2021年中考数学第三轮解答题冲刺：二次函数 复习（含答案）

2021年中考数学第三轮解答题冲刺：二次函数专题复习

1、已知二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,

与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且CP：PD=2：

3

(1)求A、B两点的坐标；

(2)若tanNPDB=《，求这个二次函数的关系式.

4

2、如图，在平面直角坐标系中，ZACB=90°,0C=20B,tanNABC=2,点B的坐标为(1,0).抛

物线y=-x2+bx+c经过A、B两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,

使PE蒋DE.

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M,使aABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点/(-2,0)，点6(4,

0),与y轴交于点。(0,8),连接以7,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线沿

X轴正方向从。运动到6(不含。点和8点)，且分别交抛物线、线段勿以及X轴于点尸，

E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接力C,AP,当直线/运动时，求使得△%1和相似的点P的坐标；

(3)作取184垂足为凡当直线/运动时，求Rt△板面积的最大值.

4、如图，已知二次函数的图象过点0(0,0).A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴

是直线x=3.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若M是OB上的一点，作MN〃AB交OA于N,当AANM面积最大时，求M的坐标；

(3)P是x轴上的点，过P作PQ_Lx轴与抛物线交于Q.过A作AC_Lx轴于C,当以0,P,Q

为顶点的三角形与以0,A,C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标.

5、如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=ax?+bx+5经过点M(1,3)和N

(3,5)

(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；

(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(-2,0),且与y轴交于点B,同时满

足以A、0、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由.

6、如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,

0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；

(2)连接P0,PC,并把APOC沿y轴翻折，得到四边形POP'C.若四边形POP'C为菱形,

请求出此时点P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB

的最大面积.

7、《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)•经过原点0,与x轴的另一

个交点为A,则a=.

【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物

线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图②.直接写出图象G对应的函数解析式.

【探究】在图②中，过点B(0,1)作直线1平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为

点C,D,E,F,如图③.求图象G在直线1上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的

取值范围.

【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m,连接PD,PE.直接写出4PDE的面积不小

于1时m的取值范围.

8、如图，抛物线尸af+bx+4交x轴于/(-3,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,连

接AC,8C.点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，点尸的横坐标为朋.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)过点P作用此才轴，垂足为点忆PM交.BC于点、Q.试探究点〃在运动过程中，是否

存在这样的点0,使得以4C,0为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点。

的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)过点尸作砒8a垂足为点儿请用含〃的代数式表示线段QV的长，并求出当山为

何值时有最大值，最大值是多少？

9、如图1,在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m,以OB为边向上作

等边三角形AOB,抛物线1：y=ax?+bx+c经过点0,A,B三点

(1)当m=2时，a=-逅，当m=3时，a=-逅；

23

（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；

（3）如图2,在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线1于P、Q两点，PQ的长度为2n,

当4APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为a=--

n;

（4）利用（2）（3）中的结论，求AAOB与4APQ的面积比.

10、如图，抛物线y=ax2-2x+c（aWO）与x轴、y轴分别交于点A,B,C三点，已知点A（-

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将4EBP沿直

线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

（3）如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD,点M是直线CD上的动点，点N是

平面内一点，当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标.

11、抛物线产-f+4ax+8（a>0）与x轴相交于0、4两点（其中。为坐标原点），过点尸（2,

2a）作直线闾吐x轴于点M,交抛物线于点B,点8关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、

。不重合），连接"交y轴于点儿连接6。和R.

（1）制时，求抛物线的解析式和能的长;

(2)如图a>l时，若心PC,求a的值.

⑶.是否存在实数。，使募=g,若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由

12、如图，抛物线尸广4交x轴于/(-3,0),B(4,0)两点，与丁轴交于点C,

连接4C,80.点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，点尸的横坐标为加

(1)求此抛物线的表达式；

(2)过点夕作灯吐x轴，垂足为点轨PM交BC于点Q.试探究点尸在运动过程中，是否

存在这样的点。，使得以4C,。为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点0

的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)过点尸作MUSC,垂足为点儿请用含勿的代数式表示线段/W的长，并求出当勿为

何值时/W有最大值，最大值是多少？

13、如图1,直线y=-素+11交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y[x2+bx+c经

过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD,过

点B作BD_LPD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

(3)如图2,将4BDP绕点B逆时针旋转，得到ABD'P',且旋转角NPBP'=ZOAC,当点

9、4

14、如图，直线y=-QX+C与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-Qx'+bx+c

经过点A,B.

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点

P,N.

①点M在线段0A上运动，若以B,P,N为顶点的三角形与4APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M,P,N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点

重合除外)，则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”

15、抛物线y=ax?+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)该抛物线与直线y=^x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,

5

直线PM〃y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.

①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中，4PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出

这个最大值；若不存在，说明理由；

②连结PB,过点C作CQ±PM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得ACNQ与△PBM相似？

若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

16＞如图1,经过原点0的抛物线y=ax?+bx(aWO)与x轴交于另一点A(慨，0),在第一

象限内与直线y=x交于点B(2,t).

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,0,C为顶点的三角形的面积为2,求点

C的坐标；

(3)如图2,若点M在这条抛物线上，且NMBO/ABO,在(2)的条件下，是否存在点P,

使得△POCs^MOB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

17、如图，抛物线y=ax'+bx-2的对称轴是直线x=l,与x轴交于A,B两点，与y轴交于点

C,点A的坐标为(-2,0),点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD，x轴于点D,交直

线BC于点E.

(1)求抛物线解析式；

(2)若点P在第一象限内，当0D=4PE时，求四边形POBE的面积；

(3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在

这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N

的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

参考答案

2021年中考数学第三轮解答题冲刺：二次函数专题复习

1、已知二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,

与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且CP：PD=2：

3

(1)求A、B两点的坐标；

(2)若tanNPDB=S，求这个二次函数的关系式.

【解答】解：(1)过点P作PEJ_x轴于点E,

"/y=ax2-2ax+c,

二该二次函数的对称轴为：x=l,

.\0E=l

，CP：PD=0E：EB,

.,.OE：EB=2：3,

3

，EB=£,

.,.OB=OE+EB=-|,

AB(1,0)

•；A与B关于直线x=l对称,

(2)过点C作CFLBD于点F,交PE于点G,

令x=l代入y=ax2-2ax+c,

y=c-a,

令x=0代入y=ax2-2ax+c,

；・y=c

「・PG=a,

VCF=OB=^,

CF

二•tan/PDB端，

AFD=2,

\・PG〃BD

/.△CPG^ACDF,

・—PG—_—CP=_一2

FDCD5

._48上

..y=-x2-—x+c,

55

把A(-),0)代入y=7X2--1x+c,

255

解得：c=-1,

.•.该二次函数解析式为：y=&-1x-1.

55

2、如图，在平面直角坐标系中，ZACB=90°,0C=20B,tan/ABC=2,点B的坐标为（1,0）.抛

物线y=-x?+bx+c经过A、B两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,

使PE=yDE.

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M,使AABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的

坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)VB(1,0),

.,.OB=1,

V0C=20B=2,

AC(-2,0),

RtAABC中，tanNABC=2,

.AC-n

.AC-n

•.3-2,

/.AC=6,

AA(-2,6),

把A(-2,6)和B(1,0)代入y=-x?+bx+c得：\,

I-l+b+c=0

解得:(胃,

抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；

(2)①YA(-2,6),B(1,0),

易得AB的解析式为：y=-2x+2,

设P(x,-x2-3x+4),则E(x,-2x+2),

VPE=1-DE,

-x--3x+4-(-2x+2)(-2x+2),

x=l(舍)或-1,

：.P(-1,6)；

②;M在直线PD上，且P(-1,6),

设M(-1,y),

22

.,.AM=(-1+2)2+(y-6)'I+(y-6),

BM2=(1+1)2+y2=4+y2,

AB2=(1+2)=62=45,

分三种情况：

i)当NAMB=90°时，WAM2+BM2=AB2,

A1+(y-6)2+4+y2=45,

解得：y=3士JIT，

AM(-1,3+VTT)或(-1,3-VT1)；

ii)当NABM=90°时，有AB'+BM^AM2,

.\45+4+y2=l+(y-6)2,

y=-b

AM(-1,-1),

iii)当NBAM=90°时，WAM2+AB2=BM2,

.*.1+(y-6)，45=4+y2,

13

F

/.M(-1,;

综上所述，点M的坐标为：・・・M(-1,3+JH)或(-L3-JU)或(-1,-1)或(-1,

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a*+8x+c与x轴交于点］（-2,0）,点3（4,

0）,与y轴交于点。（0,8）,连接又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线/,

沿x轴正方向从。运动到8（不含。点和6点），且分别交抛物线、线段a'以及x轴于点

P,D,E.

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接/GAP,当直线，运动时，求使得△陶和相似的点尸的坐标;

（3）作叽6C,垂足为居当直线/运动时，求Rta/T。面积的最大值.

4a—2b+c=0

【解答】解：（1）将点4、8、。的坐标代入二次函数表达式得：16a+46+c=0,解得:

c=8

a=-1

b=2,

c=8

故抛物线的表达式为：尸-y+2矛+8；

（2）•.•点/（-2,0）、C（0,8）,：.OA=2,OC=8,

轴，：.ZPEA=ZAOC=dQ°,

•:/PAE乎/CAO,

只有当/陶=N2%时，PEA/X^AOC,

此时些=空，即：生=竺，

CO71082

:.AE=4PE,

设点尸的纵坐标为A,则如=A,AE=4k,

：.OE=4k-2,

将点尸坐标（44-2,k）代入二次函数表达式并解得：

仁0或接（舍去0）,

16

则点P（芋，77）；

416

（3）在Rt△99中，ZPFD=ZCOB=90°,

•・・/〃y轴，:"PDF=/COB,:.RSPFDsRSBOC,

•S^PFD__Z££\2

•&BOC-I而）’

而5A皴=三OB'好｝x4X8=16,BC=VCO2+BO2=4%,

即当"取得最大值时，8W最大，

将反C坐标代入一次函数表达式并解得：

直线优的表达式为：y=-2矛+8,

设点。（加，-/+2研8）,则点〃（例-2研8）,

贝！JPD=-/+2G8+2/-8—-（勿-2）’+4,

当勿=2时，勿的最大值为4,

故当&H4时，五物=：阳=£.

4、如图，已知二次函数的图象过点0（0,0）.A（8,4）,与x轴交于另一点B,且对称轴

是直线x=3.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是0B上的一点，作MN〃AB交0A于N,当aANM面积最大时，求M的坐标；

（3）P是x轴上的点，过P作PQJ_x轴与抛物线交于Q.过A作AC_Lx轴于C,当以0,P,Q

为顶点的三角形与以0,A,C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标.

【解答】解：（1）•.•抛物线过原点，对称轴是直线x=3,

AB点坐标为(6,0),

设抛物线解析式为y=ax(x-6),

把A(8,4)代入得a・8・2=4,解得a=±,

4

2

•••抛物线解析式为y[x(x-6),BPy=1x-1x;

(2)设M(t,0),

易得直线0A的解析式为y=1x,

设直线AB的解析式为y=kx+b,

需解得k=2

把B(6,0),A(8,4)代入得

b=-12'

直线AB的解析式为y=2x-12,

VMN/7AB,

设直线MN的解析式为y=2x+n,

把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=-2t,

...直线MN的解析式为y=2x-2t,

_4

1

解方程组尸，X得.3，则N(凯-ft),

z0O

y=2x-2t

.・SAAMN=SAAOM-SANOM

=%4・t-

223

=-*+2t

(t-3)2+3,

当t=3时，S△那有最大值3,此时M点坐标为(3,0)；

(3)设Q(m,gm?-,m),

42

ZOPQ=ZACO,

当瞿=粤时，APQO^ACOA,即粤二整，

OCAC84

:.PQ=2P0,即|-^-m2--|-m|=21m|,

解方程#-•|m=2m得⑼=0(舍去)，ni2=14,此时P点坐标为(14,28)；

解方程1-余-2□得叫=0(舍去)，m2=-2,此时P点坐标为(-2,4)；

，当粤=瞿时，APQO-ACAO,即粤=粤，

AC0C48

，PQ=]PO,BP|-ym|=-1-1m|,

解方程看n?-得叫=0(舍去)，m2=8(舍去),

解方程誉!^-专产一夕!得叱=0(舍去)>m2=2,此时P点坐标为(2,-1)；

综上所述，P点坐标为(14,28)或(-2,4)或(2,-1).

5、如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N

(3,5)

(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；

(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(-2,0),且与y轴交于点B,同时满

足以A、0、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由.

(1)由抛物线过M、N两点，

把M、N坐标代入抛物线解析式可得解

l9a+3b+5=5(b=-3

•••抛物线解析式为y=x2-3x+5,

令y=0可得x?-3x+5=0,

该方程的判别式为△=(-3)2-4X1X5=9-20=-11<0,

...抛物线与x轴没有交点；

(2)•.•△A0B是等腰直角三角形，A(-2,0),点B在y轴上,

•••B点坐标为(0,2)或(0,-2),

可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n,

n=2

①当抛物线过点A(-2,0),B(0,2)时，代入可得

4~2in+n=0,

...平移后的抛物线为y=x2+3x+2,

.♦•该抛物线的顶点坐标为(-看，-1),而原抛物线顶点坐标为(田，芳)，

将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线;

②当抛物线过A(-2,0),B(0,-2)时，代入可得(：二2解得[吁1。，

4-2nH-n=0[n=~2

二平移后的抛物线为y=x?+x-2,

，该抛物线的顶点坐标为(-/，-1),而原抛物线顶点坐标为弓，芳)，

•••将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线.

6、如图，已知二次函数y=ax?+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,

0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

(1)求二次函数y=ax，2x+c的表达式；

(2)连接PO,PC,并把APOC沿y轴翻折，得到四边形POP'C.若四边形POP'C为菱形,

请求出此时点P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB

的最大面积.

【解答】解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

(9a+6+c=0

1c=3，

解得尸，

\c=3

二次函数的解析是为y=-x2+2x+3；

(2)若四边形POP'C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上,

如图1,连接PP',则PE_LCO,垂足为E,

AE(0,y),

点p的纵坐标慨，

当y=|■时,BP-x2+2x+3="|,

解得X尸驾亚，X广土等(不合题意，舍)，

.,.点p的坐标为(2耍，；

乙乙

P在抛物线上，设P(m,-m2+2m+3),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

(3k+3=0

lb=3'

解得｛k=-l

b=3'

直线BC的解析为y=-x+3,

设点Q的坐标为(m,-m+3),

PQ=-m'+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.

当y=0时，-x2+2x+3=0,

解得X1=-l,X2=3,

OA=1,

AB=3-(-1)=4,

S四边形ABPC=SAABC+SAPCQ+SAPW)

=yAB•OC+*PQ•OF+yPQ*FB

=4X4X3+!(-m2+3m)X3

22

=-|(m-|)?+亭,

当m=1■时，四边形ABPC的面积最大.

当m=J时,-m2+2m+3=^-,即P点的坐标为(得,与).

当点P的坐标为(?，?)时，四边形ACPB的最大面积值为尊.

7、《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)2-日经过原点0,与x轴的另一

个交点为A,则a=_^-_.

【操作】将图①中抛物线在X轴下方的部分沿X轴折叠到X轴上方，将这部分图象与原抛物

线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图②.直接写出图象G对应的函数解析式.

【探究】在图②中，过点B(0,1)作直线1平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为

点C,D,E,F,如图③.求图象G在直线1上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的

取值范围.

【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m,连接PD,PE.直接写出4PDE的面积不小

【解答】解：【问题】

•..抛物线y=a(x-2)2-日经过原点0,

o

/.0=a(0-2)2-

_1

a~3f

故答案为：£；

J

【操作】：如图①，抛物线：y=£(x-2)2-|,

对称轴是：直线x=2,由对称性得：A(4,0),

沿x轴折叠后所得抛物线为：y=-1(x-2)2+|

Y(X-2)2，(X<0或X>4)

如图②，图象G对应的函数解析式为：y=[1；

)2+^-(0<X<4)

oo

【探究】：如图③，由题意得：

当y=l时，(x-2)2--1-=0,

解得:Xi=2+W，X2=2-沂，

AC(2-V7,1),F(2+V7,1),

当y=l时，-白(x-2)斗段力，

JJ

解得：X|=3,x2=l,

AD(1,1),E(3,1),

由图象得：图象G在直线1上方的部分，当1VXV2或x>2+诉时，函数y随x增大而增大;

【应用】：VD(1,1),E(3,1),

.*.DE=3-1=2,

VS^yDE-h^l,

Ah^l；

①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m,当(m-2)2-1],

oo

.,.h](m-2)2--121,

Jo

(m-2)'IO,

m-22Vl够m-2W-V10，

m22+VT^或mW2-V1O，

②如图③，作对称轴交抛物线G于H,交直线CD于M,交x轴于N,

VH(2,2)，

4I

/.HM=--1=QV1,

•••点P不可能在DE的上方；

③,.,MN=1,

且0(0,0),a(4,0),

.••P不可能在CO(除。点)、0D、EA(除A点)、AF上，

...P与0或A重合时，符合条件，

m=0或m=4；

综上所述,APDE的面积不小于1时,m的取值范围是:m=0或m=4或mW2-五5或m22+J元

8、如图，抛物线尸af+8x+4交x轴于4(-3,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,连

接ZC,BC.点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，点尸的横坐标为勿.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)过点尸作门轴，垂足为点忆PM交回于点。.试探究点尸在运动过程中，是否

存在这样的点。，使得以4C,0为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点0

的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)过点尸作月U8G垂足为点足请用含加的代数式表示线段网,的长，并求出当R为

何值时有最大值，最大值是多少？

【解答】解：(1)由二次函数交点式表达式得：y=a(广3)(x-4)=a

=ax'-ax-12a,

即：-12a=4,解得：a=

则抛物线的表达式为尸-|/+|^+4;

(2)存在，理由：

点4、B、。的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4),

则47=5,AB=1,BC=4®,ZOAB=ZOBA=45°,

将点8、。的坐标代入一次函数表达式：并解得：y=-广4…①，

同理可得直线的表达式为：尸:广4,

设直线力。的中点为《(一j4),过点"与。垂直直线的表达式中的A值为一"

同理可得过点/与直线4。垂直直线的表达式为：尸-9+:…②，

48

贝1」"=第=5,

设：QM=MB=n,则AM=7-n,

由勾股定理得：（7-/7）W=25,解得：〃=3或4（舍去4）,

故点0（1,3）；

②当时，如图1,

CQ=5,则BQ=BC-CQ=4a-3,

则QM=MB=吃咨

2

故点Q（壁，山）；

22

③当％=力。时，

联立①②并解得：mg（舍去）；

故点0的坐标为：0（1,3）或（延，世也）；

22

（3）设点尸（加，-：序+：加4）,则点0（加，-研4）,

'：OB=OC,:"ABC=40CB=45°=APQN,

PN=PQsinAPQN=（一与+工研4+/-4）=一返（/-2）旺延，

23363

•.•_更＜0,.•.BV有最大值，

6

当勿=2时，/W的最大值为：塞.

3

9、如图1,在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，0B的长度为2m,以OB为边向上作

等边三角形AOB,抛物线1：y=ax?+bx+c经过点0,A,B三点

（1）当m=2时，a=-,当m=3时，a=-；

23

（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；

（3）如图2,在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线1于P、Q两点，PQ的长度为2n,

当4APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为a=-^；

n

（4）利用（2）（3）中的结论，求AAOB与4APQ的面积比.

【解答】解：（1）如图1,

V

OlMB\x

图1

•••点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,

/.B(2m,0),

:以0B为边向上作等边三角形AOB,

/.AM=V3m，0M=m,

AA(m,避m)，

•.•抛物线1：y=ax?+bx+c经过点0,A,B三点

aX(2m)2+2b/c=0

・,’aK+bnrtx=V5m'

c=0

b返

.m

,小b二2«

c=0

当m=2时，a=-,

当m=3时，a=-零",

故答案为：-零，-零；

4O

(2)a=-返

m

理由：如图1,・・•点B在x轴正半轴上，0B的长度为2m,

AB(2m,0),

•・•以0B为边向上作等边三角形AOB,

/.AM=V3n»0M=m,

/.A(m,5/3m),

•・•抛物线1：y=ax?+bx+c经过点0,A,B三点

aX(2m)^+2birrt-c=0

ain2+bnri-c=V3ni

c=0

ID

b=2V3

c=0

低,

in

•••△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n,

设A(e,d+n),/.P(e-n,d),Q(e+n,d),

VP,Q,A,0在抛物线1：y=ax?+bx+c上,

’2

ae+be+c=d+n

・a(e-n)2+b(e-d)2+c=d

a(e+n)+b(e+n)+c=d

c=0

ae2+be=d+n①

•Ia(e-n)2+b(e-n)=d②，

a(e+n)2+b(e+n)=d(5)

①-②化简得，2ae-an+b=l(4),

①-③化简得，-2ae-an-b=l⑤，

④-⑤化简得，an=-1,

/.a=一1

n

故答案为a=--,

n

(4)YOB的长度为2m,AM二技,

/.S&OB=*0BXAM=2mX=Fm?，

由(3)有，AN=n

•・・PQ的长度为2n,

2

SAAPQ=^-PQXAN=yX2mXn=n，

由(2)(3)有，，OF--9

mn

••,

mn

m=V3n,

•S/kAOBv5m2(炳n)2班

SAAPQn2n21

...AAOB与AAPQ的面积比为3b：1.

10、如图，抛物线y=ax?-2x+c(aWO)与x轴、y轴分别交于点A,B,C三点，已知点A(-

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将AEBP沿直

线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD,点M是直线CD上的动点，点N是

平面内一点，当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标.

【答案】(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：(4a+4+c=0,

lc=-8

解得：a=Lc=-8.

抛物线的解析式为y=x2-2x-8.

Vy=(x-1)2-9,

AD(1,-9).

(2)将y=0代入抛物线的解析式得：X2-2x-8=0,解得x=4或x=-2,

AB(4,0).

Vy=(x-1)…，

，抛物线的对称轴为x=l,

AE(1,0).

•.•将aEBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，

...EP为NBEF的角平分线.

ZBEP=45°.

设直线EP的解析式为y=-x+b,将点E的坐标代入得：-l+b=0,解得b=l,

直线EP的解析式为y=-x+1.

将y=-x+l代入抛物线的解析式得：-X+1=X2-2X-8,解得：x=Az咨或x=©杂.

•.•点P在第四象限，

•-X•=AW--3--7.

2

.„,1-V37

••y-----.

2_

.p(2+V371-V37)

,•2'2

(3)设CD的解析式为y=kx-8,将点D的坐标代入得：k-8=-9,解得k=-l,

直线CD的解析式为y=-x-8.

设直线CB的解析式为y=k?x-8,将点B的坐标代入得：4k2-8=0,解得：k2=2.

直线BC的解析式为y=2x-8.

将x=l代入直线BC的解析式得：y=-6,

AF(1,-6).

设点M的坐标为(a,-a-8).

当MF=MB时，(a-4)2+(a+8)2=(a-1)2+(a+2)z,整理得：6a=-75,解得：a=--y.

•••点M的坐标为(-3•，?).

当FM=FB时，(a-1)2+(a+2)2=(4-1)2+(-6-0)2,整理得：a2+a-20=0,解得：a=4

或a=-5.

...点M的坐标为(4,-12)或(-5,-3).

综上所述，点M的坐标为(-拳?)或(4,-12)或(-5,-3)

11、抛物线产-*+4ax+8（a>0）与x轴相交于0、4两点（其中。为坐标原点），过点尸（2,

2a）作直线HUx轴于点弘交抛物线于点6,点6关于抛物线对称轴的对称点为。（其中6、

。不重合），连接4尸交y轴于点M连接6。和R.

（1）制时，求抛物线的解析式和6。的长；

（2）如图a>l时，若APIPC,求a的值.

AD1

⑶.是否存在实数“，使生=:，若存在，求出”的值；若不存在，请说明理由

PN2

解：(1)•・•抛物线片-*+4ax+b(a>0)经过原点0,

/.ZFO,

•••制，，抛物线解析式为y=-*+6x,

・；A=2时，尸8,...点6坐标(2,8),

・••对称轴产3,B、。关于对称轴对称，

，点。坐标(4,8),：.BC=2.

(2),JAPLPC,

：.ZAP^O°,

'：ZCPB+ZAP^Q°,/AP楙/PAJ的90°,

，乙CP人PAM,

■：NPBO/PM归9G,

:.XPCBSXAPM,

.PB_BC

.6a-4_4a~4

*'43-2--2T-,

整理得a，-4K2=0,解得”=2±及，

Va>0,

«•a=2+,^2•

(3)V/l(4a,0),：.OA=4a,VP(2,2a),：.0^2,：.AM=Aa-2,,：PM//ON,：.—=——=—,

PNOM2

.4a—21Q」4日3

••^—=彳，解得：a=~.

224

12、如图，抛物线尸a*+6x+4交x轴于1(-3,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,

连接4C,比：点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，点尸的横坐标为勿.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)过点尸作AMLx轴，垂足为点机冏/交比'于点。.试探究点尸在运动过程中，是否

存在这样的点。，使得以4C,0为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点0

的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)过点户作总比6G垂足为点正请用含〃的代数式表示线段/W的长，并求出当力为

何值时/W有最大值，最大值是多少？

【解答】解：⑴由二次函数交点式表达式得：尸a(广3)(x-4)=a(V-x-12),

即：-12a=4,解得：a=-2，

则抛物线的表达式为y=-9+2产4；

(2)存在，理由：

点4、B、C的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4),

则业=5,AB=7,BC=4yf2,NOAB=/OBA=45°,

将点6、。的坐标代入一次函数表达式：并解得：y=-广4…①，

同理可得直线的表达式为：尸!■户4,

设直线的中点为"(-擀，4),过点"与。垂直直线的表达式中的A值为-卷，

同理可得过点"与直线力。垂直直线的表达式为：y=■广《…②，

qo

①当4。=/。时，如图1,

则AC=A&=5,

设：QM=MB=n,则AM=1-n,

由勾股定理得：（7-〃）2+4=25,解得：〃=3或4（舍去4）,

故点0（1,3）；

②当47=C。时，如图1,

浙5,则BQ=BC-CQ=4近-5,

贝ijQM=MB='一萨,

故点0（平，粤1）；

③当浙四时，

联立①②并解得：刀=争（舍去）；

故点0的坐标为：Q（1,3）或（平，丝叵）；

22

（3）设点P（272,-［序+；研4）,则点0（勿，-研4）,

'：OB=OC,:"ABC=NOCB=43°=4PQN,

PN=PQs\n乙PQN=®（-士舟士研4+m-4）=-返历+电2处

23366

-返＜0,・・・/W有最大值，

6

当勿=5时，AV的最大值为：自町.

224

13、如图1,直线y=-票+11交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y="|x?+bx+c经

过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD,过

点B作BD_LPD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当4BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

(3)如图2,将4BDP绕点B逆时针旋转，得到ABD'P',且旋转角/PBP'=NOAC,当点

【解答】解：(1)•••点C(0,4)在直线y=-£x+n上,

/.n=4,

4

••y=-5x+4,

令y=0,

x=3,

/.A(3,0),

,抛物线y="|v+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).

c=-2,6+3b-2=0,

•••抛物线解析式为--2,

(2)点P为抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m.

P(m,士nr"-2nl-2),

33

BD=|m|,PD=|'-gm-2+21=|--1-ni|,

•.•△BDP为等腰直角三角形，且PDLBD,

；.BD=PD,

ImI=I-|m2-4m।*

0o

m=0（舍），口弓，m=/,

...PD="1•或PD=y；

（3）VZPBP^ZOAC,OA=3,0C=4,

/.AC=5,

A2

/.sinZPBP，=4，cosNPBP'*

55

①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N_Lx轴，垂足为N,交BD于点M,

NDBD'=NND'P'=NPBP',

..3（/—2m2。-—4m）、-（z--4z-m、）=2°,

5335

•#.m=V5（舍），或m=-泥，

ND'+MD'=2,

鸟2-枭1）+，m=2,

5335

/.m=V5»或m=-V^（舍），

.•.P（一传岑1）或p（依，三必），

②当点P'落在y轴上时，如图3,

过点D'作D'M，x轴，交BD于M,过/作P'N_Ly轴,

.•.NDBD'=NND'P'=NPBP',

VP/N=BM,

.4.24、_3

•.—（—m29--m）=-m,

5335

._25

••m-百,

.p（25口）

•••P（-旄，誓1）或P（泥，・二^+4）或P（等，器）.

14、如图，直线y=-卷+(3与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-■^x'+bx+c

经过点A,B.

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点

P,N.

①点M在线段0A上运动，若以B,P,N为顶点的三角形与AAPM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M,P,N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点

重合除外)，则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”

的m的值.

【解答】解:

(1)"9^x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,

/.0=-2+c,解得c=2,

AB(0,2)，

,抛物线y=-言x'+bx+c经过点A,B,

o

曹鲂+吁解得b-3

c=2

.••抛物线解析式为y=-|x2+^-x+2；

oD

(2)①由(1)可知直线解析式为y=4x+2,

o

VM(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,

N,

P(m,—^m+2)，N(m,一■^-m+—^-ni+2)，

333

PM=--^-m+2,PA=3-m,PN=--^-m-+-7^-m+2-(--^-m+2)=--^-m2+4m,

33333

"?ABPNffAAPM相似，且NBPN=NAPM,

/.ZBNP=ZAMP=90°或NNBP=NAMP=90°