2023年研究生类研究生入学考试专业课材料力学2010-2022历年真题选编带答案难题含解析

2023年研究生类研究生入学考试专业课材料力学2010-2022历年真题选编带答案难题含解析（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共75题)1.钢制厚壁圆筒，内半径a=100mm，内压p1=30MPa，外压p2为零。[σ]=160MPa。试用第三强度理论计算壁厚。2.发动机涡轮轴的简图如图所示。在截面B-B，Ⅰ级涡轮传递的功率为21771kW；在截面C-C，Ⅱ级涡轮传递的功率为19344kW。轴的转速n=4650r/min。试画出轴的扭矩图，并求轴的最大切应力。

3.作图所示梁的剪力图和弯矩图。梁在CD段的变形称为纯弯曲。试问纯弯曲有何特征?

4.在直角应变花的情况下，如图所示，试证明主应变的数值及方向可用以下公式计算：

5.如图所示长为l，横截面面积为A的杆以加速度a向上提升。若材料单位体积的质量为ρ，试求杆内的最大应力。

6.柱形密圈螺旋弹簧的簧圈平均直径为D，簧丝横截面直径为d，有效圈数为n。在弹簧两端受到扭转力偶矩Me的作用，试求两端的相对扭转角。7.试用积分法求解图(a)所示超静定梁。设EI为常量。

8.直径D=50mm的圆轴，某横截面上的扭矩T=2.15kN·m。试求该横截面上距轴心20mm处的切应力殛最大切应力。9.下图所示梁的剪力图和弯矩图，梁截面为正方形，边长a=30cm。求梁中最大正应力。

10.试确定下图所示箱形开口截面的弯曲中心A的位置。设截面的壁厚δ为常量。且壁厚及开口切缝都很小。

11.如图所示，桥式起重机的最大载荷为W=23kN。起重机大梁为32a工字钢，E=210GPa，l=8.76m，规定试校核大梁的刚度。

12.若物体在两个方向上受力相同，如图(a)所示，试分析物体内任一点的应力状态。

13.桥式起重机如图所示。若传动轴传递的力偶矩Me=1.08kN·m，材料的许用切应力[τ]=40MPa，G=80GPa，同时规定[φ']=0.5(°)/m。试设计轴的直径。

14.如图所示螺钉在拉力F作用下。己知材料的剪切许用应力[τ]和拉伸许用应力[σ]之间的关系为：[τ]=0.6[σ]。试求螺钉直径d与钉头高度h的合理比值。

15.连续梁的右端支座C比A，B两支座高δ。若EI为已知，试作梁的弯矩图。

图116.如图所示飞轮的最大圆周速度v=30m/s，材料单位体积的质量为7.41×103kg/m3。若不计轮幅的影响，试求轮缘内的最大正应力。

17.如图所示杆系的两杆同为钢杆，E=200GPa，α1=12.5×10-6℃-1。两杆的横截面面积同为A=1000mm2。若BC杆的温度降低20℃，而BD杆的温度不变，试求两杆横截面上的应力。

18.如图所示杆系的杆6比名义长度略短。误差为δ，各杆的刚度同为EA，试求装配后各杆的轴力。

19.如图所示钢梁E=200GPa，I=4000cm4。求C点的挠度和转角。

图120.作图所示各梁的剪力图和弯矩图。

21.如图中两根梁的EI相同，且等于常量。两梁由铰链相互连接。试求F力作用点D的挠度。

22.确定下图所示圆轴的最大切应力，并求轴两端面的相对转角(以度表示)。已知G=84GPa。

23.起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重P=50kN，起重量F=10kN。许用应力[σ]=160MPa，[τ]=100MPa。若暂不考虑梁的自重，试按正应力强度条件选定工字钢型号。然后再按切应力强度条件进行校核。

24.木制短柱的四角用四个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固。已知角钢的许用应力[σ]钢=160MPa。E钢=200GPa；术材的许用应力[σ]木=12MPa，E木=10GPa。试求许可载荷F。

25.悬臂梁的横截面形状如图所示。若作用于自由端的载荷F垂直于梁的轴线，且其作用方向如图中虚线所示，试指出哪种情况是平面弯曲。如非平面弯曲，将为哪种变形?

26.下图所示纯弯曲的铸铁梁，其截面为上形，材料的拉伸和压缩许用应力之比[σt]/[σc]=1/3。求水平翼板的合理宽度b。

27.如图所示，桥式起重机大梁上，小车的每个轮子对大梁的压力均为F，小车的轮距为d，大梁的跨度为l。试问小车在什么位置时梁内的弯矩为最大?其最大弯矩等于多少?最大弯矩的作用截面在何处?

28.两端固定的圆杆直径d=80mm，|Me2|=12kN·m，材料的G=80GPa。求固定端截面上的反力偶矩和杆内最大切应力。

图129.如图所示，一等直圆截面杆，若变形前在横截面上画出两个圆a和b，则在轴向拉伸变形后，圆a、b分别为______。

A.圆形和圆形B.圆形和椭圆C.椭圆形和圆形D.椭圆形和椭圆形30.已知AC、BC杆布置及长度如图所示，求C点的水平和竖直位移。

31.桥式起垂机的自重为集度是q的均布载荷，起吊的重量为F。以此为例，试说明作弯矩图的叠加法。

32.传动轴受力情况如图所示。轴的直径为50mm，材料为45钢，E=210GPa，G=80GPa。试计算轴的应变能。

33.正方形刚架各部分的EI相等，GIt也相等。E处有一切口。在一对垂直于刚架g面的水平力F作用下，试求切口两侧的相对水平位移δ。

34.等强度梁如图所示，设F，a，b，h及弹性模量E均为己知。试求梁的最大挠度。

35.如图所示，钢杆AB和铝杆CD的尺寸相同，两种材料的切变模量之比为3:1。若不计BE和ED两杆的变形，试问F力将以怎样的比例分配于AB和CD两杆?

36.如图所示等截面折杆在B点受到重量为F=1.5kN的自由落体的冲击，已知折杆的抗弯刚度EI=5×104N·m2。试求D点在冲击载荷下的水平位移。

37.已知斜截面应力公式：

σθ=σxcos2θ+σysin2θ-2τxysinθcosθ

tθ=(σx-σy)sinθcosθ+τxy(cos2θ-sin2θ)

一个平面等边三角形单元体如图所示，作用在单元体的最大切应力为______。

A.0B.10C.34.64D.4038.如图所示圆轴直径d=6cm，l=2m，左端固定，右端有一直径D=40cm的鼓轮。轮上绕以钢绳，绳的端点A悬挂吊盘。绳长l1=10m，横截面面积A=1.2cm2，E=200GPa。轴的切变模量G=80GPa。重量P=800N的物块自h=20cm处落于吊盘上，求轴内最大切应力和绳内最大正应力。

39.在直径为80mm的轴上装有转动惯量I=0.5kN·m·s2的飞轮，轴的转速为300r/min。制动器开始作用后，在20转内将飞轮刹停。试求轴内最大切应力。设在制动器作用前。轴已与驱动装置脱开。且轴承内的摩擦力可以不计。

40.在图1所示平面桁架中，所有杆件的E皆相同，CA，AB，BF三杆的横截面面积为30cm2，其余各杆的截面面积均为15cm2。a=6m，F=120kN。试求AB杆的轴力。

图141.已知单元体的应力状态如图1所示，图中应力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求：

(1)主应力大小，主平面位置；

(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；

(3)图示平面内的极值切应力。

图142.已知单元①的EI=8MN·m2，单元②的EI=16MN·m2。若δ=(000.01000)T，求节点载荷并作弯矩图。

图143.如图所示，用一厚度为δ=8mm的薄板卷成薄壁圆筒，其平均直径为D=200mm，长度l=50cm，接缝处用铆钉铆接。若铆钉直径为d=20mm，材料的许用切应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σbs]=160MPa，筒的两端受扭转力偶矩M=30kN·m作用，试确定铆钉的个数。

44.在图所示杆系中，BC和BD两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等。同为[σ]。为使杆系使用的材料最省，试求夹角θ的值。

45.如图所示简单杆系中，钢杆①和铝杆②的横截面面积皆为400mm2。钢的弹性模量E1=210GPa，铝的E2=70GPa。设AB为刚性杆，其变形可以不计。F=40kN。求节点位移及各杆的轴力。

46.如图所示钢轴AB的直径为80mm，轴上有一直径为80mm的钢质圆杆CD，CD垂直于AB。若AB以匀角速度ω=40rad/s转动。材料的许用应力[σ]=70MPa，密度为7.8g/cm3。试校核AB轴及CD杆的强度。

47.一端固定的半圆环受力如图所示。圆环杆为30mm×30mm的正方形截面。已知FP=1000N，[σ]=150MPa。试按第三强度理论对截面1-1和截面2-2进行强度校核。

48.下图1所示杆系由钢和铜两种材料制成，A钢=20cm2，A铜=10cm2，E钢=200GPa，E铜=100GPa。试求支反力和各单元的应力。

图149.如图所示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求节点C处的水平位移和垂直位移。

50.下图所示矩形截面梁，假设材料的抗拉弹性模量Et为抗压弹性模量Ec的1.5倍，当该截面上承受正弯矩为200kN·m时，试确定中性轴的位置。并求最大拉应力和最大压应力。

51.设已知下图所示各梁的载荷F，q，Me和尺寸a。

(1)试列出梁的剪力方程和弯矩方程；

(2)作剪力图和弯矩图；

(3)确定|Fs|max及|M|max。52.拆卸工具如图所示。若l=260mm，a=30mm，h=60mm，c=16mm，d=58mm，[σ]=160MPa，试按横梁中央截面的强度确定许可的顶压力F。

53.如图所示杆系中，杆件①为钢杆。G1=80GPa，直径d1=50mm；杆件②为空心铝杆，G2=25GPa，外径D2=60mm，内径d2=40mm。试求各杆的最大切应力。

54.某快锻水压机工作台油缸柱塞如图所示。已知油压p=33MPa，柱塞直径d=120mm，伸入油缸的最大行程l=1600mm，材料为45钢，E=210GPa。试求柱塞的工作安全因数。

55.如图所示，直径D=40mm的铝圆柱，放在厚度为δ=2mm的钢套筒内。且设两者之间无间隙。作用于圆柱上的轴向压力为F=40kN。若铝的弹性模量及泊松比分别是E1=70GPa，μ1=0.35；钢的弹性模量是E=210GPa，试求筒内的周向应力。

56.某阀门弹簧如图所示。当阀门关闭时，最小工作载荷Fmin=200N；当阀门顶开时，最大工作载荷Fmax=500N。设簧丝的直径d=5mm，弹簧外径D1=35mm，试求平均应力τm，应力幅τa，循环特征r，并作出τ-t曲线。

57.由厚度δ=8mm的钢板卷制成的圆筒，平均直径为D=200mm。接缝处用铆钉铆接(如图)。若铆钉直径d=20mm，许用切应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σbs]=160MPa，筒的两端作用着矩为Me=30kN·m的扭转力偶，试确定铆钉的间距s。

58.等角应变花如图所示。三个应变片的角度分别为：α1=0°，α2=60°，α3=120°。试证明主应变的数值及方向可由以下公式计算：

59.已知矩形截面梁某截面上的弯矩及剪力分别为M=10kN·m，FS=120kN，试绘出截面上1、2、3、4各点处的应力状态的单元体，并求其主应力。

60.写出图1所示刚架的整体刚度方程。设刚架各杆的EI和EA皆相等，且E=200GPa，A=30×10-4m2，I=2400×10-8m4。

图161.作图所示刚架的弯矩图。

62.下图所示薄壁圆锥形管锥度很小，厚度δ不变。长为l。左右两端的平均直径分别为d1和d2。试导出计算两端相对扭转角的公式。

63.根据均匀、连续性假设，可以认为______。A.构件内的变形处处相同B.构件内的位移处处相同C.构件内的应力处处相同D.构件内的弹性模量处处相同64.如图所示结构，ABCD为刚性块，在A处为铰链固定，同时与钢杆1、2相连接。已知许用应力[σ]=160MPa，F=160kN。杆1、2的横截面面积相等，求各杆所需最小横截面面积。

65.如图所示工字梁两端简支，集中载荷F=7kN，作用于跨度中点截面，通过截面形心，并与截面的垂直对称轴成20°角。若材料的[σ]=160MPa，试选择工字梁的型号。

提示：可先假定Wy/Wz的比值，试选工字梁型号，然后再校核其强度。

66.有一横截面的内外边界均为矩形的闭口薄壁杆件，萁截面面积A和厚度δ保持不变，而比值可以改变。在扭矩力偶作用下自由扭转，试证明其横截面上的切应力τ正比于

若将上述闭口薄壁杆件改为开口薄壁杆件，载荷不变，改变比值但a+b不变，这样会不会引起切应力的变化?67.设梁的横截面为矩形，高300mm，宽150mm，截面上正弯矩的数值为240kN·m。材料的抗拉弹性模量Et为抗压弹性模量Ec的倍。若应力未超过材料的比例极限，试求最大拉应力及最大压应力。68.在图所示简易吊车的横梁上，F力可以左右移动。试求截面1-1和2-2上的内力及其最大值。

69.炮筒横截面如图所示。在危险点处。σt=550MPa，σr=-350MPa，第三个主应力是垂直于图面是拉应力。且其为420MPa。试按第三和第四强度理论。计算其相当应力。

70.如图所示均质等截面杆，长为l，重为W，横截面面积为A，水平放置在一排光滑的滚子上。杆的两端受轴向力F1和F2的作用，且F2＞F1。试求杆内正应力沿杆件长度分布的情况(设滚动摩擦可以忽略不计)。

71.立方块ABCD尺寸是70mm×70mm×70mm，通过专用的压力机在其四个面上作用均匀分布的压力。若F=50kN，E=200GPa，μ=0.30，试求立方块的体应变θ。

72.如图所示简支梁为18号工字钢，l=6m，E=200GPa。梁上安放着重量为2kN的重物。且作振幅B=10mm的振动。试求梁的最大正应力。设梁的质量可以忽略不计。

73.如图所示，杆1为钢杆，E1=210GPa，α11=12.5×10-6℃-1，A1=3000mm2。杆2为铜杆，E2=105GPa，α12=19×10-6℃-1，A2=3000mm2。载荷F=50kN。若AB为刚杆，且始终保持水平，试问温度是升高还是降低?并求温度的改变量ΔT。

74.拆卸工具的爪，如图所示，由45钢制成，其许用应力[σ]=180MPa。试按爪的强度，确定工具的最大顶压力Fmax。

75.如图所示等直圆轴AB的左端固定，承受一集度为m的均布力偶的作用。试导出计算截面B的扭转角的公式。

第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：解：根据题意：a=100mm，p1=30MPa，p2=0

由只有内压的厚壁圆筒应力计算公式得：

则第三强度理论的相当应力：

由此可知危险点出现在ρ=a处，上式可变形为：

由强度条件，得：

解得：b≥1265mm

则壁厚：δ=b-a=126.5-100mm=26.5mm。2.参考答案：解：由公式可得，作用在B截面和C截面的外力偶矩分别为：

故由力矩的平衡条件可得：MeA=MeB+MeC=44.7+39.7N·m=84.4kN·m

由此可作该轴的扭矩图，如图所示。

由扭矩图可知，最危险截面发生在AB上l2段，故最大切应力值为：

3.参考答案：解：作梁的剪力图和弯矩图，如图所示。

由图可得，在纯弯曲CD段上，没有剪力，只有弯矩，且弯矩值为常数。

由此可知，纯弯曲的特征为：纯弯曲梁的横截面上只有正应力而没有切应力。4.参考答案：证明：根据任意方向的应变公式：

令α=0°，α=45°，α=90°得：

联立以上三式，解得：

由主应变公式得：

主应变方向角：

命题得证。5.参考答案：解：如图(b)所示，取长为x的杆段进行受力分析：

自重：W2=ρAx·g，惯性力：W1=ρAx·a

根据平衡条件FNd-ρgAx-ρAx·a=0，可得：

故该截面上的应力：

由此可知，当x=l时，有最大应力：6.参考答案：解：取弹簧丝的任一横截面，横截面上有力偶矩Me，如图所示，设弹簧的螺旋角为α，则在Me作用下，簧丝的任一截面上有：

沿截面外法线方向上的扭矩：T=Mesinα

沿截面切线方向的弯矩：M=Mecosα

为求得簧丝两端的相对扭转角，在两端施加单位力偶矩，此时簧丝截面上有：

又簧丝微段：

由莫尔定理可得，簧丝两端相对转角：

7.参考答案：解：图(a)所示超静定梁的超静定次数为1次，其相当系统如图(b)所示。

任意截面弯矩为

由挠曲线近似微分方程得

积分得

根据边界条件：x=0时，w=0和x=l时，求得

根据平衡方程求得

8.参考答案：解：该实心轴的极惯性矩为

抗扭截面系数为

故距离轴心20mm处的切应力为

轴横截面上的最大切应力为

9.参考答案：解：(1)作内力图

由平衡条件∑MA=0，即FBy×3=30×3.5+30+120×1kN·m

∑Fy=0，FAy+FBy-2×60-30kN=0

可得：FBy=85kN，FAy=65kN。

作剪力图和弯矩图如图所示，在处FS为零，则在该截面上的弯矩值最大为

(2)求最大正应力

截面为正方形，其任意形心轴即为主形心惯性轴，且对任意形心主惯性轴的惯性矩恒等，即

代入弯曲正应力公式，得

10.参考答案：解：如图所示，截面对z轴的惯性矩：

BF段：上半部分面积对z轴的静矩

则该段任意截面上的切应力：

BD段：左半部分面积对z轴的静矩

同理，BE段：

以C点为力矩中心，由合力矩定理可得：

解得：11.参考答案：解：梁的受力简图，如图所示。

根据平衡条件可得支反力：

x截面处弯矩值：为求其最大值，令

此时有最大弯矩值：

梁上的最大挠度发生在跨中截面处，查型钢表知No.32a号工字钢截面参数I=11100cm4

满足刚度要求。12.参考答案：解：在这种情况下，物体内任意一点的应力状态皆如图(b)所示。代表这一应力状态的应力圆如图(c)所示退缩成一点C，半径等于零。单元体任意斜面ef上的正应力都等于σ，切应力都等于零。这样，如从物体中任意地割取一部分，例如从中分割出一个圆柱体，则在圆柱体的柱面上的正应力也都是σ。13.参考答案：解：(1)由轴的强度条件可得：

(2)由轴的刚度条件可得：

综上，可取轴径d=63mm。14.参考答案：解：螺栓的拉应力：

钉头的切应力：

当螺栓和钉头的应力同时达到许用应力值时，值达到最合理，即

比较可得：

故螺钉直径d与钉头高度h的合理比值为2.4。15.参考答案：解：把梁看作是①、②两个单元组成的杆系，如图2(a)所示。

图2

根据梁支座条件，可得节点位移：

{δ}=(ω1θ1ω2θ2ω3θ3)T=(0θ10θ2δθ3)T

节点力：{F}=(Y1M1Y2M2Y3M3)T=(Y10Y20Y30)T

单元①、②的单元刚度矩阵相同，即

由单元①、②的单元刚度矩阵叠加生成整体刚度[k]，并代入整体刚度方程{F}=[k]{δ}，得

解得节点位移：

节点力：

由此可作梁的弯矩图，如图2(b)所示。

梁中最大弯矩发生在B截面，值为：16.参考答案：解：假想沿过直径的面将圆环断开，则由平衡条件得：

其中，沿轴线均匀分布的惯性力集度：

则有：

轮缘内的最大正应力：

17.参考答案：解：对节点B进行受力分析，如图(b)所示。

由平衡条件可得：∑Fx=0，FN1cos30°-FN2=0

①

又根据变形作位移图，如图(a)所示，可得变形协调条件

Δl1=Δl2cos30°

②

由胡克定理可得：

又杆BC在温度变化和轴力FN1共同作用下的变形量

则代入式②可得：

联立式①③可得：

故两杆的应力分别为：

18.参考答案：解：解除杆6，并以它的内力作用于A、C两节点，如图所示。

由载荷和结构的对称性，根据平衡条件可知各杆的轴力：

则该杆系总的应变能：

根据功能原理知：

解得：F6=0.207EAδ/a

故各杆轴力：

19.参考答案：解：两端固定承受均布载荷梁的固定端反力和反力矩分别如图2(a)所示。由此可得由①、②两单元组成的杆系，如图2(b)所示。

图2

则单元①的刚度矩阵：

单元②的刚度矩阵：

根据梁支座条件，可得各节点位移：ω1=0，θ1=0，ω2=0

节点力：

由单元①、②的单元刚度矩阵叠加生成整体刚度[k]，并代入整体刚度方程{F}=[k]{δ}，得：

则C点的挠度和转角分别为：20.参考答案：解：(a)①求支反力

将梁沿节点C处断开，分别对两部分进行受力分析，由平衡条件可得各支座反力：

②剪力图：在端点A处有向上的集中载荷，故此处剪力图有突变，值为AD段无载荷，故其剪力图上为一水平直线；D截面处有向下的载荷，故此处剪力图有突变，该截面右侧的剪力值为DB段无载荷，故其剪力图上为一水平直线；在B处有向上的集中载荷，故此处剪力图有突变，该截面右侧的剪力值为-2+6kN=4kN；BE段有方向竖直向下的均布载荷，故其剪力图为一斜率为负的直线。

弯矩图：由弯矩、剪力、载荷集度的微分关系可知，AD段为斜率为正的斜直线，D截面弯矩值为DB段为斜率为负的斜直线，B截面弯矩值为×2×2×2kN·m=4kN·m；BE段为向上凸的抛物线。

③绘制剪力图和弯矩图，如图(a)所示。

(b)①求支反力

将该梁在节点B处断开，分别对两部分进行受力分析，由平衡条件可得各支座反力：

FRA=75kN(↑)，FRC=25kN(↑)，MA=200kN·m(逆时针)

②同理，利用弯矩、剪力、载荷集度的微分关系绘制剪力图和弯矩图，如图(b)所示。

21.参考答案：解：如图所示，将梁在铰链C点断开，看作是两部分的叠加。

根据平衡条件可得C点支反力为，则D点位移即为两部分的叠加：

①CE梁在力F作用下，查表得，D点挠度为：

②将AC梁看做是刚性，在力作用下引起C点的位移：

根据几何关系，D点挠度为C点的一半，故

根据叠加原理得D点位移：22.参考答案：解：(1)作圆轴扭矩图如图所示。

T图(单位：N·m)

(2)计算最大切应力

危险截面可能为左、右两段，分别计算如下：

DE段

AB段

因此最大切应力发生在AB段，值为：τmax=6.4MPa。

(3)求AE的相对转角

根据扭转变形计算公式分段计算，可得

23.参考答案：解：对起重机进行受力分析，可知其作用在梁上的力：FC=10kN，FD=50kN由此可绘制梁的受力简图，如图(a)所示。

当起重机移至距离左端x处时，梁支座反力：FA=50-6x，FB=10+6x

由此可绘制梁大致的弯矩图，如图(b)所示。

最大弯矩可能发生在C截面或者D截面，且有：

MC=(50-6x)x，MD=(50-6x)(x+2)-10×2

综上比较可得，当起重机移至距离左端时，有梁内最危险截面D。

根据正应力强度条件可得单根工字钢横截面的抗弯截面系数：

查型钢表，选取28a号工字钢，

切应力校核：梁内剪力在起重机移至最右端时达到最大，且FSmax=58kN

切应力强度满足要求。24.参考答案：解：由平衡条件可得：F钢+F木-F=0

①

由几何关系可知角钢和木材的变形量相等，即有变形协调条件：Δl钢=△l木

又由胡克定律可得：

其中，查型钢表知单个40mm×40mm×4mm角钢的横截面积：A钢=308.6mm2

故有：

联立式①②可得各自承受的轴力：F钢=0.283F，F木=0.717F

根据角钢的强度条件：

可得许可载荷：[F1]=698kN

根据木材的强度条件：

可得许可载荷：[F2]=1045kN

综上，许可载荷F=698kN。25.参考答案：解：(a)平面弯曲；(b)斜弯曲；(c)平面弯曲；(d)斜弯曲；(e)斜弯曲；(f)平面弯曲26.参考答案：解：该结构在横截面上、下边缘的最大压应力、最大拉应力均达到许用应力，即时，最为合理。

比较以上两式可得：

又y1+y2=400mm

解得：y1=300mm，y2=100mm。

⊥形截面上，对中性轴的ZC的静矩应等于0，即

SZC=A1y1+A2y2=0

代入数据：[60b(100-30)-30×340(300-170)]mm=0

解得水平翼板最合理的宽度：b=316mm。27.参考答案：解：对梁进行受力分析，由平衡条件可得：

∑MA=0

FRBl-Fx-F(x+d)=0

∑Fy=0

FRA+FRB=2F

解得：

则梁在x段内的弯矩方程为：

即在该位置时，弯矩有最大值，为：

由该结构的对称性可知，在距离右端截面处，同样有最大弯矩值。

综上，如图所示，分别当有最大弯矩值，且

28.参考答案：解：如图2所示，将杆件看作是①、②两个单元，分别写出两个单元的单元刚度方程。

图2

单元①：

单元②：

由1、2、3三节点的平衡，可得：

将单元刚度方程中的代入以上平衡方程，可得整体刚度方程为：

固定节点1、3的位移φ1=φ3=0，且将Me2=12kN·m代入整体刚度方程得：

由此可解得φ2。

代入整体刚度方程得：

综上，最大切应力发生在单元①，即29.参考答案：A[解析]在a、b两圆处，沿纵向拉伸，其应力设水平轴为x轴，另一轴为y轴，则满足任意旋转方向，总有ε'y=ε'x。因此，a、b两圆同时缩小，且仍然为圆。30.参考答案：解：对AC，BC杆进行受力分析，两杆均受拉，由静力平衡条件可知受力分别为

AC、BC杆变形产生的应变能分别为：

由于P的方向竖直向下，所以C点只有竖直方向的位移，没有水平方向的位移。

由能量法可得，竖直方向的位移δ满足：

所以C点竖直位移为水平位移为零。31.参考答案：解：在小变形的情况下，用变形前的位置计算反力和弯矩，它们都与外力成线性关系，所以可以进行叠加。

由平衡方程求出反力

式中，FRA和FRB中的两项分别是q和F各自单独作用时的反力，两者叠加即为q和F联合作用时的反力。

AC和CB段的弯矩分别为：

式中，右边的两项分别是q和F单独作用时的弯矩，两者叠加就是q和F联合作用时的弯矩。

例如，当时，q和F单独作用下的弯矩图如题图(e)和题图(f)所示，两者叠加后的弯矩图如题图(d)所示。32.参考答案：解：设左、右两支座为A、B，则由静力平衡条件得A、B的支反力分别为：

FRAx=FRBx=0.5kN，FRAy=FRBy=0.18kN

合力为：

因此，轴的应变能：

33.参考答案：解：由于结构和载荷对称性，取刚架的一半进行分析，如图所示，则刚架各段在载荷F和单位载荷(令F=1)作用下的弯矩和扭矩方程：

由莫尔定理，可得在F作用下E点水平位移：

由对称性可得切口的相对水平位移：34.参考答案：解：(1)建立下图(a)所示坐标系。

①BC段弯矩方程：M(x1)=-Fa(0≤x1≤a)

则其挠曲线近似微分方程：EI1w"1=-Fa

依次积分得：

②CA段弯矩方程：M(x2)=-Fa-F(x2-a)=-Fx2

(a≤x2≤2a)

则其挠曲线近似微分方程：EI2w"2=-Fx2

其中：

则CA段近似方程可整理为：EI1w"2=-Fa

依次积分得：

③由边界及连续性条件：x1=x2=a时，w'1=w'2，w1=w2；x2=2a时，w'2=0，w2=0

可确定积分常数：C1=C2=2Fa2，D1=D2=-2Fa3

则该梁的挠曲线方程：

最大挠度发生在自由端B截面：

(2)建立如图(b)所示坐标系。

根据梁结构载荷的完全对称性，分析梁的左半部分即可。

AC段弯矩方程；

则近似挠曲线微分方程：

其中，横截面对中性轴的惯性矩：

故挠曲线微分方程可变形为：

依次积分得：

由边界条件：x=0，w=0；x=a，w'=0

可确定积分常数：

则该梁的挠曲线方程：

最大挠度发生在梁跨中C截面：35.参考答案：解：设F作用在AB、CD杆上的力分别为F1、F2，根据平衡条件：F=F1+F2

①

由于BE段、DE段在E点的垂直位移相等，则有变形协调方程：φAB=φCD

联立式①②得：36.参考答案：解：(1)冲击点沿冲击方向的位移

(2)动荷因数

(3)求D点在冲击载荷下的水平位移

作载荷、单位载荷的弯矩图，如图(a)、(b)所示。用图乘法得D点的水平静位移：

则在冲击载荷作用下的动位移：

ADd=KdΔDst=36.4×0.06mm=2.18mm。37.参考答案：D[解析]取出一个楔形单元体如图所示，则根据应力符号规则有：σy=-80MPa，σ120°=-60MPa，τxy=0。

可得方程：-60=σxcos2120°-80sin2120°

解得：σx=0

因此，单元体内最大切应力为：38.参考答案：解：当P从静载荷作用于托盘上时，由轴扭转引起重物的静位移：

绳的伸长量：

故重物总位移：Δst=Δ1+Δ2=0.962mm

由此可得自由落体冲击作用下动荷系数：

故轴内最大切应力为：

绳内最大正应力为：

39.参考答案：解：刹车前，飞轮的角速度为：

由得，刹车飞轮所用的时间：

故角加速度为：

由惯性产生轴截面的扭矩：Md=-I·α=0.5×103×1.25π=625πN·m

故轴内最大切应力：40.参考答案：解：将AB杆截开，代之以反力X1，并对各杆进行编号，其相当系统如图2所示，则力法方程：δ11X1+Δ1F=0。

图2

首先在相当系统上只作用力F，并求出此时各杆内力FNi；其次在相当系统上只作用单位力，即令X1=1，求得此时各杆内力。结果如下表所示。

由莫尔定理可得：

将以上各式代入力法方程，可得：

41.参考答案：解：(1)图1(a)，按应力的符号规则知：σx=5MPa，σy=0，τxy=20MPa

①解析法

由公式得：

故按主应力的符号规定记主应力为：σ1=57MPa，σ2=0，σ3=-7MPa

主平面位置：由得α0=-19.3°

最大切应力：

②图解法

作单元体的应力圆，如图2(a1)所示，与σ轴的两个交点为σ1、σ3。应力圆的半径即为最大切应力的值，σ1、σ3、τmax、2α0均可从图上量取。

主平面在单元体上的位置是由已知x平面逆时针旋转α0得到，如图2(a2)所示。

图2

(2)图2(b)，按应力的符号规则可知：σx=50MPa，σy=0，τxy=-20MPa

①解析法

由公式得：

故按主应力的符号规定记主应力为：σ1=57MPa，σ2=0，σ3=-7MPa

主平面位置：由

最大切应力：

②图解法

作单元体的应力圆，如图2(b1)所示σ1、σ3、τmax、2α0，均可从图上量取。主平面在单元体上的位置是由已知x平面逆时针旋转α0得到，如图2(b2)所示。

(3)图1(c)，按应力的符号规则知：σx=0，σy=0，τxy=25MPa

①解析法

由公式得：

故按主应力的符号规定记主应力为：σ1=25MPa，σ2=0，σ3=-25MPa

主平面位置：由得α0=-45°

最大切应力：

②图解法

作单元体的应力圆，如图2(c1)所示，σ1、σ3、τmax、2α0均可从图上量取。

主平面在单元体上的位置是由已知x平面逆时针旋转α0得到，如图2(c2)所示。

(4)图1(d)，按应力的符号规则：σx=-40MPa，σy=-20MPa，τxy=-40MPa

①解析法

由公式得：

故按主应力的符号规定记主应力为：σ1=1.12MPa，σ2=0，σ3=-71.2MPa

主平面位置：由得α0=-38°

最大切应力：

②图解法

作单元体的应力圆，如图2(d1)所示，σ1、σ3、tmax、2α0均可从图上量取。

主平面在单元体上的位置是由已知y平面逆时针旋转α0得到，如图2(d2)所示。

(5)图1(e)，按应力的符号规则知：σx=0，σy=-80MPa，τxy=20MPa

①解析法

由公式得：

故按主应力的符号规定记主应力为：σ1=4.7MPa，σ2=0，σ3=-84.7MPa

主平面位置由得α0=-13.3°

最大切应力：

②图解法

作单元体的应力圆，如图2(e1)所示，σ1、σ3、τmax、2α0均可从图上量取。

主平面在单元体上的位置是由已知x平面逆时针旋转α0得到，如图2(e2)所示。

(6)图1(f)，按应力的符号规则知：σx=-20MPa，σy=30MPa，τxy=20MPa

①解析法

由公式得：

故按主应力的符号规定记主应力为：σ1=37MPa，σ2=0，σ3=-27MPa

主平面位置由得：α0=19.3°

最大切应力：

②图解法

作单元体的应力圆，如图2(f1)所示，均可从图上量取。

主平面在单元体上的位置是由已知y平面逆时针旋转α0得到，σ1、σ2、τmax、2α0如图2(f2)所示。42.参考答案：解：把梁看作由①、②两个梁单元组成的杆系，分别写出两个单元的单元刚度矩阵。

单元①：

单元②：

根据梁支座条件，节点位移：{δ}=[000.01000]T

节点力：{F}=[Y1M1Y2M2Y3M2]T

则整体刚度矩阵为：

则各节点载荷：

Y1=0.125×106(-12×0.01)N=-15kN

M1=0.125×106(-24×0.01)N·m=-30kN·m

Y2=0.125×106(36×0.01)N=45kN

M2=0.125×106(24×0.01)N·m=30kN·m

Y3=0.125×106(-24×0.01)N=-30kN

M3=0.125×106(48×0.01)N·m=60kN·m

由此可作弯矩图，如图2所示。

图243.参考答案：解：(1)圆筒扭转时，横截面上的应力为

(2)沿纵向截开，如图(b)所示。根据切应力互等定理可知该平面上的切应力为τ，则该截面上切应力的合力FS为：

FS=τ·l·δ=59.7×106×0.5×8×10-3N=239kN

(3)用剪切强度条件估算铆钉个数

设有n1个铆钉，每个面积为则有

n1×[τ]A=FS

所以

(4)用挤压强度条件估算铆钉个数

设有n2个铆钉，每个铆钉的挤压面为Abs=dδ，则有

n2×Abs[σbs]=Fbs=FS

所以

综上，选铆钉13个。44.参考答案：解：如图所示，对节点B进行受力分析，根据平衡条件：

∑Fx=0，FN2cosθ+FN1=0

∑Fy=0，FN2sinθ-F=0

可得两杆轴力：

由两杆的强度条件：

可知两杆同时达到许用应力时的横截面面积最为合理，即

此时结构的体积：

令可得体积最小时两杆的夹角满足：tan2θ=2

即45.参考答案：解：对于固定铰1、3，有：u1=u3=0

由于AB为刚性杆，则根据几何关系易知：u4=0.5u2

钢杆①和铝杆②的单元刚度方程分别为：

对于AB杆，由平衡方程：

联立以上各式，整理得：

0.5u2(28×106N/m)+2u2(84×106N/m)-3×(40×103N)=0

解得：u2=0.659×10-3m

代回①、②两式，即可得两钢杆和铝杆的轴力分别为：

46.参考答案：解：如图所示，构件匀速转动时，杆CD单位长度的惯性力qd为：

沿轴线线性分布。

CD杆作用于AB杆的惯性力为：

故CD杆的最大正应力发生在D截面处：

对于AB轴：

故AB轴和CD杆均满足强度条件。47.参考答案：解：建立如图所示极坐标。

圆环在Fp作用下，发生弯曲和扭转的组合变形

M=FPRsinθ，T=FPR(1-cosθ)

①校核1-1位置：

矩形截面，则有

由第三强度理论：

满足强度要求。

②校核2-2位置：θ=π，M=0，T=2FPR

由第三强度理论：

同样满足强度要求。48.参考答案：解：将杆看作是①、②、③三个单元组成的杆系，如图2所示。

图2

节点载荷为：{F}=(X1

-100×103

0

X2)T

固定端节点1的位移为零，即u1=0；节点4的位移u4=0.02mm。

单元①、②的刚度矩阵相同，为：

单元③的刚度矩阵为：

将三个单元刚度矩阵生成整体刚度矩阵[k]，并代入整体刚度方程{F}=[k]{δ}得：

将等式右边矩阵，去掉与u1=0对应的第一列，并抽掉与未知节点载荷X1对应的第一行，使整体刚度方程降价为：

解得：u2=11.45×10-5m，u3=1.04×10-4m，X2=-91.6kN

将以上结果代入整体刚度方程，解得：X1=-8.4kN

因此，各单元的应力为：

49.参考答案：解：由平衡条件计算在已知载荷作用下支座的支反力以及桁架各杆的内力，如图(a)所示。为求得节点C的水平位移和垂直位移，在C点分别作用两个方向的单位力，并求得在相应力作用下各杆的内力，如图(b)、(c)所示，其中负号表示为压力。

根据单位荷载法，可得c点水平位移：

C点铅垂位移：50.参考答案：解：首先根据纯弯曲梁截面上正应力之和为零确定中性轴位置。

(1)确定中性轴的位置

设拉应力区和压应力区的面积分别为A1、A2，则有

根据题意可知，Et=1.5Ec，b=150mm，y1+y2=h=300mm。

代入上式得

解得：y1=135mm，y2=165mm。

(2)计算图形对z轴的惯性矩Iz

因为Et=1.5Ec，选用等效面积法，图形变换为如图所示，应用平行移轴公式，得

(3)最大应力计算

最大拉应力和最大压应力分别为：

51.参考答案：解：(1)建立如图(a)所示坐标系。

①剪力方程：

弯矩方程：

②剪力和弯矩图分别如图(a)中所示。

③由图可知：|FS|max=2F，|M|max=Fa。

(2)建立如图(b)所示坐标系。

①剪力方程：

弯矩方程：

②剪力和弯矩图分别如图(b)中所示。

③由图可知：

(3)建立如图(c)所示坐标系。

①剪力方程：

弯矩方程：

②剪力和弯矩图分别如图(c)中所示。

③由图可知：|FS|max=2qa，|M|max=qa2。

(4)建立如图(d)所示坐标系。

①剪力方程：

弯矩方程：

②剪力和弯矩图分别如图(d)中所示。

③由图可知：|FS|max=F，|M|max=-Fa。

(5)建立如图(e)所示坐标系。

①剪力方程和弯矩方程分别为：

②剪力和弯矩图分别如图(e)中所示。

③由图可知：

(6)建立如图(f)所示坐标系。

①剪力方程：

弯矩方程：

②剪力和弯矩图分别如图(f)中所示。

③由图可知：

(7)建立如图(g)所示坐标系。

①剪力方程和弯矩方程分别为：

②剪力和弯矩图分别如图(g)中所示。

③由图可知：

(8)建立如图(h)所示坐标系。

①剪力方程和弯矩方程分别为：

②剪力和弯矩图分别如图(h)中所示。

③由图可知：

(9)建立如图(i)所示坐标系。

①剪力方程和弯矩方程分别为：

②剪力和弯矩图分别如图(i)中所示。

③由图可知：

(10)建立如图(j)所示坐标系。

①剪力方程和弯矩方程分别为：

②剪力和弯矩图分别如图(j)中所示。

③由图可知：|FS|max=30kN

|M|max=15kN·m。

(11)建立如图(k)所示坐标系。

①剪力方程：

弯矩方程：

②剪力和弯矩图分别如图(k)中所示。

③由图可知：|FS|max=qa

|M|max=qa2。

(12)建立如图(l)所示坐标系。

①剪力方程和弯矩方程分别为：

②剪力和弯矩图分别如图(l)所示。

③由图可知：

(13)建立如图(m)所示坐标系。

①剪力方程和弯矩方程分别为：

②剪力和弯矩图分别如图(m)中所示。

③由图可知：

(14)建立如图(n)所示坐标系。

①剪力方程和弯矩方程分别为：

②剪力和弯矩图分别如图(n)中所示。

③由图可知：

(15)建立如图(o)所示坐标系。

①剪力方程和弯矩方程分别为：

②剪力和弯矩图分别如图(o)中所示。

③由图可知：|FS|max=qa

|M|max=qa2。

(16)建立如图(p)所示坐标系。

①剪力方程和弯矩方程分别为：

②剪力和弯矩图分别如图(p)所示。

③由图可知：|FS|max=qa

|M|max=qa2。52.参考答案：解：对横梁进行受力分析，作出其受力简图，如图所示。

由梁结构和载荷的对称性可知，最大弯矩发生在梁跨中截面，且

抗弯截面系数：

由强度条件

则有

故许可顶压力：[F]=47.3kN。53.参考答案：解：将杆看作是①、②两个单元，分别写出两个单元的单元刚度方程。

单元①：

单元②：

由节点1，2，3的平衡，可得：

将单元刚度方程中的代入以上平衡方程，可得整体刚度方程为：

固定节点1、3的位移φ=φ3=0，且将已知T2=6×103N·m代入整体刚度方程得：

代入整体刚度方程得：

T1=-4.91×104×φ2=-4.76×103N·m

T3=-1.28×104×φ2=-1.24×103N·m

故各杆内的最大切应力：

54.参考答案：解：对于45钢，比例极限σp=280MPa，则根据公式得：

将该柱塞视为一端固定，一端自由的杆，μ=2，则其柔度：

由此可知杆为细长杆，故由欧拉公式计算其临界压力：

又柱塞的工作压力：

安全系数：55.参考答案：解：铝柱面受压应力为σ：

铝柱内任一点的应力状态如图(a)，设铝柱与钢套之间的挤压应力为p，则由广义胡克定律可得，铝柱的周向应变为：

而对于钢套其任一点应力状态如图(b)，其周向应变为：

由于铝圆柱与钢套简之间相互压紧没有间隙，故变形的几何条件有ε1=ε2，即

解得：p=2.79MPa

则圆筒内的周向应力为：56.参考答案：解：根据题意，弹簧的平均直径：D=D1-d=35-5mm=30mm

则旋绕比：曲度系数：

最大切应力：

最小切应力：

则平均应力：

应力幅：

循环特征：

τ-t循环特征：

曲线如图所示。

57.参考答案：解：由切应力互等定理可知，在圆筒纵截面上必存在切应力。

由薄壁圆筒切应力计算公式可得，纵截面上切应力：

又在s长的轴段上切应力均由铆钉承受，故铆钉承受剪力F=τδs。

由铆钉剪切强度条件可得：

又由铆钉挤压强度条件可得：s≤53.6mm

综上，铆钉的间距s≤39.5mm。58.参考答案：证明：根据任意方向的应变公式，分别令α=0°，α=60°，α=120°得：

解得：

将以上各式代入主应变计算公式得：

整理根号内部分：

故主应变为：

主应变方向为：

命题得证。59.参考答案：解：(1)1点

其应力分量：

其处于单向应力状态，主应力为：σ1=σ2=0，σ3=σ=-120MPa

应力状态如图(a)所示。

(2)2点

其应力分量：

其处于纯剪切状态，主应力为：σ1=36MPa，σ2=0，σ3=-36MPa

应力状态如图(b)所示。

(3)3点

其应力分量：

根据其主应力：

σ1=70.4MPa，σ2=0，σ3=-10.4MPa

应力状态如图(c)所示。

(4)4点

同点1处于单向应力状态，但该点受拉，则主应力：σ1=120MPa，σ2=σ3=0

应力状态如图(d)所示。60.参考答案：解：首先将作用在单元②上的中间载荷等效为作用在节点2、4上的载荷，得到如图2所示的杆系。

图2

对于①、②、③单元均有：

代入公式得单元①、单元②、单元③的单元刚度矩阵均为：

经坐标变换，把以上单元刚度矩阵转变为整体坐标中的单元刚度矩阵。

单元①、③：θ=90°，cosθ=0，sinθ=1，可得坐标变换矩阵为：

则根据公式可求得单元①在整体坐标中的单元刚度矩阵：

单元②：θ=0°，即有

将以上得到的单元刚度矩阵叠加，得到整体刚度方程：

61.参考答案：解：(a)对刚架进行受力分析，由平衡条件可得各支座反力。

BC段为一斜直线，且B截面的弯矩值：由于AB段集中载荷的作用，该段弯矩图为抛物线，且绘制弯矩图时，将弯矩画在刚架受压一侧，如图(a)所示。

(b)根据图中已知条件绘制弯矩图，将弯矩画在刚架受压一侧，如图(b)所示。

(c)对刚架进行受力分析，由平衡条件可得各支座反力：

FRAs=3kN(←)，FRAy=3kN(↑)，FRD=5kN(↑)

绘制弯矩图时，将弯矩画在剐架受压一侧，如图(c)所示。

(d)对刚架进行受力分析，由平衡条件可得各支座反力：

绘制弯矩图