2021年重点初中中考数学试卷及答案解析

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中考数学试卷

试卷及答案解析

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tanl5。时，如图.在

RtAACB中，NC=90。，NA8C=30。，延长C8使80=48,连接AO,得NO=15。，

AC12-6、后

所以‘皿】5。=而=万耳=（2+©（2-码=2一5类比这种方法,计算

tan22.5°的值为（）

A.及+1B.正-1C.6D.；

【答案】B

【分析】

作RtAABC,使NC=90。，NABC=45。，延长CB到D,使BD=AB,连接AD,根

据构造的直角三角形，设AC=x,再用x表示出CD,即可求出tan22.5。的值.

【详解】

解：作RtAABC,使NC=90°,ZABC=90°,ZABC=45°,延长CB至ljD,使BD=

AB,连接AD,设AC=x,则：BC=x,AB=7Ir，CD=(1+点)x,

Av--_

tcm225°=tcmND=—=--r-=V2-1

CD7(1+V2)x

故选：B.

【点睛】

本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45。的直角三角形，再作辅助线

得到22.5。的直角三角形.

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

2.蜜蜂采蜜时，如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”，告诉同伴蜜源的方向.如图所示，

两个全等菱形的边长为1厘米，一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的

边循环运动，飞行2015厘米后停下，则这只蜜蜂停在_____点.

【答案】G点

【分析】

根据菱形的四条边都相等可知，蜜蜂飞行一周的路程为8,用2015除以8,再根据余数

确定停靠的点即可.

【详解】

解：；两个全等菱形的边长为1厘米，

蜜蜂沿沿菱形的边飞行一周走过的路程为8xl=8cm,

V2015-8=251...7,

•••飞行2015厘米后停下的点与飞行7cm后停下的点相同，

由图可知，飞行7cm后停在点G,

所以，这只蜜蜂停在G点.

故答案为：G

【点睛】

本题考查了菱形的性质，根据菱形的四条边都相等确定飞行一周的路程为8cm是解题

试卷第2页，总14页

的关键.

三、解答题

3.阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书

写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系.

对数的定义：一般地，若f=N(a>0,叶1),那么x叫做以a为底N的对数，记作：

记作：x=\ogaN.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=logs25可以转

化为5?=25.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

logo=log“M+logJV(a>0,存1,M>0,N>0)；理由如下：lo&N

n

=n,则M=a9N=a"

:・M・N=d%a〃=d*",由对数的定义得"?+"=10物(M・N)

又Vm+n=logaM+logaN

；・loga(MW)=lo&M+IogJV

解决以下问题：

(1)将指数式53=125转化为对数式；

(2)log24=,log381=,log464=.(直接写出结果)

M

(3)证明：证明10g——=logA/-logaN(a>0,存1,M>0,N>0).(写出证明过程)

ziNo

(4)拓展运用：计算计算Iog34+log312-log316=.(直接写出结果)

【答案】⑴3=log5125；(2)2,4,3；(3)见解析；(4)1.

【分析】

(1)根据题意可以把指数式53=125写成对数式；

(2)运用对数的定义进行解答便可；

mn

(3)先设1ogaM=m,logaN=n,根据对数的定义可表示为指数式为:M=a,N=a,计

算也的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；

N

M

(4)根据公式：log”(MW)=k>gaM+logJV以及logaF=logaMTogaN的逆运用求解

N

即可得到答案；

【详解】

解：(1)•・,一般地，若，=N(a>0,存1),那么X叫做以。为底N的对数，记作：记

作：X=TogaN.

A3=log5125,

故答案为：3=log5125；

（2）V22=4,34=81,43=64,

/.Iog24=2,log381=4,log464=3,

故答案为：2；4；3；

（3）logaM—tn,\ogaN=n,则例=/",N—a",

.Mm

..—=——a—a,

Na"

M

由对数的定义得m-n=log„—,

N

又,：m-n=\ogaM-log°M

M

.■.10g—=log„M-log“N；

oN

M

（4）根据公式：log.（MW）=log«M+logJV以及log“一=log“M-log“N得到：

N

log34+logjl2-logj16=logj（4x12+16）=logj3=1.

故答案为：L

【点睛】

本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明

确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系

4.（问题情境）

我们知道若一个矩形是的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，它的面积最大.反

过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？

（探究方法）

用两个直角边分别为明〃的4个全等的直角三角形可以拼成一个正方形。若小h,

22

可以拼成如图所示的正方形，从而得到^a+b>2ab;当a=b

时，中间小正方形收缩为1个点，此时正方形的面积等于4个直角三角形面积的和.即

2222

a+b=4（；。匕）=2ab.于是我们可以得到结论：a,b为正数，总有a+b>2ah,

当且仅当a=b时，代数式/+〃取得最小值2".另外，我们也可以通过代数式运

算得到类似上面的结论：

V（a-Z?）2>0,：.a2-2ah+h2>0,a2+h2>2ah

试卷第4页，总14页

...对于任意实数。"总有"+从22皿，且当"〃时,代数式/+〃取最小值2ab.

使得上面的方法，对于正数a,b,试比较a+方和2j法的大小关系.

(类比应用)

利用上面所得到的结论完成填空

(D当x>0时，代数式x+9有最______值为.

X

(2)当x>l时，代数式x+-工有最______值为.

x-l

(3)如图，已知P是反比例函数)'=>0)图象上任意一动点，<9(0,0),,

试求ZPOA的最小面积.

【答案】⑴小；4(2)小；2"+1(3)1

【分析】

探究方法：仿照给定的方法，即可得出a+b22J茄这一结论；

(1)直接利用=4求解；

xVx

(2)变形》+二=(》-1)+)-+1解答即可；

x-ix-\

(3)设写出面积表达式，利用上面的结论做答即可.

IX)

【详解】

解：探究：•；a+b=(«)+(扬)-2\[ab,

a+b>2y[ab成立；

(1)由a+/?22j^可以得到：x++之2/•+=4,

4

...当x>0时，代数式x+上有最小值为4.

(2)构造已知条件形式：x+/-=(x—l)+/-+122j(x—1)・"一+1=2#+1,

x-1x1yx1

ZS

...当X>1时，代数式X+——有最小值为2#+L

x-l

(1)

(3)过P做PB，x轴于点B,过A作AC，x轴于点C,设PX,一,由题意得:

IX)

POA一§梯形ACBP—S&AOC-S&POB

21xJ

【点睛】

本题是以反比例函数为背景的阅读理解题型，主要考查了矩形的面积公式、矩形的周长

公式、完全平方公式的展开式以及反比例函数的性质。本题属于中档题，难度不大，由

于本题篇幅较长，孩子们很难耐下心来细读，其实像这样的阅读形题，只要读懂题意仿

照例题给定方法，套入数据即可得出结论.

5.探究：如图1和2,四边形ABCZ)中，已知AB=AO,NBA。=90。，点E,尸分

别在BC、CO上，NEAF=45°.

(1)①如图1,若E>8、ZADC都是直角,把XABE绕点A逆时针旋转90°至□AOG,

试卷第6页，总14页

使AB与AO重合，则能证得=+请写出推理过程；

②如图2,若E>B、都不是直角，则当DB与/。满足数量关系时，仍有

EF=BE+DF;

(2)拓展：如图3,在口ABC中，NBAC=9()。，AB=AC=2应，点。、E均在边BC

±,KZDAE=45°.若BD=1,求。E的长.

【答案】（1）①见解析；②NB+NO=180。，理由见解析；（2）D£=|

【分析】

（1）①根据旋转的性质得出AE=AG,/BAE=NDAG,BE=DG,求出NEAF=ZGAF

=45°,根据SAS推出△EAF04GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求

出答案；

②根据旋转的性质得出AE=AG,NB=/ADG,NBAE=/DAG,求出C、D、G在

一条直线上，根据SAS推出aEAF公Z\GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即

可求出答案；

（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出NABC=/C=45。，BC=4,根据旋转

的性质得出AF=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF=NCAE,求出NFAD=ZDAE=45°,

证ZkFAD之4EAD,根据全等得出DF=DE,设DE=x,则DF=x,BF=CE=3-x,根

据勾股定理得出方程，求出x即可.

【详解】

（1）①如图1,

,/把△ABE绕点A逆时针旋转90°至□AOG,使与AO重合，

AAE=AG,NBAE=NDAG,BE=DG

'：NBAD=90°,NEAF=45°,

/.ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZDAG+ZDAF=45°,

即ZEAF=ZGAF=45°,

在△EAF和DGA/中

AF-AF

<NEAF=Z.G\F

AE^AG

：.QEAF^GAF（SAS）,

：.EF=GF,

•：BE=DG,

：.EF=GF=BE+DF；

②N8+N£>=180。，

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B

理由是：

把△ABE绕A点旋转到DAOG,使AB和重合，

则AE=AG,NB=NADG,ZBAE=ZDAG,

ZB+ZADC=180\

ZADC+ZADG=,

：.C，D,G在一条直线上，

和①知求法类似，NEAF=ZGAF=45°,

在△EAF和DG4/中

'AF=AF

<NEAF=ZGAF

AE=AG

：.^EAF^^GAF(SAS),

：.EF=GF,

■：BE=DG,

：.EF=GF=BE+DF；

故答案为：Z5+ZD=180°

(2)•••口"(*,AB=AC=2五,NBAC=90

AZABC=ZC=45°,由勾股定理得：

BC=JAB，+4c2=J(20了+Q厨=4，

把口AEC绕A点旋转到△AF3,使AB和AC重合，连接DF.

则Af=AE,ZFBA=ZC=45°,NBAF=NCAE,

VZZ)AE=45°,

ZE4D=NFAB+NBAD=ZCAE+NBAD=NBAC-ZDAE=90°-45°=45°,

NFAD=NDAE=45。,

在△E4O和口及4。中

AD^AD

<ZFAD=/EAD

AF^AE

:.△£<£>g△E4O，

；•DF=DE，

设。E=x,则。R=光，

\*BC=\,

BF-CE=4—1—x=3—x,

VZFBA=45°,ZABC=45°,

NEBO=9()。,

由勾股定理得：DF-=BF1+BD2>

X2=(3-X)2+12,

解得：x=~>

3

即DE=~.

3

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试

题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决

问题的能力要求比较高.

6.如图1,在RtAABC中，ZB=90°,AB=4,BC=2,点D、E分别是边BC、AC

的中点，连接DE.将ACDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为明

(1)问题发现

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AE1

①当a=0。时，一=

BD—

AE

②当a=180。时，一=

BD

(2)拓展探究

AC

试判断：当0。口＜360。时，—的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

BD

(3)问题解决

△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长.

【答案】（1）①正；②正；（2）的大小没有变化，证明见解析；（3）BD的长为

等或忖

【分析】

（1）①当a=0。时，在RSABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点

AF

D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的）值是多少.

BD

ArBCAp

②a=180。时，可得AB〃DE,然后根据丁=二，求出）的值是多少即可.

AEDBBD

IT'「人「

（2）首先判断出NECA=/DCB,再根据£；="=括，判断出△ECA^ADCB,

DCBC

然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.

（3）分两种情形：①如图3-1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3-2中，当

点E在线段AB上时，分别求解即可.

【详解】

解：（1）①当a=0。口寸，

；RsABC中,ZB=90°,

二AC=^ABT+BC1=722+42=2y/5