2021年中考数学 分类冲刺训练：相似三角形及其应用（含答案）

2021中考数学分类冲刺训练：相似三角形及其

应用

一、选择题

1.如图平行四边形ABC。中，/为BC中点，延长AO至E,使OE；AO=1.3

连接EF交0c于点G,则SADEG:SACFG=（）

A.2；3B.3：2C.9：4D.4:9

2.如图①，长、宽均为3,高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有

水，水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②

是此时的示意图，则图②中水面高度为（）

容叠口边缘J

水面高度

3.（2019•雅安）如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部

分）与△ABCi相似的是

4B：

4.（2020•铜仁）已知△FHBSAEA。，它们的周长分别为30和15,且尸"=6,

则EA的长为（）

5.（2020.嘉兴）如图，在直角坐标系中，△04?的顶点为。（0,0）,A（4,3）,

8（3,0）.以点。为位似中心，在第三象限内作与△。他的位似比为抻位似图

形△OCD,则点C坐标为（）

6.（2019•贵港）如图，在△ABC中，点O,E分别在AB,AC边上，DE//BC,

ZACD=ZB,若AD=2BD,BC=6,则线段。。的长为

B.3啦

C.276D.5

7.（2020.重庆B卷）如图，△ABC与ADEF位似，点O为位似中心.已知

04:00=1:2,则△ABC与△OEF的面积比为（）

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5

8.（2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形

ABCD与正方形EFGH.连结EG,BD相交于点0、BD与HC相交于点P.若

GO=GP,则阻3丝的值是（）

AD

C.5-72D.—

4

二、填空题

9.如图，在AABC中，NACD=NB,若AO=2,BD=3,则AC长为

10.（2019•郴州）若山=：,则'=

x2x

11.如图，在口ABC。中，过对角线8。上一点P作EF〃BC,GH〃AB,且CG=2BG,

SABPG=1,则S，AEPH=.

AHD

BGC

2

12.（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将A4OB以点O为位似中心，上为位似

3

比作位似变换，得到A4QH.已知A（2,3）,则点4的坐标是

13.（2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶

点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知4△ABC是6

X6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt/\ABC相似的格点三角形

中.面积最大的三角形的斜边长是.

14.（2019•泸州）如图，在等腰RtZ\ABC中，NC=90。，AC=15,点E在边CB上,

CE=2EB,点D在边AB上,CD±AE,垂足为尸，则长为.

15.（2019•辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO,CO分别在x轴,

了轴上，A点的坐标为（-8,6）,点尸在矩形ABOC的内部，点E在8。边上，满

足APBESACBO,当“PC是等腰三角形时，P点坐标为.

16.（2020・长沙）如图，点尸在以MN为直径的半圆上运动，（点P与不重

合）PQLMN,NE平分NMNP,交PM于点E,交PQ于点F.

⑴篇+器

⑵若PN?=PM•MN,则=

三、解答题

17.如图，已知AABC内接于00,A3是直径，点。在。。上，OD/IBC,过点

。作垂足为E,连接CO交OE于点E

⑴求证:△DOE^^ABC-

⑵求证:N。。尸=N8OE

18.如图，RtaABC中，ZACB=90°,以AC为直径的0。交A8于点D过点。

作。。的切线交BC于点E,连接。£

(1)求证:△DBE是等腰三角形;

(2)求证:△COEsXCAB.

19.(2019•张家界)如图，在平行四边形A3CO中，连接对角线AC,延长AB至点

E,使跳=的，连接。E,分别交BC,AC交于点EG.

(1)求证：BF=CF；

(2)若8C=6,DG=4,求/G的长.

20.(2019•广东)如图，在△ABC中，点。是边A3上的一点.

A

(1)请用尺规作图法，在ZXABC内，求作NAOE,使ZADE=ZB,。后交AC于E；

(不要求写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若券=2,求售的值.

DBEC

21.(2020•江苏徐州)我们知道：如图①，点3把线段AC分成两部分，如果生=空，

ABAC

那么称点8为线段4c的黄金分割点.它们的比值为更二i.

2

(1)在图①中，若AC=20c〃z,贝必3的长为cm；

(2)如图②，用边长为20c〃z的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABCD得

折痕EF,连接CE,将C3折叠到CE上，点8的对应点"，得折痕CG.试说明：G是

AB的黄金分割点；

(3)如图③，小明进一步探究：在边长为。的正方形A8C0的边AO上任取点E

(AE>DE),连接BE,i^-CF±BE,交AB于点尸，延长EA交于点P.他发现当

PB与8。菌足某种关系时，E、尸恰好分别是AO、AB的黄金分割点.请猜想小明的

发现，并说明理由.

2021中考数学分类冲刺训练：相似三角形及其

应用-答案

一、选择题

1.【答案】D［解析］因为四边形A5CO是平行四边形，所以AO=BC因为OE：

AD=l：3,尸为8C中点，所以。E；"=2；3,因为平行四边形ABC。中，DE

//CF,所以ADEGsACFG,相似比为2.3所以&DEG；SACFG=4；9.故选

D.

2.【答案】A［解析］如图所示.设。M=x,则CM=8-x,

根据题意得：38-x+8）x3x3=3x3x6,解得x=4,：.DM=4.

D

:水面高度

,/ZD=90°.AH

...由勾股定理得：

BM=\!BD2+DM2=v'424-32=5.

过点B作B”,水平桌面于H,"：ZHBA+ZABM=ZABM+ZDBM=9Q°,

：./HBA=NDBM,

"：/AH8=NO=90。，

：.^ABH^/\MBD,即空•=?,解得BH=丝，即水面高度为丝

ABBM85S5

3.【答案】B

【解析】因为△AB|G中有一个角是135。，选项中，有135。角的三角形只有B,

且满足两边成比例夹角相等，故选B.

4.【答案】A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以4FHB和4EAD

的相似比为30：15=2：1,所以FH：EA=2：1,即6：EA=2：1,解得EA=3.因此

本题选A.

5.【答案】B

【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如

果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为

k,那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（丘，6）或（-丘,

14

-ky）.由A（4,3）,位似比仁可得C（-^,-1）因此本题选B.

6.【答案】C

【解析】设AO=2x,BD=x,：.AB^3x,

VDE//BC,：./\ADE^AABC,

.DEADAE.DElx

BCABAC63x

.AE2

••DE=4,—-=~

AC3

■:ZACD=NB,ZADE=ZB,：.ZADE=ZACD,

VZA=ZA,，AADEsA24co,

ADAE_DE

~AC~~AD~~CD

AD2y

设AE=2y,AC=3y,.•.可=而

2y_4厂

AD=yrj6y,..,..CD=2V6,

故选c.

7.【答案】C

【解析】本题考查了相似三角形的性质，•••△ABC与aOE尸位似，且丝DA=上1,

OD2

.•.2如=（工］=』，因此本题选c.

S.DEF12）4

8.【答案】C

【解析】•••四边形EFGH为正方形，/.ZEGH=45°,ZFGH=90°,VOG=

GP,AZGOP=ZOPG=67.5°,AZPBG=22.5°,又•.•/DBC=45°,AZ

GBC=22.5°,/.ZPBG=ZGBC,

VZBGP=ZBG=90°,BG=BG,.，.ABPG^ABCG,，PG=CG.设OG=

PG=CG=尢，

•••O为EG,BD的交点，...EG=2x,FG=^x「.•四个全等的直角三角形拼成“赵

爽弦图”，，BF=CG=光，

■口「_+应■=垃+1)"=(4+20”

••BGx7x,..BC2BG2+CG2,

SjE方影ABCD_(4+2应卜=2+应

...S正方形EFG"2x2,因此本题选D.

二、填空题_

9.【答案】同[MW]VZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,.*.△

・AC_ADniiAC_2

•.一,区|J—，,

ABAC2+3AC

•••4。=旧或AC=-VIb(舍去).

10.【答案】-

2

【解析】•.•C=3,.・.2x+2y=3x,

x2

故2尸G则，=《，故答案为：二

x22

11.【答案】4［解析］由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角

形”可推出。AEP”的面积等于QPGCP的面积.

,?CG=2BG,：.BG：BC=\；3,BG：PF=\：2.

■:ABPGS/\BDC,且相似比为1；3,

•*.5ABDC=9S&BPG=9.

BPGs/XPDF,且相似比为1；2,

/.SAPDF=4S&BPG=4.

♦♦£ME/W=S°PGCF=9-1-4=4.

12.【答案】（生2）

3

【解析】•••将4AOB以点O为位似中心，2为位似比作位似变换，得到△4081，

3

A（2,3）,.•.点A的坐标是:（2x2,2x3）,即4（生2）.故答案为：（生2）.

3333

13.【答案】解：*.,在RfAABC中，AC=1,BC=2,AAB=击，AC：BC=1：

2,

...与RfZ^ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2,「7

若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8,但在6X6网格图形中，最长线LJ

段为8回，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格耳：」

点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4,在图中尝试，可画出DE=V10

EF=2^/10,DF=5馅的三角形，

..闻_2闻_5&BDC

△

12词.".ABC^ADEF,.,.ZDEF=ZC=90°,

...此时4DEF的面积为：画X2^/10+2=10,4DEF为面积最大的三角形,

其斜边长为：5M.故答案为：5M.

14.【答案】9夜

【解析】如图，过。作于〃，则乙4"。=90。,

•.•在等腰RtAABC中，ZC=90°,AC=15,

/.AC=BC=15,NC4D=45。，

ZADH=900-ZCAD=45°=ZCAD,

：.AH=DH,

：.CH=AC-AH=\5-DH,

,：CFA.AE,：.ZDHA=ZDFA=90°,

又；4ANH=/DNF,:.AHAF=AHDF,

..AAACESAADHC,DHCH,

ACCE

•：CE=2EB,CE+BE=BC=\5,CE=10,

.DH\5-DH

・・-----=------------------9

1510

DH=9,

•*-AD=^JAH2+DH2=9近，故答案为：9&-

15.【答案】(告,|)或(-4,3)

【解析】•••点P在矩形AB。。的内部，且是等腰三角形，

...尸点在AC的垂直平分线上或在以点。为圆心AC为半径的圆弧上；

①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与B。

的交点即是E,如图1所示，

VPE±BO,CO1BO,

:.PE//CO,

:./\PBEsACBO,

•••四边形AB。。是矩形，A点的坐标为(-8,6),

.•.点P横坐标为-4,。。=6,80=8,BE=4,

,：APBEs△CB。，

:.里=里,即这q

COBO68

解得：PE=3,

...点P(-4,3).

②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为尸,

过点尸作PEL3O于E,如图2所示，

图2

VCO1BO,：,PE//C0,

：.APBEsACB0,

•.•四边形AB0C是矩形，A点的坐标为(-8,6),

...AC=B0=8,CP=8,AB=0C=6,

,,BC-A/BO2+OC2-Jg+6^-10»,,BP=2»

■:APBEs△CBO,

.PEBEBPPEBE2

..布=而=而’R即n：

解得：PE1,BE=|,

综上所述：点P的坐标为：(等t)或(-4,3),

故答案为：(-三悔)或(-4,3).

16.【答案】1;遂二

2

【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质,

(1)EHLMN,又〈MN是直径,NE平分/MNP,PQ1.MN,，易证出PE

=EH=HF=PF,EH//PQ,：.^EMH^/\PMQ,.•.坐=里="，，

PMPQPQ

PF卡PE_ME+PE_].

~PQ~PM~PM~PM'

(2)由相似基本图射影型得：解得PN?=QN・MN又,：PN?=PM・MN,QN=

PM,设QN=PM=a,MQ=b,由相似基本图射影型得：^PM2=MQ»MN,

—(.+6)解得八厘或八…(舍去).谭士与1；

因此本题答案为1;避二.

MHQON

三、解答题

17.【答案】

证明是。。的直径，/.ZACB=90°.

VDELAB,：.ZDEO=90°,

：.ZDEO=ZACB.

,JOD//BC,：.ZDOE=ZABC,

.*.△OOEs△AB。.

(2)△DOEs△ABC,二ZODE=NA

•••NA和NBDC都是段所对的圆周角，

AZA=ZBDC,：.ZODE=ZBDC.

：.ZODF=ZBDE.

18.【答案】

证明:⑴连接OD

•.•OE是。。的切线，：.ZODE=90°,

，ZADO+ZBDE=90°.

XVZACB=90°,：.ZA+ZB=90°,

'：OA=OD,：.ZA=ZADO,

：.ZBDE=ZB,

：.EB=ED,

...△OBE是等腰三角形.

(2)VZACB=90°,AC是。。的直径,

.•.CB是。。的切线，

又；OE是。。的切线，，DE=EC.

,:DE=EB,：.EC=EB.

'：OA=OC,：.OE//AB.

:.XCOEsXCAB.

19.【答案】

(1)V四边形ABCD是平行四边形，

AAD//CD,AD=BC,

:.AEBFsAEAD,

.BFBE

"~\D~~EA'

'：BE=AB,AE=AB+BE,

.BF_\

•・茄—'，