第三章 离散傅立叶变换

第三章离散傅立叶变换第1页，课件共110页，创作于2023年2月本章目录引言离散傅里叶变换（DFT）的定义离散傅里叶变换的基本性质频率域采样Matlab实现离散傅里叶变换（DFT)的应用第2页，课件共110页，创作于2023年2月3.1引言各种形式的傅里叶变换CTFT:时域连续，频域连续CFS:时域连续，频域离散DTFT:时域离散，频域连续DFS:时域离散，频域离散第3页，课件共110页，创作于2023年2月离散傅里叶变换的导出由于数字计算机只能计算有限长离散的序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要。任一有限长序列频域连续，使得无法利用计算机直接进行频域数字计算，因此频域需要离散化。DFT第4页，课件共110页，创作于2023年2月3.2离散傅里叶变换DFT离散傅里叶变换的定义DFT和z变换、DTFT的关系DFT的隐含周期性(和DFS的关系）第5页，课件共110页，创作于2023年2月3.2.1序列与周期延拓序列任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期.第6页，课件共110页，创作于2023年2月运算符((n))N例如，N=8，，则有x(7)如果

n=n1+MN，0≤n1≤N-1，M为整数则((n))N=n1

2、表示n对N求余数1、表示序列以N为周期延拓第7页，课件共110页，创作于2023年2月3.2.2主值区间，主值序列主值区间：通常把的第一个周期n=0到N-1定义为“主值区间”主值序列：把x(n)称为的“主值序列”第8页，课件共110页，创作于2023年2月3.2.3DFT的导出对和分别取一个周期，刚好对应和，而刚好为一个有限长序列，从而得到其离散的频域。时域离散、频域离散第9页，课件共110页，创作于2023年2月

3.2.4离散傅里叶变换的定义离散傅里叶正变换(DFT)定义0≤k≤N-1

0≤n≤N-1

x(n)长度为M离散傅里叶反变换(IDFT)定义条件：N≥M第10页，课件共110页，创作于2023年2月3.2.5DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系

设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶变换分别为0≤k≤N-1第11页，课件共110页，创作于2023年2月三种变换的关系

0≤k≤N-10≤k≤N-1比较三式可得第12页，课件共110页，创作于2023年2月DFT和Z变换的关系0≤k≤N-1单位圆上的8个等间隔取样点示意图N＝8序列x(n)的N点DFT相当于是在x(n)的z变换的单位圆上进行N点等间隔取样，同时第一个取样点取在z=1处。第13页，课件共110页，创作于2023年2月DFT和DTFT的关系物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间[0，2π]上的N点等间隔取样。0≤k≤N-1第14页，课件共110页，创作于2023年2月设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n)的傅里叶变换(DTFT)，以及4点、8点、16点DFT。

解：（1）x(n)的傅里叶变换

例3.2.1第15页，课件共110页，创作于2023年2月（3）x(n)的8点DFT（N＝8）k=0，1，…，7

（4）x(n)的16点DFT（N＝16）k=0，1，…，15（2）x(n)的4点DFT（N＝4）第16页，课件共110页，创作于2023年2月例3.2.1的图形显示DFT实现了频域离散化。DFT与N有关，N越大（对原序列尾部补零），对X(ejw)采样的点数越多，越接近原连续信号的谱。N＝4N＝8N＝16第17页，课件共110页，创作于2023年2月3.2.6DFT的隐含周期性（和DFS的关系）

DFT变换对，虽然在形式上是N点序列的时频变换，但它蕴含着首先把N点的信号作周期延拓然后进行DFS，最后从DFS中各取主值。DFS:DFT:第18页，课件共110页，创作于2023年2月3.3离散傅里叶变换的基本性质

线性性质循环移位性质循环卷积定理复共轭序列的DFTDFT的共轭对称性第19页，课件共110页，创作于2023年2月3.3.1线性性质设x1(n)和x2(n)长度分别为N1和N2，且取N=max[N1，N2]，则y(n)的N点DFT为

0≤k≤N－1

注意：如果N1和N2不相等，则以N为DFT变换长度时，其中相对较短的序列就通过补零增加到长度为N。

第20页，课件共110页，创作于2023年2月3.3.2循环移位性质序列的循环移位设x(n)长度为N，则x(n)的循环移位定义：循环移位取主值特点：从左移出，从右移入见书P80第21页，课件共110页，创作于2023年2月设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即：则其中，0≤k≤N－1，时域循环移位定理有限长序列的循环移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。第22页，课件共110页，创作于2023年2月时域循环移位定理证明证明令n+m=n'，则有第23页，课件共110页，创作于2023年2月频域循环移位定理频域循环移位定理如果：时域序列的调制等效于频域的循环移位则：第24页，课件共110页，创作于2023年2月3.3.3循环卷积定理序列N点循环卷积x

(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，N=max[N1,N2]。

NNN第25页，课件共110页，创作于2023年2月循环卷积过程对序列x(m)：x(0),x(1),…,x(N-1）先循环再反褶再移位，取主值，得到其循环倒相序列[x((n-m))N]RN(n)n=0时：x(0),x(N-1),x(N-2),…,x(2),x(1)

n=1时：x(1)x(0),x(N-1),x(N-2),…,x(2)得到循环卷积矩阵，见书P82式3.2.6再和h(m)相乘求和图示说明第26页，课件共110页，创作于2023年2月序列循环卷积结果：序列x(n)的N点循环卷积矩阵见书P82例3.2.1第27页，课件共110页，创作于2023年2月时域循环卷积定理x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，N=max[N1,N2]。

则：X(k)=X1(k)·X2(k)NN时域作循环卷积频域作乘法若：第28页，课件共110页，创作于2023年2月循环卷积定理证明证明令n－m=n'第29页，课件共110页，创作于2023年2月频域循环卷积定理则x(n)=x1(n)∙x2(n)

若

NN时域作乘法频域作循环卷积第30页，课件共110页，创作于2023年2月3.3.4复共轭序列的DFT复共轭序列的DFT设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N，

0≤k≤N-1则且第31页，课件共110页，创作于2023年2月复共轭序列的DFT的证明证明：第32页，课件共110页，创作于2023年2月任意序列可表示为：3.3.5DFT的共轭对称性1.任意序列的共轭对称分量与共轭反对称分量特点:关于原点对称第33页，课件共110页，创作于2023年2月2.有限长序列的共轭对称和共轭反对称分量共轭反对称序列：共轭对称序列：关于N/2对称第34页，课件共110页，创作于2023年2月3.有限长序列的分解任意有限长序列：其中：第35页，课件共110页，创作于2023年2月3.有限长序列的分解同样有：第36页，课件共110页，创作于2023年2月4.有限长序列共轭对称性1其中:时域作实、虚部分解，频域作共轭对称、反对称分解第37页，课件共110页，创作于2023年2月4.有限长序列共轭对称性2其中:时域作共轭对称、反对称分解，频域作实、虚部分解第38页，课件共110页，创作于2023年2月5.实序列共轭对称性即：当N为偶数时，只需计算N/2+1个点当N为奇数时，只需计算（N＋1)/2个点减少运算量，提高运算效率第39页，课件共110页，创作于2023年2月实序列共轭对称性的应用

例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次

N点DFT运算来计算它们各自的DFT。

1、4、3、2、一次N点DFT第40页，课件共110页，创作于2023年2月3.3.6DFT形式下的Parseval定理第41页，课件共110页，创作于2023年2月3.4频域抽样理论

频域抽样指对序列的傅里叶变换X(ejω)进行抽样。对有限长序列而言，由DFT的讨论可知，DFT是在频域内对序列傅里叶变换X(ejω)的等间隔取样，即实现了频域抽样。第42页，课件共110页，创作于2023年2月要解决的问题：x(n)x(t)fs≥2fm、g(t)X(k)X(ejw)

?、?？时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。频域抽样呢？X(K)能恢复X(ejw)吗？抽样条件？内插公式？第43页，课件共110页，创作于2023年2月3.4.1频域取样

设任意序列x(n)存在Z变换，且收敛域包括单位圆在单位圆上对X(z)进行N点等间隔取样，得到第44页，课件共110页，创作于2023年2月推导：将X(k)看成是长度为N的有限长序列的DFT，即0≤n≤N-1定义由于所以第45页，课件共110页，创作于2023年2月代入频率取样值，得式中，x(m)＝x(n)由于

所以推导：第46页，课件共110页，创作于2023年2月

的意义

是原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列。时域的取样造成频域的周期延拓，频域上的取样，同样也造成时域的周期延拓，这正是傅里叶变换时域和频域之间对称关系的反映。当序列x(n)的长度为M，当N<M当频域取样点数N≥M时产出时域混叠第47页，课件共110页，创作于2023年2月频率采样定理若序列长度为M，则只有当频域采样点数N:时，可由频域采样X(k)不失真地恢复X(ejw)，否则产生时域混叠现象。注意：对任意序列作DFT时，作DFT时的条件也是N≥M第48页，课件共110页，创作于2023年2月3.4.2X(z)的内插公式X(z)的内插公式即用频域取样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数。

长度为N的序列x(n)，在X(z)单位圆上等间隔取样N点，得X(k)，则可以从X(k)无失真地恢复X(ejw)，因而这N个也应该能完全表达整个X(z)函数及频响X(ejw)

。

把x(n)代入X(z)第49页，课件共110页，创作于2023年2月X(z)的内插公式令内插函数称为内插公式称为第50页，课件共110页，创作于2023年2月用频域采样表示的内插公式3.4.3X(ejw)的内插公式第51页，课件共110页，创作于2023年2月第52页，课件共110页，创作于2023年2月3.5离散傅里叶变换的应用

用DFT计算线性卷积用DFT对连续信号进行谱分析用DFT对离散序列进行谱分析第53页，课件共110页，创作于2023年2月3.5.1用DFT计算线性卷积设x1(n)和x2(n)都是长度为L的有限长因果序列，它们的循环卷积为0≤k≤L-1

LL第54页，课件共110页，创作于2023年2月用DFT计算循环卷积方框图用L点DFT计算循环卷积方框图*在时域和频域都可以计算循环卷积，但是当L很大时，在频域的计算速度要快得多，因而常用DFT计算循环卷积。L点L点第55页，课件共110页，创作于2023年2月线性卷积计算？DFT只能直接计算循环卷积，不能直接计算线性卷积，那么线性卷积怎么算？用循环卷积计算线性卷积!第56页，课件共110页，创作于2023年2月两卷积相等条件的推导假设h(n)长度为N，x(n)长度为M，则线性卷积为循环卷积为其中，L≥max[N，M]，L第57页，课件共110页，创作于2023年2月由上可得因此第58页，课件共110页，创作于2023年2月

意义yc(n)是yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。

讨论：

由于卷积yl(n)的长度为N+M-1，因此当循环卷积的长度L≥N+M-1时，以L为周期的周期延拓才不会出现时域混叠现象，此时取主值序列显然满足yc(n)＝yl(n)。因此：两个长度分别为N和M的序列，其线性卷积可用长度为L的循环卷积来代替，但必须满足条件

L≥N+M-1第59页，课件共110页，创作于2023年2月循环卷积与线性卷积相等的条件条件：两个长度分别为N和M的序列，其线性卷积可用长度为L的循环卷积来代替，但必满足条件L≥N+M-1第60页，课件共110页，创作于2023年2月用DFT计算线性卷积方框图条件

L≥N+M-1用DFT计算线性卷积方框图第61页，课件共110页，创作于2023年2月当N和M相差很大时当N和M相差很大时，短序列需要补充很多的零点，使得L很大，要求的存储容量大，运算时间长，很难实现实时处理，特别是序列长度不定或者认为是无限长时，实时处理几乎行不通，此时，需要用其他的方法来处理，通常采取将长序列分段的方法计算。具体有重叠相加法和重叠保留法。（自学）第62页，课件共110页，创作于2023年2月3.5.2用DFT对连续信号进行谱分析

连续时间信号的频谱分析,即求其傅里叶变换：借助计算机分析其频谱时，需要在时域和频域离散化。解析解第63页，课件共110页，创作于2023年2月原连续信号频谱与对应序列频谱的关系：0≤k≤N-1第64页，课件共110页，创作于2023年2月ΩΩmax连续信号谱采样信号谱序列的连续谱序列离散谱Ω第65页，课件共110页，创作于2023年2月近似谱分析xa(t):持续时间有限长，Xa(jΩ)：频谱无限宽xa(t):持续时间无限长，Xa(jΩ)：频谱有限宽问题：DFT时域有限长，频域有限长时域无限的信号：截断处理频域无限的信号：先低通滤波，滤除高于折叠频率的部分处理办法：无法精确分析！第66页，课件共110页，创作于2023年2月一、DFT作谱分析时的过程对连续时间非周期信号的DFT逼近过程

1）时域抽样 2）时域截断 3）频域抽样第67页，课件共110页，创作于2023年2月二、用DFT计算信号频谱原理时域抽样第68页，课件共110页，创作于2023年2月用DFT计算信号频谱原理时域截断第69页，课件共110页，创作于2023年2月N点DFT用DFT计算信号频谱原理频域采样第70页，课件共110页，创作于2023年2月近似逼近：Xa(k)是对Xa(jΩ)的N点的抽样第71页，课件共110页，创作于2023年2月三、谱分析的参数（1）fc：已知信号最高频率定义如下参数：（2）fs：取样频率，谱分析的范围，fs≥2fc（6）F：谱分辨率，指频域取样中两相邻点的频率间隔，F越小，谱分辨率越高（3）T：取样周期（5）Tp：信号的最小记录长度（4）N：频域取样点数见图第72页，课件共110页，创作于2023年2月四、谱分析参数选择原则

总的原则：谱分辨率高（F）谱分析的范围大（fs）第73页，课件共110页，创作于2023年2月谱分析参数间的关系1参数间的关系：fs≥2fc分析：（1）如果保持取样点数N不变，要提高谱的分辨率，必须降低取样频率，取样频率的降低会引起谱分析范围减少,还可能引起频谱混叠。（2）如维持fs不变，为提高谱的分辨率只能增加取样点数N。提高谱的分辨率和谱分析的范围是一对矛盾。第74页，课件共110页，创作于2023年2月tp和N可按照下式选择：≥

总之，为了提高谱分辨率，同时又照顾到谱分析范围不减少，必须增长记录时间，增加取样点数。应当注意，这种提高谱分辨率的条件是时域取样必须满足取样定理，甚至选取样速率fs为信号最高频率fc的3-5倍更好。谱分析参数间的关系2第75页，课件共110页，创作于2023年2月（1）时域取样间隔(T)应足够小；（2）频域取样间隔(F)应足够小；

（3）DFT的点数N应足够大；为提高近似精度：（4）截取长度(Tp)应足够大，Tp=NT。第76页，课件共110页，创作于2023年2月例1：第77页，课件共110页，创作于2023年2月第78页，课件共110页，创作于2023年2月练习若将频率分辨率提高一倍，同样分别计算各参数？提示：频率分辨率提高一倍，相当于F减少一半。即F＝5HZ第79页，课件共110页，创作于2023年2月例2：已知某模拟信号由1.5kHz，2.5kHz和2.75kHz三个频率分量组成，采样频率fs=8kHz，试求由DFT分析能够区分三个频率分量的最小采样长度。解：最小频率分辨率为：F＝2.75-2.5=0.25kHz第80页，课件共110页，创作于2023年2月例N=30N=20第81页，课件共110页，创作于2023年2月例3：已知某模拟信号由三个幅值为1的正弦信号组成，频率分别为1kHz，2.5kHz和3kHz，采样频率fs=10kHz，试分别用DFT变换求N＝10，N=20时信号的频谱。分析：要区分1kHz和2.5kHzN≥fs/1.5=6.6要区分2.5kHz和3kHzN≥fs/0.5=20第82页，课件共110页，创作于2023年2月例4有一调幅信号

用DFT做频谱分析，要求能分辨的所有频率分量，问(1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）?(2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）?(3)抽样点数应为多少点？

第83页，课件共110页，创作于2023年2月（1）抽样频率应为解：（2）抽样时间间隔应为第84页，课件共110页，创作于2023年2月第85页，课件共110页，创作于2023年2月五、DFT作谱分析时误差分析(1)为避免混叠，由抽样定理可知,须满足其中，为抽样频率；为信号的最高频率分量；或者

用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差：1.混叠现象由时域采样产生(2)作抗混叠滤波第86页，课件共110页，创作于2023年2月如果我们事先不知道信号的最高频率，可以根据信号的时域波形图来估计它。例如，某信号的波形如下图所示。先找出相邻的波峰与波谷之间的距离，如图中t1，t2，t3，t4。然后，选出其中最小的一个如t4。这里,t4可能就是由信号的最高频率分量形成的。峰与谷之间的距离就是周期的一半。因此，最高频率为知道fh后就能确定采样频率第87页，课件共110页，创作于2023年2月图估算信号最高频率fh

第88页，课件共110页，创作于2023年2月2.截断效应频谱泄漏N=32N=641）造成频谱泄漏2）增加信号的长度不能减少频谱泄露3）改变窗型可减少频谱泄露第89页，课件共110页，创作于2023年2月频谱泄露、谱间干扰2.截断效应矩形窗N=50哈明窗N=50改变窗型可减少频谱泄露、谱间干扰第90页，课件共110页，创作于2023年2月频谱泄漏、谱间干扰2.截断效应例:N=30N=20增加窗口长度可以提高谱的分辨率第91页，课件共110页，创作于2023年2月改善方法：1）增加窗长度2）改变窗形2.截断效应第92页，课件共110页，创作于2023年2月3.栅栏效应改善方法：增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密DFT只计算离散点（基频F的整数倍处）的频谱，而不是连续函数第93页，课件共110页，创作于2023年2月3.5.3用DFT对序列进行谱分析

直接对序列作DFT.第94页，课件共110页，创作于2023年2月3.6Matlab实现

DFT物理意义的Matlab实现用DFT计算线性卷积的Matlab实现频域取样定理的Matlab实现高密度谱与高分辨率谱差异的Matlab实现第95页，课件共110页，创作于2023年2月3.6.1DFT物理意义的Matlab实现序列的N点DFT的物理意义:对X(ejω)在[0，2π]上进行N点的等间隔取样。函数fft用于快速计算离散傅里叶变换，调用方式为>>y=fft(x);>>y=fft(x,N);y=fft(x)利用FFT算法计算序列x的离散傅里叶变换。y=fft(x,N)采用N点FFT。当序列x长度小于N时，函数fft自动对序列尾部补零，构成N点数据；当x长度大于N时，函数fft自动截取序列前面N点数据进行FFT。第96页，课件共110页，创作于2023年2月例1：计算R4(n)的频谱。clear;xn=[1111];Xk=fft(xn,512);Xk16=fft(xn,16);Xk32=fft(xn,32);k=0:15;wk=2*k/16;subplot(3,2,1);stem(wk,abs(Xk16),'.');以下为绘图程序略第97页，课件共110页，创作于2023年2月3.6.2频域采样定理的验证M=26;N=32;n=0:M;xa=0:M/2;xb=ceil(M/2)-1:-1:0;xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,512);X32k=fft(xn,32);X16k=X32k(1:2:N);x32n=ifft(X32k);x16n=ifft(X16k,N/2);subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.')以下是绘图程序略第98页，课件共110页，创作于2023年2月结果图第99页，课件共110页，创作于2023年2月3.6.3用DFT计算线性卷积的Matlab实现函数ifft用于快速计算向量或矩阵的离散傅里叶逆变换，与函数fft的调用规则基本相同。调用方式为>>y=ifft(x);>>y=ifft(x,N);第100页，课件共110页，创作于2023年2月例：利用FFT实现线性卷积例利用FFT实现线性卷积。已知序列x(n)=R4(n)，求：（1）用conv函数求x(n)与x(n)的线性卷积y(n)，并绘出图形；（2）用FFT求x(n)与x(n)的4点循环卷积y1(n)，并绘出图形；（3）用FFT求x(n)与x(n)的8点循环卷积y2(n)，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。

解程序如下：

第101页，课件共110页，创作于2023年2月>>N1=4;N2=8;n1=0:1:N1-1;n2=0:1:N2-1;x=[1,1,1,1];%构造序列x(n)x1=[1,1,1,1,0,0,0,0];%在序列x(n)后补4个零figure(1)subplot(2,2,1)stem(n1,x),gridon;title('序列x(n)')y1=conv(x,x);%y1为x(n)与x(n)的线性卷积subplot(2,2,2)stem(0:1:length(y1)-1,y1),gridon;title('x(n)与x(n)线性卷积')第102页，课件共110页，创作于2023年2月X2=fft(x);%计算x(n)与x(n)的4点循环卷积Y2=X2.*X2;y2=ifft(Y2);subplot(2,2,3)stem(n1,y2),gridon;title('x(n)与x(n)的4点循环卷积')X3=fft(x1);%计算x(n)与x(n)的8点循环卷积Y3=X3.*X3;y3=ifft(Y3)subplot(2,2,4)stem(n2,y3),