湖南省郴州市桂阳东风中学高三数学文月考试题含解析

湖南省郴州市桂阳东风中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：A2.设?x?表示不小于实数x的最小整数，如?2.6?=3，?﹣3.5?=﹣3．已知函数f（x）=?x?2﹣2?x?，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据[x]的定义，分别作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：令F（x）=0得f（x）=k（x﹣2）﹣2，作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象如下图所示：若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则函数f（x）和g（x）=k（x﹣2）﹣2的图象在（﹣1，4]上有2个交点，经计算可得kPA=5，kPB=10，kPO=﹣1，kPC=﹣，∴k的范围是[﹣1，﹣）∪[5，10）．故选：B．【点评】本题考查了对新定义的理解，函数零点的个数与函数图象的关系，数形结合解题思想，属于中档题．3.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C略4.已知等比数列{an}中，若，且成等差数列，则（）A.2 B.2或32 C.2或－32 D.－1参考答案：B【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值.【详解】解：设等比数列的公比为q（），成等差数列，，，，解得：，，，故选B.【点睛】本题主要考察等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.5.已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．1 B． C． D．2参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值判断最优解，利用直线方程求解即可．【解答】解：a＞0，x，y满足约束条件的可行域如图：且目标函数z=2x+y的最小值为1，可知目标函数经过可行域的A时，取得最小值，由解得A（1，﹣1），A在直线y=a（x﹣3）上，可得﹣1=a（1﹣3），解得a=，故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值与可行域的关系是解题的关键，考查计算能力．6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A.有最小值 B.有最大值 C.为定值3 D.为定值2参考答案：D【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选：D．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．

7.已知向量，，，则实数的值为A．

B．

C．

D．参考答案：A8.若，，，则a，b，c的大小关系为A． B．C． D．参考答案：A由于，即.由于，即.所以，故选A.

9.某几何体的三视图如图所示（网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：A【分析】根据几何体的三视图知该几何体是四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥，则该几何体的体积为V四棱锥P﹣ABCD=××（1+2）×2×2=2．故选：A．10.某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元．每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中．要求每天消耗A．B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中。公司共可获得的最大利润是（

）A．1800元

B．2400元

C．2800元

D．3100元参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

（用数字作答）．参考答案：336

解析：对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．12.已知上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为

。参考答案：略13.若函数的反函数是，则__________。参考答案：114.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小

．参考答案：90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】将异面直线所成角转化成证明线面垂直，根据题目的条件很容易证得线面垂直，则异面直线互相垂直．【解答】解：如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D若，B1A⊥BD，B1A⊥C1D，BD∩C1D=D∴B1A⊥面C1DB，而C1B?面C1DB∴B1A⊥C1B，故答案为90°【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．15.设实数满足不等式组，则的最大值是参考答案：16.若x，y满足，z=2x+y的最小值为__________；的最大值为_______．参考答案：

(1).4

(2)3

17.已知双曲线﹣=1上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是

．参考答案：133【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，不妨设点P（x，y）在右支上，焦点为右焦点，运用两点的距离公式和点满足双曲线方程，解方程可得P的坐标，进而得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的a=4，b=6，c==2，不妨设点P（x，y）在右支上，由条件可知P点到右焦点（2，0）的距离为9，即为=9，且﹣=1，解出x=2，y=±9，则x2+y2=52+81=133．故答案为：133．【点评】本题考查双曲线的方程和应用，考查两点距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，在四棱锥中，⊥底面，底面为正方形，，、分别是、的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在平面内求一点，使⊥平面，并证明你的结论．参考答案：解析：解法一：（Ⅰ）证明：

∵、分别是、的中点,

∴.

∵是正方形，

∴.

又底面，

∴是斜线在平面内的射影.

∴.

∴.

…………4分

（Ⅱ）连结交于，过作于，连结、.

∵分别为，中点，

∴∥.

∵底面，

∴⊥底面.

∴是斜线在平面内的射影.

∴.

∴是二面角的平面角.

……………7分

经计算得：，.

∴.

即二面角的大小为.

……………9分（Ⅲ）取的中点，连结.∵，∴.又易证平面，∴.又，∴平面.

……………11分取中点，连结、.∴，且.∴四边形为平行四边形.∴.∴⊥平面.即当是的中点时，⊥平面.

……………14分解法二：

以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），则

、、、、、、.

……………2分（Ⅰ）∵，，

∴.

∴

……………5分（Ⅱ）∵⊥底面，

∴平面的法向量为.

……………6分设平面的法向量为由得即令，则，．∴．

……………9分∴.即二面角的大小为.

……………11分（Ⅲ）设，则平面．∴．由，得．由，得．∴点坐标为，即为中点时，⊥平面.

………14分19.（12分）已知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B?A，求m的取值范围．参考答案：考点： 集合的包含关系判断及应用．专题： 常规题型；计算题；分类讨论．分析： 解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，先分析满足空集的情况，再通过分类讨论的思想来解决问题．同时还要注意分类讨论结束后的总结．解答： 解：当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，B=?，满足B?A，即m＜2；当m+1=2m﹣1，即m=2时，B=3，满足B?A，即m=2；当m+1＜2m﹣1，即m＞2时，由B?A，得即2＜m≤3；综上所述：m的取值范围为m≤3．点评： 本题考查的是集合包含关系的判断及应用．解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，满足空集的条件，并能以此条件为界进行分类讨论．20.通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间50分钟到100钟的n人进行统计，按照租车时间[50，50），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分组做出频率分布直方图如图1，并作出租用时间和茎叶图如图2（图中仅列出了时间在[50，60），[90，100）的数据）．

图1

图2（1）求n的频率分布直方图中的x，y（2）从租用时间在80分钟以上（含80分钟）的人数中随机抽取4人，设随机变量X表示所抽取的4人租用时间在[80，90）内的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，即可得出z．（2）由题意可知，租用时间在[80，90）内的人数为5，租用时间在[90，100]内的人数为2，共7人．抽取的4人中租用时间在[80，90）内的人数X的可能取值为2，3，4，可得P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，z=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（2）由题意可知，租用时间在[80，90）内的人数为5，租用时间在[90，100]内的人数为2，共7人．抽取的4人中租用时间在[80，90）内的人数X的可能取值为2，3，4，则P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．X234P故EX=2×+3×+4×=．21.已知函数f(x)=

(x>0)（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若当x>0时,f(x)>恒成立，求正整数k的最大值.参考答案：解析：(Ⅰ)f(x)=-┅┅┅┅┅┅┅3分∵x>0

∴f(x)<0∴f(x)在(0,+)上单调递减。┅┅┅┅┅┅┅6分(Ⅱ)当x>0时,f(x)>恒成立,既k<(x+1)在x>0上恒成立,设g(x)=(x+1),

则g(x)=，┅┅┅┅┅8分令g(x)=0

则

，∴g(x)在(0,x)上单调递减,在()单调递增。∴g(x)===x+1┅┅┅┅┅┅┅11分由y=x-1和y=ln(x+1)的图象可知2<x<3∴x+1(3,4)

∴k≤3

∴正整数k的最大值是3。┅┅┅┅┅14分22.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．参考答案：【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边A