,

:.FD=2BD,

：.AD=2BD,

■:mBD=AB,

：・2BABg9,

:.BD=3,

:・BG=BD=3.

9、如图1,在ABC中，ZACB=90，AC=BC,ADLCE,BE1CE,垂足

分别为D,E.

(1)若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.

(2)如图2,在原题其他条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到ABC的外部，请你

猜想AD,DE,BE三者之间的数量关系，直接写出结论：________.(不需证明)

(3)如图3,若将原题中的条件改为：“在ABC中，AC=BC,D,C,E三点在同一条直线上，

并且有NBEC=ZADC=NBCA=a,其中a为任意钝角”，那么(2)中你的猜想是

否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.

【答案】(1)BE=O.8cm；(2)AD+BE=DE；(3)成立，证明详见解析.

【解析】(1)解：：BELCE，ADA.CE,

ZE=ZADC=90，

•••ZEBC+ZBCE=90.

ZBCE+ZACD=90，

：.NEBC=NDCA.

在△CEB和ADC中，

ZEBC=ZDCA

{NE=ZADC,

CB=AC

CEBvA£>C(A45),

/.BE=DC,CE=AD=2.5

VDC=CE-DE,DE=1.7cm,

/.BE=O.8cm

(2)AD+BE=DE,(不需证明)理由如下:

证明：VBE±CE,AD±CE,

；.NE=/ADC=90°,

.,.ZEBC+ZBCE=90°.

VZBCE+ZACD=90°,

.*.ZEBC=ZDCA.

在aCEB和4ADC中，

ZBCE=ACAD

<NBEC=ZCDA,

CB=AC

/.△CEB^AADC(AAS),

；.BE=DC,CE=AD,

；.DE=CE+DE=AD+BE

(3)(2)中的猜想还成立，

证明：,/ZBCE+ZACB+ZACD=180，ZDAC+ZADC+ZACP=180

ZADC=ZBCA,

：.ZBCE=ZCM)

在△CEB和ADC中，

ZBCE=ZCAD

<ZBEC=ZCDA,

CB^AC

CEB=ADC，

BE=CD，EC=AD，

DE=EC+CD=AD+BE

10、如图所示，已知△4?。中，48=4C=6c=10厘米，M、/V分别从点4、点6同时出发，沿

三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N

第一次到达8点时，风"同时停止运动.

(1)双N同时运动几秒后，以川两点重合？

(2)MN同时运动几秒后，可得等边三角形

(3)材、M在6c边上运动时，能否得到以防为底边的等腰册；如果存在，请求出此

时历、A「运动的时间？

【解答】解：(1)设点和小’运动了秒后，材、川两点重合,

xXl+10=2x,

解得：x=10；

(2)设点区/V运动t秒后，可得到等边三角形△4KM,如图①,

AM=fXl=t,AN=AB-BN=10-23

•••三角形△/,物V是等边三角形,

，2=10-2b

解得t=12,

3

...点M、N运动」9秒后，可得到等边三角形新；

3

（3）当点以A'在8c边上运动时，可以得到以助V为底边的等腰三角形，

由（1）知10秒时必、N两点重合，恰好在。处，

如图②，假设△如印是等腰三角形，

：.AN^AM,

：.NAMN=AANM,

：./械=AANB,

,:AB=BC=AC,

是等边三角形，

:.乙C=LB,

在和员V中，

，AC=AB

v<ZC=ZB,

ZAMC=ZANB

.•.△然侬/\力陇（小），

:.CM=BN,

设当点“、N在a'边上运动时，材、N运动的时间y秒时，是等腰三角形,

：.CM=y-10,A®=30-2y,CM=NB,

y-10=30-2y,

解得：尸也.故假设成立.

3

，当点肌A'在弦边上运动时，能得到以为底边的等腰△4斯；此时以及运动的时间

娉秒•

图②

11、问题情境：在数学课上，老师出示了这样一个问题：如图1,在中，AB=AC,AF

是6C边上的高，点。在线段比上（不与6、C重合），以｛〃为一边在4。的右侧作△川㈤

使4Q4E,NDAE=NBAC,连接出若N朋C=90°,猜想线段CD、四之间的数量

关系.

探究展示

（1）善思组发现，AF=±CE+CD）并展示了部分证明过程:

2

证明：4DAE=/BAC,

：.ADAE-ZDAC=ZBAC-ADAC,

：.ZCAE=ZBAD.

在和△为〃中,

任务：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)钻研组受善思组的启发，求出了N8©1的度数，请直接写出N8390度

类比思考

如图2,创新小组在此基础上进行了深入思考，把/加(7=90°改为N阴。=60°,其它条

件不变，又求出了/8＜方=120度.

拓展延伸

设/物C=a,ABCE=P,其它条件不变，则a,6之间有怎样的数量关系？直接写出

你的结论.

【解答】解：探究展示：(1)结论：AF=LCE+CD).

2

理由：如图1中，

图1

♦：/DAE=/BAC,

:.乙DAE-ADAC=ABAC-ADAC,

:•4CAE=4BAD,

在△。£和△劭〃中,

'AB=AC

</BAD=NCAE，

AD=AE

：,/\BAD^/\CAE(.SAS\

:.BD=CE,

•:AB=AC,ZBAD=90°,AFLBC.

:・BF=FC,

;.AF=LBC=LQB认DO=A(EC+CD\

222

(2)如图1中，・：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZB=ZACB=45°,

9：/XABD^/XACE,

：.ZB=ZACE=45°,

：.4BCE=NACBQACES,

故答案为90.

类比思考：如图2中,

图2

♦：4DAE=/BAC=6G,AB=AC,AD=AEf

：.£DAE-ZDAC=ZBAC-ADAC,/\ABC,都是等边三角形,

:.NCAE=/BAD,N8=NAC8=6Q°

在和△为〃中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE>

AD=AE

:ZAgXCAE（必S）,

:.NABgNACE=6Q°,

:.NBCE=NACB+NACE=12Q°.

拓展延伸：如图2中，•：4DAE=4BAC=a,AB=AC,AD^AE,

：.ADAE-ZDAC=ZBAC-ADAC,

：./CAE=NBAD,

在和△物〃中，

fAB=AC

<ZBAD=ZCAE>

AD=AE

△胡屋（弘S）,

NABg/ACE=~,

2

:.NBCE=NAC—/ACE=18Q°-a,

B=180°-a,

即a+P=180".

12、在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以1个单位

每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒.

(1)如图1,若BQ=6,PQ〃AC求t的值；

(2)如图2,若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A

运动，当t为何值时，AAPQ为等边三角形.

(3)如图3,将边长为9的等边三角形ABC变换为AB,AC为腰，BC为底的等腰三角形，且

AB=AC=10,BC=8,点P运动到AB中点处静止，点M,N分别为BC,AC上动点，点M以1个

单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当

全等时，求a的值.

【答案】(1)3；(2)6；(3)1或°

4

【解析】解：(1)AA5C是等边三角形,

.-.ZA=ZB=ZC=60°,

PQ//AC,

NBQP=NC=60°,

ZBQP=ZB=60°,

・•.A8PQ是等边三角形，

:.BP=BQ,

由题意可知：AP=t,则族=97,

...9—1=6,

解得：r=3,

故t的值为3；

(2)①当点Q在边BC上时，

已知此时A4PQ不可能为等边三角形；

②当点Q在边AC上时，

若为等边三角形，则AP=AQ,

由题意可知，AP=f,BC+CQ=2t,

AQ=BC+AC-(BC+CQ)=9x2-2t=]S-2t,

.'.t->

解得：r=6,

故当r=6时，A4PQ为等边三角形；

(3)由题意可知：BM=t,CN=at,BP=-AB=-x\0=5,

22

则CM=BC—8W=8T,

若APBM注^NCM,

PB=NC[5=at

则《，即：!，

BM=CM[t=S-t

'=5

解得：r-4；

t=4

若"BMmM1CN,

\PB=MC[5=87

则《，即：4,

[BM=CN[t=at

a=l

解得：｛c；

r=3

综上所述：当全等时，a的值为1或工.

4

13、如图，在等边中，点/,“分别是/C,四上的动点，且/£=①，物交应于点只

（1）如图1,求证：N8PC=120°；

（2）点材是边比的中点，连接应，PM.

①如图2,若点4月M三点共线，则/尸与灯/的数量关系是AP=2PM.

②若点4R三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立,

说明理由.

【解答】证明：（1）♦.•△＜比是等边三角形，

:.AB=AC=BC,NA=NABC=NACB=6Q°，且

:.XAEC^XCDB(S4S)

：ZACE=/CBD,

■：NBPC+NDBC+NBCP=\8Q°,

AZBPC+AACE+.^BCP=180°,

第，=180°-ZJC®=120°；

(2)①AP=2RM,理由如下:

•.•△/姓是等边三角形，点，"是边比的