2020年高考全国一卷文科数学试卷

2020年高考全国一卷文科数学试卷2010学年第二学期九年级数学质量监控试卷选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21、已知集合A={x|x2-3x-4<0}，B={-4,1,3,5}，则A∩B=____。A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}22、若z=1+2i+i3，则|z|=____。A.0B.1C.2D.230、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为____。A.5-1/4B.5-1/2C.5+1/4D.5+1/240、设O为正方形ABCD的中心，在O、A、B、C、D中任取3点，则取到的3点共线的概率为____。A.1/5B.2/5C.1/2D.4/550、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是____。A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx60、已知圆x2+y2-6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为____。A.1B.2C.3D.470、设函数f(x)=cos(ωx+θ)在[-π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为____。A.6πB.9C.7π/6D.3π/280、设alog34=2，则4-a=____。A.1/16B.1/8C.1/9D.1/690、执行右面的程序框图，则输出的n=____。A.17B.19C.21D.23100、设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=____。A.12B.24C.2D.302020年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）文科数学110、设F1，F2为椭圆x2/16+y2/9=1的两个焦点，点P在椭圆上且不在x轴和y轴上，∠F1PF2=120°，则∠F1PF2的对顶角的大小为____。1.F是双曲线C：x-O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PFF1F2的面积为（选项省略）改写：给定双曲线C：x-O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2。设F为双曲线上距离P最近的焦点，F1、F2为双曲线的两个焦点。求△PFF1F2的面积。2.已知A、B、C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆。若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为（选项省略）改写：设球O的半径为r。由于AB=BC=AC=OO1，△ABC是等边三角形，且O1为其垂心。因此，O1到AB的距离为r/2，而O到AB的距离为r。由勾股定理可得r²=(r/2)²+r²，解得r=√3/2。故球O的表面积为4πr²=3π。3.若x、y满足约束条件2x+y-2≤0，x-y-1≥0，y+1≥0，则z=x+7y的最大值为______。改写：由2x+y-2≤0得y≤-2x+2，由x-y-1≥0得y≤x-1，由y+1≥0得y≥-1。将y的取值范围代入z=x+7y，得z≤-5x+5。因此，z的最大值为5。4.设向量a=(1,-1)，b=(m+1,2m-4)，若a⊥b，则m=______。改写：两个向量a、b垂直，当且仅当它们的点积为0，即a•b=0。代入向量a、b的坐标，得m=-2。5.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______。改写：曲线y=lnx+x+1的导数为y'=1/x+1。斜率为2的切线方程为y-1=2(x-e)，其中e为曲线y=lnx+x+1与y=2x-1的交点横坐标。解方程得e=1/2，因此切线方程为y=2x-1/2。6.数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1=______。改写：设数列{an}的公差为d，首项为a1。由an+2+(-1)nan=3n-1得an+2-an=d(3n-1-(-1)n)，将n=1,2,...,14代入得a3-a1=2d,a5-a3=6d,...,a15-a13=28d。将等式两边相加得a15-a1=2d(2+6+...+28)=270d。由前16项和为540得a1+a2+...+a16=8a1+15d=540，代入a15-a1=270d得a1=30。因此，a1=30。17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A、B、C、D四个等级。甲、乙两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级。已知甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务。甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为p1、p2。现有以下数据：甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 20 40 30 10乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 30 30 30 10(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解答：（1）甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为p1=20/100=0.2，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为p2=30/100=0.3。（2）甲分厂加工一件产品的成本为25元，而售价为90元、50元、20元、-50元（D级品）。因此，甲分厂加工一件A级品的利润为90-25=65元，加工一件B级品的利润为50-25=25元，加工一件C级品的利润为20-25=-5元，加工一件D级品的亏损为-50-25=-75元。同理，乙分厂加工一件产品的成本为20元，而售价为90元、50元、20元、-50元（D级品）。因此，乙分厂加工一件A级品的利润为90-20=70元，加工一件B级品的利润为50-20=30元，加工一件C级品的利润为20-20=0元，加工一件D级品的亏损为-50-20=-70元。由于甲、乙两分厂各加工了100件产品，因此平均利润为总利润除以总件数。甲分厂的总利润为65×20+25×40+(-5)×30+(-75)×10=-300元，乙分厂的总利润为70×30+30×30+0×30+(-70)×10=900元。因此，厂家应选乙分厂承接加工业务。18.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=150°。（1）若a=3c，b=27，求△ABC的面积；（2）若sinA+3sinC=2，求C。解答：（1）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，代入B=150°，a=3c，b=27，解得c=9，a=27。由海伦公式得s=(a+b+c)/2=31.5，△ABC的面积为√(s(s-a)(s-b)(s-c))=94.5。（2）由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入B=150°，得a/sinA=27/sin30°=54，c/sinC=9/sinC。将sinA=2-sinC/3代入a/sinA=54，解得sinC=1/2，C=30°或150°。由sinA+3sinC=2得sinA=2-3sinC，代入a/sinA=54，解得sinC=1/3，C=asin(1/3)≈19.47°。选考题：22.已知函数f(x)=x³+mx²+nx+p，满足f(1)=0，f(2)=4，f'(1)=0。求m、n、p并证明f(x)在[1,2]上至少有一个零点。解答：由f(1)=0得1+m+n+p=0，由f(2)=4得8+4m+2n+p=4m+2n+p+1+m+n+p³，化简得3m+2n+p=4。由f'(1)=0得3+2m+n=0，解得m=-3，n=-9，p=11。由罗尔定理得f(x)在[1,2]上至少有一个零点。23.已知函数f(x)=x³-3x²+ax+b，满足f(1)=f(2)=0，f'(x)在[1,2]上恰有两个零点。求a、b并证明f(x)在[1,2]上至少有一个极值点。解答：由f(1)=f(2)=0得1-a+b=0，8-12+2a+b=0，解得a=2，b=-1。设f'(x)在[1,2]上的两个零点为α、β，且α<β。由罗尔定理得f''(x)在(α,β)上存在零点。由f''(x)=6x-6可得α=4/3，β=5/3。因此，f(x)在[1,2]上至少有一个极值点，且该极值点为f(4/3)=11/27。题目一：在图中，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，且∠APC=90°。（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P-ABC的体积。题目二：已知函数f(x)=ex-a(x+2)。（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围。题目三：已知A、B分别为椭圆E:(x^2/a^2)+(y^2/4)=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8。P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点。选做题一：