2021年中考数学冲刺训练：《中考数学基本思想综合1》测试卷、练习卷（答案及解析）

《中考数学基本思想综合1》测试卷、练习卷（答案及解析）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个根,

则k的值为（）

C.3或4

2.如图，有--个长、宽各为2m，高为3根且封闭的长方体纸盒，

一只昆虫从顶点A要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短

路程为

A.

B.4m

C.5m

D.6m

3.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）

B.25或7C.5和7

4.从边长为。的正方形内去掉一个边长为力的小正方形（如图1）,然后将剩余部分剪

拼成一个矩形（如图2）,上述操作所能验证的等式是（）

S11512

A.(a—b)2=a2—2ab+b2B.a2—b2=(a+b)(a—b)

C.(a+<)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)

5.函数y=可灯与）/=x+a的图象恰有两个公共点，则实数。的取值范围是（）

A.a>1B.-1<a<1

C.a>1或a<-1D.a>1或a<—1

6.下图中反比例函数y=（与一次函数y=kx-k在同一直角坐标系中的大致图象是

()

7.如图，正方形ABC。的边长为6,

上，若尸是BC的中点，且NEDF

A.|V10

B.2V10

C.3V5

D.yV5

8.如图，△ABC中，AD平分NB4C,DG1BC且平分8C,DE1AB^E,DF1AC^

尸.若48=8,AC=6,则AE的长为（）.

A.9B.7C.5D.4

9.方程（M+x—l）"2020=1的整数解的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

10.如图，边长为1的正方形ABCZ）的对角线AC、8。相交于点。,有直角4MPN,使直

角顶点P与点。重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转4MPN,

旋转角为火0°<9<90。），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接所交OB

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(1)EF=y/20E;

3s四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；

(3)BE+BF=企。4;

(4)在旋转过程中，当ABEF与AC。尸的面积之和最大时，AE=~

(5)OG-BD=AE2+CF2.

A.⑴(2)⑶⑸B.⑴(3)(4)⑸C.(2)⑶(4)⑸D.⑴⑵⑶(4)

二、填空题(本大题共4小题，共12.。分)

11.在△ABC中，AB=24,AC=18,。是AC上一点，AD=6,在AB上取一点E,

使A、。、E三点组成的三角形与AABC相似，则AE的长为.

12.函数y=WI|Y|与y=x+rn的图象恰有两个公共点，则实数m的取值范围是.

13.已知VF中=l—a2,则。=.

14.已知，大正方形的边长为5厘米，小正方形的边长

为2厘米，起始状态如图所示.大正方形固定不动，

把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设f

平移的时间为，秒，两个正方形重叠部分的面积为S'

平方厘米.当S=2时，小正方形平移的时间为秒.

三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)

15.解关于x的方程——三=幺上学.

2x+l1-2X1-4X2

四、解答题(本大题共6小题，共52.0分)

16.如图，平面直角坐标系中，点4(0,3)、［(一2,0)、C(l,-1),连接48、BC、AC.

(2)点P为X轴上一动点，当=^SA4BC时，求点「的坐标.

17.如图，在团4BCD中，对角线AC、8。相交于点O,且4c=6,BD=10,AB=4.

⑴求NB4C的度数；

(2)求EI4BCD的面积.

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18.一种商品按销量分三部分制定销售单价，如下表:

销售量单价

不超过100件的部分2.5元/件

超过100件不超过300件的部分2.2元/件

超过300件的部分2元/件

(1)若买100件花元，买300件花元；买350件花元；

(2)小明买这种商品花了338元，列方程求购买这种商品多少件；

(3)小明买了这种商品花了〃元(71>250),恰好购买0.45n件这种商品，求〃的值.

19.关于x的二次函数为=kx2+(2/c-l)x-2(k为常数)和一次函数为=x+2.

(1)求证：函数为=kx2+(2k-1)%-2的图象与x轴有交点.

(2)已知函数月的图象与x轴的两个交点间的距离等于3,

①试求此时k的值.

②若%>及，试求x的取值范围.

20.如下图，直线A8与CO交于点O,OE在NAOD内，NAOE/COB=2:7,0。平分4E0B.

(1)求ZAOC的度数；

(2)过点。作OFJ.0E,求NBOF的度数.

21.如图1,线段AB=12厘米，动点尸从点A出发向点8运动，动点Q从点B出发向

点4运动，两点同时出发，到达各自的终点后停止运动.已知动点。运动的速度

是动点P运动的速度的2倍.设两点之间的距离为S(厘米)，动点P的运动时间为t(

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秒)，图2表示S与r之间的函数关系式.

(2)aWtWc时，求S与/之间的函数关系式;

(3)t为何值时，P与。两点相距7厘米.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及

根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出％值是解题的关键.

当3为腰长时，将x=3代入原一元二次方程可求出/的值；当3为底边长时，利用等

腰三角形的性质可得出根的判别式△=(),解之可得出及值，利用根与系数的关系可得

出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意.

【解答】

解：当3为腰长时，将尤=3代入M—4x+k=0,得：3?—4x3+/c=0,

解得：k=3；

当3为底边长时，关于x的方程/-4x+k=0有两个相等的实数根，

(-4)2—4xlx/c=0,

解得：k=4,此时两腰之和为4,4>3,符合题意.

k的值为3或4.

故选：C.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求

出对角线的长度.蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视(或正视和侧视，或俯视和侧视)

二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径.

【解答】

解：由题意得，

路径一：

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AB=J(3+2)2+22=V29；

路径二：

路径三:

AB=J(3+2)2+22=729；

•••V29>5,

5为最短路径.

故选C.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要

注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解.已知直角三角形的两边长，但未明确

这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的

两种情况，然后利用勾股定理求解.

【解答】

解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得42+32=/,所以=25；

②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得/=42-32,所以/=7；

故%2=25或7.

故选B.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用代数式表示图形的面积，运用了转化

思想，把实际问题转化成数学问题，并用数学式子表示出来.分别求出从边长为。的正

方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积，根据剩

余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项.

【解答】

解：因为从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2-

b2,

且拼成的长方形的面积是：(a+b)(a-b),

二根据剩余部分的面积相等得:a2--b2=(a+b)(a—b),

故选B.

5.【答案】D

【解析】解：根据题意，y=a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于)，轴对称；

分两种情况讨论，①a>0时，过第一、二象限，y=x+a斜率为1,a>0时，过第一、

二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a>l；

②a<0时，y=a|x|过第三、四象限；而丫=%+。过第二、三、四象限；若使其图象

恰有两个公共点，必有a<-1：

故选：D.

画图象用数形结合解题,y=a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；a>0时，

y=x+a斜率为1,与y—a|x|交于第一*、二象限，a<0时，y=x+a斜率为1,与y-

a|x|交于第三、四象限，分析图象可得答案.

本题要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解

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题.因为k的符号不确定，所以应根据左的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解

答.

【解答】

解：当k>0时，-k<0,反比例函数y=：的图象在一，三象限，一次函数y=kx-k的

图象过一、三、四象限，选项B符合；

当k<0时，-k>。,反比例函数y=§的图象在二、四象限，一次函数丫=kx—k的图

象过一、二、四象限，无符合选项.

故选B.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了方程的思想,

证明三角形全等是解本题的关键.延长FC至G,使CG=4E,连接。G,由S4S证明

XADE*CDG,得出DE=DG,/.ADE=4CDG,再证明△EDFaGDF,得出EF=GF,

设4E=CG=x,则EF=GF=3+x,在RtABEF中，由勾股定理得出方程，解方程

得出4E=2,在RtAAOE中，由勾股定理求出QE即可.

【解答】

解：延长尸C至G,使CG=AE,连接。G、EF,如图所示：

•••四边形ABCD是正方形，F\/

・•・AD=AB=BC=CD=6,Z-A=乙B=乙DCF=Z-ADC=90°,I；/|二：Q

BF°

・•・乙DCG=90°,

在△4DE和△CDG中，

AE=CG

/.A=乙DCF=90。，

AD=CD

.*.△ADE=^CDG(SAS),

・•・DE=DG,Z-ADE=乙CDG,

:.乙EDG=乙CDE+Z.CDG=Z-CDE+/,ADE=90°,

・・•乙EDF=45°,

/.Z.GDF=45°,

在AEDF和△GDF中,

DE=DG

乙EDF=Z.GDF,

DF=DF

.­•△EDF34GDF^SAS),

•••EF=GF,

•••F是BC的中点，

•••BF=CF=3,

设4E=CG=x,贝ijEF=GF=3+x,

在RMBEF中，由勾股定理得：32+(6-x)2=(3+x)2,

解得：x=2,即AE=2,

在RtaADE中，由勾股定理得：DE=y/AE2+AD2=V22+62=2710.

故选：B.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.此

题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解.连接

BD,CD,由AQ平分/BAC,DE14B于E,DFF,根据角平分线的性质，即

可得OE=DF,又由。G1BC且平分8C,根据线段垂直平分线的性质，可得8。=CD,

继而可证得Rt△BEDmRt△CFD,则可得BE=CF；再证得△AED^^AFD,即可得4E=

AF,然后设BE=x,由AB-BE=AC+CF,即可得方程8-x=6+x,解方程即可

求得答案.

【解析】

解：连接8。，CD,

A

・"D平分MAC,DE1AB,DF1AC,

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・•・DE=DF,乙BED=乙CFD=90°,

・・・DG1BC且平分BC,

・•.BD=CD,

在RMBED与Rt/kCF。中，

cBD=CD

IDE=DF,

：・RtABED三RtACFD(HL),

・・・BE=CF；

在△4E0和△AFD中，

Z.AED=Z.AFD=90°

乙EAD=乙FAD

AD=AD

•••△4ED三△4FDOL4S),

：.AE=AF,

设BE=x,贝!]CF=x,

-AB=8,AC=6,AE=AB-BEfAF=AC+CF,

8—%=64-%,

解得：x=1,

BE=1,AE=AB-BE=8-1=7.

故选用

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了：a°=l(a是不为0的任意数)以及1的任何次方都等于1.本题容易遗漏第3

种可能情况而导致误选C,需特别注意.

方程的右边是1,有三种可能，需要分类讨论.

第1种可能：指数为0,底数不为0；

第2种可能：底数为1；

第3种可能：底数为-1,指数为偶数.

【解答】

解：(1)当x+2020=0,x2+x-1OHj,解得％=-2020；

(2)当M+x-1=1时，解得x=-2或1.

(3)当/+%—1=-1,x+3为偶数时，解得％=-1

因而原方程所有整数解是-2020,-2,1,-1共4个.

故选C.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性

质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想

的应用是解此题的关键.

(1)由四边形A8CC是正方形，/.EOF=90°,易证得△BOE三△COFQISA),则可证得结

论；

(2)由(1)易证得S幽物彩0EBF=SABOC=/正方形ABCD，则可证得结论；

(3)由BE=CF,可得BE+BF=BC,然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF=

y/2OA;

(4)首先设4E=x,则BE=CF=l-x,BF=x,继而表示出△BEF与4COF的面积之

和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案：

(5)易证得△OEGfOBE,然后由相似三角形的对应边成比例，证得0G-OB=0E2,

再利用。8与3。的关系，OE与EF的关系，即可证得结论.

【解答】

解：(1)・.•四边形ABC。是正方形，

•••OB=OC,Z.OBE=/.OCF=45°,ABOC=90°,

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・•・乙BOF+Z.COF=90°,

vZ-EOF=90°,

・・.乙BOF+乙BOE=90°,

・•・乙BOE="OF,

在ABOE和△COF中，

[ZBOE=ZCOF

<OB=OC,

IZOBE=ZOCF

/.△BOE^LCOF(AS

/.OE=OF,BE=CF,

EF=&OE;

故(1)符合题意；

(2)•；S四边形OEBF-SABOE+SABOF=S^BOF+5ACOF=$ABOC=1正方形ABCD'

S四边形OEBF：S正方形ABCD='；4；

故(2)符合题意；

(3)VABOF^ACOF,

BE+BF=BF+CF=BC=夜CM;

故(3)符合题意；

(4)过点。作。H1BC,

■■■BC=1,

OH=-BC=

22

设4E=x,则BE=CF=l—x,BF=x,

••SABEF+SACOF=\BE.BF+\CF-OH=1x(l-x)+i(l-x)x1=-i(x-；)2+

9

32

a=Il,

2

二当％=［时，S&BEF+S^COF最大;

即在旋转过程中，当ABEF与△C。尸的面积之和最大时，AE=^；

4

故(4)不符合题意；

(5)・・・Z-EOG=乙BOE,Z.OEG=Z-OBE=45°,

•••△OEG^LOBE,

•••OE：OB=OG：OE,

・•・OGOB=OE2,

vOB=；BD,OE=—EFi

22

OGBD=EF2,

•••在ABEF中，EF2=BE2+BF2,

：■EF2=AE2+CF2,

•••OG-BD=AE2+CF2.

故(5)符合题意.

故选：A.

11.【答案】8或T

【解析】解：本题分两种情况:

①△ADE-△力CB

AEAD

・•・一=一，

ABAC

,:AB=24,AC=18,AD=6,

・•・AE=8；

②bADEfABC

_AEAD

''ACAB9

YAB=24,AC=18,AD=6,

9

・•.AE=

2

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故答案为8或

本题应分两种情况进行讨论，①A/BC〜△4ED;②RABC~〉ADE;可根据各相似三

角形得出的关于A£AE.A3、AC四条线段的比例关系式求出4E的长.

本题主要考查了相似三角形的性质.由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边,

因此本题要分情况进行讨论，以免漏解.

12.【答案】根〈一1或小>1

【解析】解：根据题意，y=7n|%］的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；

分两种情况讨论，①m>0时，过第一、二象限，y=K+?n斜率为1,?n>0时，过第

一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有小>1；

②mV0时，y=m|x|过第三、四象限；而y=x+m过第二、三、四象限；若使其图

象恰有两个公共点，必有mV-1；

③m=0,显然不成立.

综上所述，m的取值范围为m<一1或m>1,

故答案为：m<—1或m>1.

y=的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；7n>0时，y=%+m斜率为1,

与y=交于第一、二象限，zu<0时，y=x+?n斜率为1,与y=交于第三、

四象限，即可得答案.

本题考查零点存在定理，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键.

13.【答案】Q=±1,0,±V2

【解析】解：根据题意，一个数的立方根等于它本身，

分情况讨论：

・•・①1—a2=0,

解得Q=±l,

②1—=1,

解得Q=0,

③1—a2=-If

解得Q=±y/2f

综上所述，a=±1,0,±V2.

故答案为：±1,0,+V2.

根据立方根等于它本身的数有0,1,-1,列式分别进行计算即可求出a的值.

本题主要考查了立方根等于它本身的数是0,±1的性质，注意不要漏解.

14.【答案】1或6

【解析】

【分析】

本题考查了平移的性质，主要利用了长方形的面积，难点在于分两种情况解答.先求出

重叠部分长方形的宽，再分重叠部分在大正方形的左边和右边两种情况讨论求解.

【解答】

解：当S=2时，重叠部分长方形的宽=2+2=1cm,

重叠部分在大正方形的左边时，t=1+1=1秒，

重叠部分在大正方形的右边时，t=(5+2-1)+1=6秒，

综上所述，小正方形平移的时间为1或6秒.

故答案为1或6.

15.【答案】解：方程两边同乘以(2x-1)(2久+1),得

(a2+2x)(2%—1)+(a2—2x)(2x+1)=-2(1—a4)

(1)当。2-170时，

方程可化简，得》=盛会，

①当a彳±1时，原方程解为x=手；

②当a=0时，此时x=±：是增根.

(2)当a?-1=0时即a=±1,此时方程的解为x*的任意数；

综上，当a片士1且a。0时，原方程解为％=匕贮；

2

当a=0时，原方程无解；

当＜1=±1时，原方程的解为x#±3的任意数.

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【解析】本题考查了解分式方程、分类讨论.解分式方程的基本思想是“转化思想”，

把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.观察可得最简公分母是

(2x-l)(2x+l),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.去

分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论.

16.［答案］解：(I)SAABC=4X3—|X3X2-^x3xl—|xlx4=%

(2)分两种情况考虑：设点P(x,O),

(i)当点尸在B的左侧时，PB=-2-x,止匕时SMPB=：(-2-X)X3=-3-|X,

得到-3-|刀=节，

解得：x=即P(-g,0)；

oo

(ii)当点尸在5的右侧时,BP=x-(-2)=x+2,此时S-PB=：(%+2)x3=；%+3,

由SNAB=得到|%+3=g

解得：x=—此时P(—},0),

DO

综上，点P的坐标为(一0)或(一±0).

OO

【解析】此题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，属于中档题.

(1)根据长方形的面积减去三个直角三角形的面积求解即可；

(2)设尸坐标为。,0),根据题意分情况讨论，即可得到结果.

17.【答案】解：(1)•••在同4BCD中中，对角线AC、8。相交于点O,且4c=6,BD=10,

BO=0D=-BD=5,AO=OC=-AC=3,

22

又,：AB=4,且32+42=52,

•••BO2=AO2+AB2,

•••△B40是直角三角形，^BAC=90°,

二4BAC的度数为90°；

(2)•.•平行四边形的每一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，

■1•S^iABCD=2x^ACXAB=24,

=2SABAC

/.同4BCD的面积为24.

【解析】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的逆定理及三角形的面积公式、数形

结合思想的应用.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用是解题关键.

(1)首先由办8€7)的对角线AC和BO交于点O,AC=6,BD=10,AB=4,易求得

40与BO的长，然后由勾股定理的逆定理，证得ABA。是直角三角形，即可求得NB4C

的度数；

⑵首先由⑴可知NB4C的度数为90。，即ABAC是直角三角形，其面积等于JCxAB,

然后根据平行四边形的性质平行四边形的每一条对角线将平行四边形分成面积相等的

两部分，可知SEL4BC。=2SABAC，即可求得团ABCD的面积.

18.【答案】解：(1)250；690；790.

(2)设小明购买这种商品x件，

•••250<338<690,

:.100<x<300.

根据题意得：100X2.5+(x-100)X2.2=338,

解得：x=140.

答：小明购买这种商品140件.

(3)当250<n<690时,有250+2.2(0.45n-100)=n,

解得：兀=3000(不合题意，舍去)；

当n>690时，有690+2(0.45n—300)=n,

解得：n=900.

答：〃的值为900.

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【解析】

【分析】

本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)根据总价=单价X数量结合表格中

的数据，列式计算；(2)根据100x2.5+(购买件数一100)X2.2=总钱数，列出关于x

的一元一次方程；(3)分250<n<690及n>690两种情况，列出关于"的一元一次方

程.

(1)根据总价=单价x数量结合表格中的数据，即可求出分别购买100件、300件、350

件时花费的总钱数；

(2)设小明购买这种商品x件，由250<338<690可得出100<x<300,根据100x

2.5+(购买件数一100)X2.2=总钱数(338元)，即可得出关于x的一元一次方程，解之

即可得出结论；

(3)分250<n<690及n>690两种情况，找出关于〃的一元一次方程，解之即可得出

结论.

【解答】

解：(1)买100件:100x2.5=250(元)，

买300件：100X2.5+(300-100)X2.2=690(元)，

买350件：100x2.5+(300-100)x2.2+(350-300)x2=790(%).

故答案为：250；690；790.

(2)、(3)见答案.

19.【答案】解：(1)(2k—1产+8k=4/-4k+1+8k=4/+4k+1=(2k+

I)2>0,

.♦.函数yi=kx2+(2k-l)x-2的图象与x轴有交点；

xx=

(2)①设k/+(2k-l)x-2=0的两根为x2,则与+不二一华二，i2

22

(与-x2)=(Xi+X2)-4%1%2=

•••函数yi的图象与X轴的两个交点间的距离等于3,

l^i—X2I=3,

.3+1)2_

解得，k=1或k=-i；

②当k=1时，yi=x2+x—2,画出为=x2+x—2和y2=x+2的图象，如图1所示，

由图知，力与丫2的交点分别为(一2,0)和(2,4),

二当月>丫2时,x<-2或x>2；

当k=时，yj=~1x2-1x-2,画出y[=一：/-2和=%+2的图象，如

图2所示，

图I图2

由图知，乃与丫2的交点分别为(一2,0)和(一10,-8),

二当当>丫2时，—1。<x<-2.

综上所述，当k=1时x<-2或x>2,当k=-1时，-10<x<-2.

【解析】本题主要考查二次函数与不等式组及二次函数与x轴的交点，熟练掌握二次函

数的图象和性质是解题的关键.

(1)证明△=〃-4这20,便可得结论；

(2)①函数为的图象与x轴的两个交点间的距离等于3,根据根与系数的关系列出上的方

程，便可求解；

②分k=1和k=两种情况，作