2021年中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练十：与图形变换相关的压轴题（附答案）

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练十:

与图形变换相关的压轴题(附答案)

方法提炼：

1、(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；

关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)；关于直线x=m的对称点为(2m-a,b)；关于直

线y=n的对称点为(a,2n—b)；关于点(m,n)的对称点为(2m—a,2n—b)；绕原点逆

时针旋转90。的坐标为(-b,a)；绕原点顺时针旋转90。的坐标为(b,-a)；任意两点(x1，

xl+x2yi+y2

-

yx)和(X2,丫2)的中点为,F)

典例引领：

例：已知二次函数y=nx2+4x+cQW0)的图象是经过y轴上点C(0,2)的一条抛物线，

顶点为A,对称轴是经过点”(2,0)且平行于y轴的一条直线.点P是对称轴上位于

点A下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点8,连接CA、AB.

(1)求这个二次函数的表达式及顶点A的坐标；

(2)当/ACB=45°时，求点尸的坐标；

(3)将△OB沿C8翻折后得到△S8,问点。能否恰好落在坐标轴上？若能，求点P

的坐标，若不能，说明理由.

分析：(1)运用待定系数法解得即可;

(2)过点C作CE_LAH,过点尸作PELAC于F,可证明△AFPS/^AEC,再根据相似

三角形的性质解答即可；

（3）分情况讨论：①当点。落在x轴的正半轴上时：②当点力落在y轴的负半轴上时:

③当点。落在x轴的负半轴上时.

解：（1）由抛物线的对称性可知，抛物线的图象经过点（0,2）和点（4,2）,

则（2=16a+16+c,解得卜=T,

I2=cIc=2

2

・・y=-x+4x+2,

・••当x=2时，y=6,

・••点A的坐标是（2,6）；

（2）如图1,过点。作C£_LA"，过点P作P£LAC于F,

则CE=2,AE=4,AC=Q号&2而

VZAFP=ZAEC=90°,/FAP=/EAC,：.AAFP^AAEC,

.PFCE1

••---------二,,

AFAE2

VZFCP=45",：.CF=PF.

设CF=PF=w,贝IJAF=2"?,

研」2,：.PH=^-,：.p(2,@)；

333

（3）①当点。落在x轴的正半轴上时，如图2,

CD=AC=275>又：OC=2,

二OD=4,

；•HD-1<)D=2-

由对称性可知AP=P£>,设PH=m,则AP=PO=6-/n,

在Rt/\DPH中，有PH^HD1=PD1,

即加2+22=（6-2,解得m=E，

3

“1⑵春）；

②当点。落在y轴的负半轴上时，如图3,

CD=AC—2\/^»

由对称性可知/OCP=/ACP,又•.'A"〃OC,：.ZDCP=ZAPC,

ZAPC=ZACP,.,.AC=AP=2V5>.,.PH=6-2V5，

“2（2,6-2«）；

③当点。落在x轴的负半轴上时，如图4,

CD=AC=2泥,

又；。C=2,A00=4,：.DH=AP=6,

连接A。，.•.直线CH是线段A£＞的中垂线，又点P在直线AH上，

...点P与点“重合，

：.P3(2,0).

综上所述，点尸的坐标为：2](2,得)、p(2,6-2V5)'「3⑵0).

点评：本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次

函数的性质及相似三角形的判定与性质等知识.

跟踪训练:

1.如图，抛物线尸0?-2%+。与x轴交于点A,8两点，与y轴交于点C,直线y=x+3经

过A,C两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点N是x轴上的动点，过点N作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线AC于点H.

①点£＞在线段OC上，连接A。、BD,当时，求4D+AH的最小值；

②当OC=3。。时将直线AQ绕点A旋转45°,使直线与)，轴交于点P,请直接写

出点P的坐标.

2.如图1,在平面直角坐标系中，以x=l为对称轴的抛物线丫=4，+桁+。的图象与X轴交

于点A(-l,0),点3,与)，轴交于点C(0,-3),作直线8c.点P是抛物线的对称

轴上的一个动点，P点到x轴和直线8C的距离分别为P/人PE

(1)求抛物线解析式：

(2)当P点运动过程中满足PE=P£＞时，求此时点P的坐标；

(3)如图2,从点B处沿着直线BC的垂线翻折尸E得到FE,当点尸在抛物线上时，求

点P的坐标.

图1图2备用图

3.如图，在直角坐标系内，抛物线y=7-4x-4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.顶

点为。，对称轴与x轴的交点为E,连接BD,DC,CE.点P是抛物线在第四象限内一

点，过点P作尸HLCE,垂足为H.点F是y轴上一点，连接尸尸并延长交x轴于点G,

过点0作OM_LPG,垂足为M.

(1)当PH取得最大值时，求PE+PF+匹OF的最小值；

5

(2)当PE+PF+aOF取得最小值时，把△0M尸绕点。旋转a°(0VaW360°),记旋

5

转过程中的△OMF为△OATF'.直线M'F'与x轴的交点为K.当△OF'K是以

0K为底的等腰三角形时，直接写出所有满足条件的点M'的坐标.

4.抛物线>=以2+公+«分别交X轴于点A(1,0),B(-3,0),交y轴于点C.抛物线

的对称轴I与x轴相交于点D,直线AC与抛物线的对称轴/相交于点P.

(1)请直接写出抛物线的解析式和点。的坐标；

(2)如图1,点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且MNLAC,在点

M,点N移动的过程中，是否有最小值？如果有，请求出最小值；

(3)以点C为旋转中心，将直线AC绕点C逆时针旋转，旋转角为a(0°VaW90°),

直线AC旋转时，与抛物线的对称轴/相交于点E,与抛物线的另一个交点为点。.

①如图2,当直线AC旋转到与直线8c重合时，判断线段PE、EZ)的数量关系？并说明

理由；

②当△CPQ为等腰三角形时，请直接写出点。的坐标.

M

图1图2备用图

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=，+4x的顶点为点A

(1)求点A的坐标；

(2)点B为抛物线上横坐标等于-6的点，点M为线段。8的中点，点P为直线。8下

方抛物线上的一动点.当的面积最大时，过点尸作PC_Ly轴于点C,若在坐标平

面内有一动点Q满足PQ=—，求0。+工QC的最小值；

22

(3)当(2)中。。+工QC取得最小值时，直线。。与抛物线另一交点为点E,作点E

2

关于抛物线对称轴的对称点E'.点、R是抛物线对称轴上的一点，在x轴上是否存在点S,

使得以。、E'、R、S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出S点的坐标；

若不存在，请说明理由.

6.如图，抛物线y=/f+x-4与x轴交于A,B（A在B的左侧），与y轴交于点C,抛物

线上的点E的横坐标为3,过点E作直线/i〃x轴.

（1）点P为抛物线上的动点，且在直线AC的下方，点N分别为x轴，直线/|上的

动点，且MMLx轴，当面积最大时，求PM+MN+返EN的最小值；

2

（2）过（1）中的点P作PD_LAC,垂足为凡且直线PD与y轴交于点。，把△。尸C

绕顶点F旋转45°,得到△DFC,再把△Q'FC沿直线PO平移至△£）"F'C",在平

面上是否存在点K,使得以O,C",D",K为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出

点K的坐标；若不存在，说明理由.

图①图②

7.已知，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1与直线y=-X-1相交于A,B两

点，点C为顶点，连接AC.

(1)如图1,连接8C,点P为线段A8上一动点，过点尸作轴于点E,PFLBC

于点F,过点P作「。〃》轴交抛物线于点Q(点Q在点P左侧)，当PE・PF取得最大值

时，在y轴上取一点R,连接QR,求PQ+2QR+&R0的最小值；

(2)如图2,将抛物线沿射线AC方向平移，记平移后的抛物线为y',顶点为K,当

AC=CK时，点N为平移后的抛物线y上一点，其横坐标为8.点M为线段48上一点，

连接CM,且将△ACM绕点B顺时针旋转a度(0<a<180),旋转后的三角

形为△4'CM',记直线A'C与直线A8相交于点S,直线C'M'与直线A8相交

于点T，连接NS,NT.是否存在点S和点T,使△(7'ST为等腰三角形，若存在，请直

接写出ANST的面积；若不存在，请说明理由.

图1图2

8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=斗乂2驾Zx+2«与x轴交于点A,点8

(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点E.

(1)点。是线段AC上方抛物线上一动点，连接AC、DC,DA,过点8作AC的平行线，

交DA延长线于点F,连接CF,当△OCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点Q,

使得DQ+1QE的值最小，求出此时Q点的坐标.

(2)将△OBC绕点。逆时针旋转至△0B1Q,点&C的对应点分别是81，C\,且点

81落在线段BC上，再将△081。沿y轴平移得401历C2,其中直线042与x轴交于点

K,点T为抛物线对称轴上的动点，连接KT、TOi，△QKT能否成为以。1K为直角边的

等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的7点的坐标；若不能，请说明理由.

9.已知抛物线L：)，=-工X2-Zr+互与x轴交于A,8两点，(点A在点8的左侧)，顶点

2X2

为。点.

(1)直接写出A,B,。三点的坐标；

(2)设例(w,0)x轴上一点，将抛物线L绕点M旋转180°得到抛物线

①当抛物线L1经过原点时，直接写出“的值；

②若C为第一象限内抛物线。上一点，E为第一象限内一点，问是否存在以8。为边,

以B,D,C,E为顶点的正方形，若存在，请求出此时抛物线匕的表达式；若不存在,

请说明理由.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-3，+9x+3与x轴交于A,B两点(点4在

44

点B左侧)，与y轴交于点C：连接BC,点P为线段BC上方抛物线上的一动点，连接

。尸交BC于点Q.

(1)如图1,当上Q值最大时，点E为线段A8上一点，在线段BC上有两动点M,N(M

0Q

在N上方)，且MN=1,求PM+MN+NE-38E的最小值；

5

(2)如图2,连接AC,将△AOC沿射线C8方向平移，点A,C,。平移后的对应点分

别记作Ai，Ci，O\,当CIB=OIB时，连接4/、018,将△A。/绕点0］沿顺时针方

向旋转90°后得△AzOiBi在直线尤=』上是否存在点K,使得△A2B1K为等腰三角形？

2

若存在，直接写出点K的坐标；不存在，请说明理由.

11.如图1,抛物线-6"+6QWO)与x轴交于点A(8,0),与〉轴交于点8,在

x轴上有一动点E(%0)(0</n<8),过点E作x轴的垂线交直线A8于点N,交抛物

线于点P,过点P作PM1.AB于点M.

(1)求出抛物线的函数表达式；

(2)设的面积为Si，硒的面积为S2，若Si：52=36：25,求加的值;

(3)如图2,在(2)条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转得到OE',旋转角为30°,

连接£71、EB,在坐标平面内找一点。，使△AOE'〜△80Q,并求出。的坐标.

12.如图1,已知)，=工乂2—生x上的图象与％轴交于A，8两点，点P是抛物线上在第四

555

象限的点，且tan/BAP=3.

5

(1)求点P的坐标;

(2)抛物线的对称轴交x轴于点Q,若抛物线上存在点C,使得NCPQ=NPQB,求点

C的坐标;

(3)将x轴下方的抛物线沿x轴向上翻折得到如图2所示的图象，若直线y=&+当与

这个图形恰有四个公共点，求出此时k的取值范围.

图1图2

13.综合探究

如图（1）示，抛物线＞=2?-当-2与x轴交于A,B两点（点4在点8的左侧），与

y轴交于点C连接AC,8c得到aABC,再将它向右平移得到AA'B'C对应点如图示）,

直线I经过B,C两点请解答下列问题

（1）求直线/的表达式.

（2）如图（2）示，当点C落在抛物线），=£/-5犬-2上时，

①连接A'C,CC,BC,试判断四边形A'CCB的形状（要有说理过程）；

②设A'C'与BC交于点P,求四边形BPC'B'的面积；

（3）如图（3）示，在△ABC向右平移的过程中，设点A'关于直线/的对称点为点A”,

试猜想点A”能否落在直线夕C上？若能，请直接写出此时aABC向右平移的距离;

若不能，请说明理由.

“"

14.如图1.已知直线/：>'=-1和抛物线L：y=ax+bx+c（aWO）,抛物线L的顶点为原

点，且经过点A（2〃，工）直线y=Ax+l与y轴交于点凡与跑抛物线入交于点B（为，

4

yi）,C（%2>丫2），且Xi<X2.

（1）求抛物线L的解析式；

（2）求证：无论％为何值，直线/总是与以8c为直径的圆相切；

（3）①如图2,点P是抛物线L上的一个动点，过点P作PMA.I于点M,试判断PM

与PF之间的数量关系，并说明理由；

②将抛物线L和点尸都向右平移2个单位后，得到抛物线〃和点Q,。是抛物线L上

的一动点，且点。在心的对称轴的右侧，过点Q作QNLI于点N,连接QA.求|QA-

QN的最大值，并直接写出此时点。的坐标.

图1图2

参考答案

1.解：(1)直线y=x+3经过A,C两点，则点A、C的坐标分别为(-3,0)、(0,3),

将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：1°=9a+6+c,解得：［a=-l,

Ic=3Ic=3

故抛物线的表达式为：＞-=-X2-2%+3；

(2)①令y=-/-2X+3=0,则x=-3或1,即点B(l,0),

当时，AD+AH=AD+BD,

当A、B、。三点共线时，

AO+AH=A/j+BZ)最小，最小值为：48=1-(-3)=4,

答：AQ+A/7的最小值为4；

②当OC=3。。时，OD=\,AD=yflQ,

贝!)tanZAD(?=-^-=Q,贝！jsinau-；^,

DOVl0

当点尸在y轴上方时，如下图，

过点P作△APZ）的高PH,交AD的延长线与点H,

设：PH=m,

VZB4D=45°,则AH=〃z,

tanZPDH==——^==tana=3,

DH10

解得：片李

3小

~2~

PD=―

sinCLo§

V10

故点P(0,6)；

当点P在y轴下方时，如下图所示,

同理可得：DP'=$

2

故：点P(0,-3■)；

2

综上，点P(0,6)或(0,一2)

2

2.解：(1)•.•抛物线与x轴交于点4(-1,0)、点B

...点A、B关于对称轴：直线x=l对称

XA+Xp

工2卫=L解得：XB=3

：.B(3,0)

:抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C(0,-3)

a-b+c=0a=l

••"9a+3b+c=0解得：，b=-2

0+0+c=-3c=-3

，抛物线解析式为y=x-2x-3

(2)如图1,记直线BC与对称轴交点为Q

,：B(3,0),C(0,-3)

直线8c解析式为y=x-3,ZOCB=45°

：.Q(1,-2)

设尸(1,f),则尸£>=M，PQ=\t+2\

8c于点E

，NPEQ=90°

•：PQ//y^A

:.NPQE=NOCB=45°

：.RtAPEQ^,sinZP(2£=—

PQ2

:.PQ=®PE

"：PE=PD

:.PQ=&PD

：.P。2=2»

(Z+2)2=2/

解得：“=2+2如，殳=2-2我

点尸坐标为(1,2+2加)或(1,2-2加)

(3)①如图2,当点P(1,t)在点。上方时，f>-2

连接PF,过点E作EHA.PQ于点H

VZPCE=45°,NPEQ=90°

△尸EQ是等腰直角三角形

:.PH=QH=EH=LpQ=^~

22

即点E向左平移上2个单位、向上平移上2个单位可得点P

22

：.XE=XP+^^-=—+2,yE=yp-^-=—1,即E(主+2,-1-1)

222222

•••从点B处沿着直线BC的垂线翻折PE得到FE

J.FE1BC,FE=PE

：.FE//PE

...四边形PEEF是平行四边形

：.EE//PF,即EE向左平移土2个单位、向上平移主2个单位可得「尸

22

;点B为EE中点

xE+xE/t

——-----=独=3,尔=-〉E=1-

；.总'=4-—

2

；.XF=XE;华"=3-3"=)£'+萼'=2，即F(3-t,2)

:点F在抛物线上

(3-r)2-2(3-Z)-3=2

解得：“=2+>\/^，，2=2-A/^

②如图3,当点尸(1,r)在点Q下方时，r<-2

则翻折后点尸在直线8c下方，不可能在抛物线上

综上所述，点尸坐标为(1,2+J"^)或(1,2-

3.解：(1)在抛物线)，=，-4x-4中，令x=0,则y=-4,：,C(0,-4),

令)=0,得/-4X-4=0,解得：xi=2+2&，M=2-2圾，,4(2-2&,0),B(2+2

M，0)

：y=x2-4x-4=(x-2)2-8,；.顶点0(2,-8),E(2,0),

易求得直线CE解析式为：y=2x-4,设经过点P且平行于CE的直线解析式为y=2+b

由，-4x-4=2x+6,Wx2-6A--4-b=0,△=(-6)2-4(-4-b)=52+46,

,.,△=0时，点尸到CE的距离PH最大，...52+46=0,即:b=-13

y=2x-13fXi=X=3

...y=2x-13,解方程组得《2

,y=x-4x-4[yi=y2=-7

：.P(3,-7)

如图1,过点尸作PQLx轴于点Q,中PE是定值，

：.PE+PF+-^OF的最小即PF+匹OF最小，令FM=—OF,则PF+&OF=PF+FM=PM

5555

此时里=_1,zOGF+ZGOM^ZGOM+ZFOM=90°

OF5

：.NOGF=NFOM,

:NFOG=NFMO=90°

:Z0GS/\FM0

.0F^FM=4

,*FGOF5

.0F=4

**OG3

,:△GPQSXGFO

.PQ=OF=J4

"QGOG京

QG=1L,

：.G(-—,0)

4

；.PG=更，GM=—

420

：.PM=PG-GM=—,

5

在△P£Q中，PE』Q2+EQ2=U^=5如

；.PE+PF+国OF的最小值=5b+WJ

55

（2）①如图2,点M'在第三象限，：△。尸K是以OK为底的等腰三角形，，。尸

=KF'=3,F'M'=四

5

：.M'K=KF'-F'M'=—,

5

设M'(机，〃)，则-〃•OK=KA/''M'O

，解得一噜

，=蓝二号，即-噜，•!=*

27K

・・"2=

50

27

：.M'(--V^'.,-^®)；

5050

②如图3,点M'在第二象限，OF'=KF',作F'x轴于“，作M'轴于R,

VOF'=KF',F'H_Lx轴

OH=HK,

,:KM'=KF'+F'M'=3+—=—

55

■：40RM'=NKM'0=90°,AROM'+ZKOM'=NOKM'+NKOM'=90°

:./ROM'=NOKM'

Rs/\KOM'

_9

.『R一OR一OK即.MyR._OR_5

**0MzKM'OK9.27.%质

555

.z)o_27V10

5050

■区,(9VIU27。、

5050

③如图4,作M'G_Lx轴于G,点M'在第一象限，OF'=KF',F'O=F'K=3,

M'K=3-超=3,

55

旦x3

L至__5_

2/2G-OM'K

°K=O+MK;''~~OK3710

5

50

3

Z

,G_MK_5__1

VtanZMXZ

"OGOM且3

5

"一27后

UCr---------------，

50

M，,27疝9A/IO

5050

④如图5,点M'在第四象限，作M'G，x轴于G,'：F'K=OF'=3

：.M'K=M'F'+F'长=2+3=区

55

OK=VM/02+MyK2=J（卷）2+（看）2=

WG』'0・『仁里亚,0G=S=®

OK50OK50

…噜一等）;

综上所述"的坐标为“等’-嚼画一警'誓函誓'

里匝）或（见匝，_27vl5）

4.解：(1)•・♦抛物线y=o?+bx+«经过点A(1,0),B(-3,0)

(a+b+V3=0

I9a_3b+V3=0

・・・抛物线的解析式为:

・・,对称轴为直线:1

：.D(-1,0)

(2)在M,N移动的过程中，有最小值.

2

如图1,过点。作DFLAC于点、F

二•当x=0时，y=-畀率+«=«

33

:.C(0,V3)

VA(1,0)

0A1V3

.•.在Rt^AOC中，tan/OCA=

0CV33

OCA=30°

'：MN±AC,即NMNC=90°

:.MN=LMC

2

DM+^MC^DM+MN

2

当点£>、M、N在同一直线上时，£>M+2MC=OM+MN=£>F最小

2

\'ZOAC=900-ZOCA=60°

.•.在RtZXZM/中，sin/OAC=1^"^

AD2

.•.£）尸=返4£>=返乂（1+1）=«

22

；.DM+^MC的最小值为«

（3）①PE=2E£>,理由如下：

设直线BC的解析式为y=kx+h

,（

.上色。解得：卜V丁3

M|b=V3

...直线BC的解析式为）二返产«,

3

:对称轴为直线：X=-1,点E在对称轴上

.•.点E（-],包1）

3

：.DE=^^

3

VZPDA=90°,Zfi4D=60°

...在RtZ\B4£>中，tan/OAC=^>=^

:.PD=2M

：.PE=PD-DE=2M-'1=生巨

33

:.PE=2ED

②设直线AC解析式为y=s+«

把点4（1,0）代入得：c+“=0,解得：c=-M

直线AC：y=一心+如

•.•直线AC与对称轴：直线x=-1的交点为尸

：.P（-1,2«）

••・空=业2+（2旧一时）2=2

:点。在抛物线上

二设点。坐标为6-返季+遍）（岸0）

33

；.P°2=G+1）2+（一返,2_迥t+M.2y）2,CQ2-2+（一返八也+如.

3333

«）若PQ=PC,如图2

垂直平分C。

AQE=CE^1,yQ=yc=«

•••Q（-2,V3）

"）若PQ=CQ,则（r+1）2+（-返上-包反t+如-273）2=/+（-返金,凶3+如

3333

解得：t[=-2,，2=-1

：.Q(-2,或(-1,

3

iii)若PC=CQ,则上+(-近『-汉辰+如-遍)2=4

33

解得：f=-2

；.Q(-2,V3)

综上所述，当△CP。为等腰三角形时点。的坐标分别为(-2,、/§),(-1,士返).

3

5.解：(1)；y=/+4x=(x+2)2-4,

.\A(-2,-4)；

(2)如图1,过P作轴交。8于，，作PG_LBC于G,过M作用。_Ly轴交y轴

于。，

:点B为抛物线上横坐标等于-6的点，.••8(-6,12),

直线AB解析式为＞•=-2x

设P(〃2,//+4相),贝UH(“，-2m),PH=-2m-(7n2+4w)=-in'-6m

•・,点M为线段OB的中点，・・・M(-3,6),：.MD=3

・.・PH〃y轴

：.ZPHG=ZMOD

VPG1BCMD_Ly轴

：.ZPGH=ZMDO

:ZGHs丛MDO

2

APG=MD(即PG・M0=PH・MD=3(-m-6m)=-3m-\Sm,

PHMO

••♦SAPOM=」PG.MO=-^-2-9〃?=-—(w+3)2+—

22m22

•；-3<0,.•.当〃?=-3时，&POM的值最大，止匕时P(-3,-3),

2

在PC上取点T,使得尸7=3,连接。T,OT,

4

"：PC=3,PQ=—

2

•PT=PQ=1

,*PQPC~2

:NQPT=NCPQ

:.△QPTSXCPQ

曜磊/，即TQ=1QC,

：.OQ+工QC=OQ+TQ^OT

2

VOT=22

>1QC^=次+号)2=-y

OQ+^QC的最小值为西;

24

（3）•.•当（2）中OQ+2QC取得最小值时，点0、Q、T三点共线，T（一-3）

24

二直线OQ解析式为），=京

48

y=vxX[=0X2一万

解方程组3得

2了1=032

y=x+4xy2=T

：.E（J-,卫），•.•抛物线对称轴为直线x=-2,

39

*（小手,

以0、E'、R、S为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情形:

①OR为对角线，RS是平行四边形

J.OS//E'R,OS=E'R=2,.,.SI(20)

33

②。S为对角线，-：OE'RS是平行四边形

：.OE'//RS,R(-2,丝)，：.S2(—,0)

93

@OE'为对角线，-：OE'RS是平行四边形

J.OS//E'R,OS=E'R=2,：.S3(—,0),

33

综上所述，点S的坐标为：51(上，0),S2(—,0),S3(2,0).

333

6.解：(1)如图1,过点P作尸轴于点G,交AC于点”，在PG上截取

连接P'N,

以NE为斜边在直线NE上方作等腰RtANEQ,过点P作P'R±EQ于点R

\'x—0时，y——x2+x-4=-4

2

：.C(0,-4)

：y=0时，y+x-4=0

解得：为=-4,X2—2

：.A(-4,0),B(2,0)

直线AC解析式为y=-x-4

•.•抛物线上的点E的横坐标为3

2

.-.y£=Ax3+3-4=^-

22

：.E(3,工)，直线/1：y=t

2-2

•..点〃在x轴上，点N在直线6上，MNLc轴

:.PP=MN=L

2

设抛物线上的点P(n—?+r-4)(-4<r<0)

2

:・H(/,-L4)

1717

PH=-/-4-C—r+t-4)=--r-2t

22

•'­S^APC=S^APH+S^CPH=—PH'AG+—PH-OG=—PH'0A=2PH=-r2-4r

222

当尸-—=-2时，SAAPC最大

-2

1771

••yp=—t-4=2-2-4=-4,yp'=yp+—=--

222

：.P(-2,-4),P'(-2,-工)

2

,:PP'=MN,PP'//MN

二四边形PMNP是平行四边形

:.PM=PN

•.,等腰RtZXNEQ中，NE为斜边

:.NNEQ=NENQ=45°,NQLEQ

：.NQ=^2L.EN

2

PM+MN+乎EN=PN+PP+NQ=^+P'N+NQ

•.,当点P'、N、。在同一直线上时，PN+NQ=PR最小

PM+MN+^-EN=-L+P'R

22

设直线EQ解析式为y=-x+“

•*.-3+a=—解得：

22

...直线EQ：y=-x+券

设直线P'R解析式为y=x+b

A-2+b=-A解得：b=3

22

，直线PRy=x+3

2

*崂r苴

【c解得“x-2

3

Y=x+yy=4

：.R(立，4)

2

，PM+MN+返EN最小值为7+%反

22

(2),JPDVAC,P(-2,-4),

二直线P。解析式为：y=x-2,

：.D(0,-2),F(-1,-3),

：.CD^2,DF=CF=®,△CCF是等腰直角三角形,

如图2,把△OFC绕顶点尸逆时针旋转45°,得到△£＞尸C,...C'(&-1,-3),D

(-1,3)

把△OFC沿直线PO平移至△£>"F'C",连接O'D",C'C"

则直线C'C"解析式为y=x-2-V2-直线D"解析式为y=x+®-2,显然OC"

2亚+1>2=C"D"

...以。，C",D",K为顶点的四边形为菱形，OC"不可能为边，只能以OD"、C"D"

为邻边构成菱形

AOD"=C"D"=OK=2,

VOK//C"D",PDLC"D"

OK±PD

••・&（V2--加）,

如图3,把△OFC绕顶点尸顺时针旋转45°,得到△OFC,：.C'（-1,-3-圾）,

D'（V2-1--V2-3）

把△O'FC沿直线P£）平移至F'C",连接O'D",C'C",

显然，C"D"//PD,OC"）料+1>C"D",OD">V2+1>C（/D",

...以。，C",D",K为顶点的四边形为菱形，C"D"只能为对角线，

:.K2（2+^/2,-2-

综上所述，点K的坐标为：Ki（加，-A/2）>七（2+&，-2-V2）-

7.解：⑴由抛物线y=-/+2%-1=*(x-2)2+1得：C(2,1),

y=-x，X[=0/x?=6

解方程组彳2得：《,；(0,-1),B(6,-7),

Yi=-ly=-7

y=-x-l2

过C作C51y轴于S,过8作BKLy轴于K,则/ASC=/AKB=9O°

'：CS=2,AS=1-(-1)=2,BK=6,AK=-1-(-7)=6

；.AS=CS,AK=BK

.♦.△ACS和△4BK均为等腰直角三角形，

：.ZCAS=ZBAK=45<,,AC=2近,4B=6&

.•.NBAC=90。，«C=^AC2+AB2=475

设P(，〃，-w-1),0W〃忘6,则PE=-(-/n-1)=机+1,PB=n(6-m),

9：PFLBC

:・/BFP=ZBAC=90°

/\BPFs/\BCA

.PF=AC=2^；：0巫(6-w)

BPBC4755

：.PE・PF=(w+1)X立(6-w)=(M7-旦)2+—

55220

•.•「Zivo,.•.当山=至■时，PE,PF取得最大值,此时，P(―,二■),「尸。〃》轴

5222

.••Q(-1，L,

2

在x正半轴上截取OG=OR,连接RG,过。作OT_LRG于T,则RT=^-RO,'：PQ+2QR+

4QRO=PQ+2(QR+零R。)

求PQ+2QR+&R。的最小值，即求QR+唱R。的最小值，当Q,K,7三点共线时，QR+

返RO的值最小；

2

•・・NORG=45°

；・/PQR=/QRK=45°

:.QR=加，血喘，

.•.PQ+2QR+&R0的最小值=擀-(-1)+2(&+苧，)婴.；

(2)'：AC=CK,：.K(4,3)

平移后的抛物线为y'=V(x-4)2+3,

：.N(8,-5)

过点、N作NZLAB于Z,作NN，〃》轴交AB于N',则NAW'Z=45°,N'(4,-5)

:.NN'=8-4=4,NZ=^X4=2衣

:点M为线段AB上一点，且CM=BM,设7-1)

Ct-2)2+(-r-1-1)2=(r-6)2+(-r-1+7)2,解得：r=3

3

•/811x

••M\—,—')

33

ACM=BM^^&,AM^AB-BM=^^

33

：.AC：AM：CN=3：4：5,

△C'ST为等腰三角形，可以分三种情形：

①C'T=ST,如图2,作九_LSC'于L则NGC'=ZC=ZACM,SL=LC'=A

SC',

：.sinZTSC=sinZACM=A,'：BA'=8A=6料，

.吁BA，_15&•＜（31X

sin/TSC'1222

5

V-K_J.=tanZTSC,=tan/ACM=g,.'.A'S^—A'SC'=A'S+A'C

A'S342

_13V2V_13V2

24

；.ST=—SL=^^-

312

S^NST=—ST'NZ=^X&X2我=强，

22126

②C'S=CT,如图3,作C'H_LAB于”，作TL_LSC'于L,作NZ_LAB于Z,

由①知4C：AM：CN=3：4：5,即：A'C：A'M'；C'M'=3：4：5,

,JTL//A'M',：.C'L：LT：C7=3：4：5,设C'L=3k,LT=4k,C'T=5k

：.C'S=C'T=5k,LS=2k,ST=7LS2+L