人教A版数学数学课件1-3第1课时并集和交集

第1课时并集和交集第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.理解两个集合的并集与交集的含义.(数学抽象)2.能求两个集合的并集与交集.(数学运算)3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象)思维脉络课前篇自主预习[激趣诱思]某单位食堂第一天买的菜的品种构成的集合记为A={黄瓜,冬瓜,鲫鱼,虾,茄子};第二天买的菜的品种构成的集合记为B={黄瓜,猪肉,毛豆,芹菜,虾,土豆}.问题:(1)两天所买过的相同菜的品种构成的集合记为C,则集合C等于什么?(2)两天买过的所有菜的品种构成的集合记为D,则集合D等于什么?[知识点拨]文字语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集A∪B={x|x∈A,或x∈B}

名师点析

对并集概念的理解(1)A∪B仍是一个集合,A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“x∈A或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图所示形象地表示.(3)并集的运算性质

性质说明A∪B=B∪A满足交换律A∪⌀=A任何集合与空集的并集仍为集合本身A∪A=A集合与集合本身的并集仍为集合本身(A∪B)∪C=A∪(B∪C)多个集合的并集满足结合律若A∪B=B,则A⊆B并集关系与子集关系的转化A⊆(A∪B),B⊆(A∪B)任何集合都是该集合与另一集合并集的子集微思考1(1)观察下列几组集合:①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={1,2,3,4,5,6};②集合A={x|x是参加2018平昌冬奥会的男运动员},B={x|x是参加2018平昌冬奥会的女运动员},C={x|x是参加2018平昌冬奥会的运动员};③集合A={x|x是奇数},B={x|x是偶数},C={x|x是整数}.上述各组中,集合C与集合A,B之间有什么关系?提示

集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.(2)思考(1)①中,集合A中有4个元素,集合B中也有4个元素,集合C中却有6个元素,为什么?提示

集合中元素的互异性,相同的元素只出现一次.微思考2(1)A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗?提示

不一定,当两集合没有公共元素时,A∪B中的元素就是由集合A和集合B的所有元素组成,当两集合有公共元素时,由集合中元素的互异性可知,两集合的公共元素只出现一次.(2)根据两集合并集的定义可知,集合A∪B中的元素与集合A,B的元素有什么关系?提示

根据两集合并集的定义,集合A∪B中的元素与集合A,B的元素有以下三种关系:①x∈A且x∉B;②x∈B且x∉A;③x∈A且x∈B.(3)若两个集合的并集是空集,则这两个集合有什么特征?提示

两个集合的并集是空集,则这两个集合都是空集.知识点二:交集

文字语言符号语言图形语言由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集A∩B={x|x∈A,且x∈B}

名师点析

对交集概念的理解(1)A∩B仍是一个集合,A∩B由所有属于集合A且属于集合B的元素组成.(2)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是A∩B=⌀.(4)当A=B时,A∩B=A和A∩B=B同时成立.(5)交集的运算性质

性质说明A∩B=B∩A满足交换律A∩⌀=⌀空集与任何集合的交集都为空集A∩A=A集合与集合本身的交集仍为集合本身(A∩B)∩C=A∩(B∩C)多个集合的交集满足结合律(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)多个集合的综合运算(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)满足分配律若A∩B=A,则A⊆B交集关系与子集关系的转化(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B两个集合的交集是其中任一集合的子集名师点析

求两集合交集的注意点(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合元素的性质特征尽量明显化,然后根据交集的含义写出结果.(2)在求与不等式有关的集合的交集运算时,数轴分析法直观清晰,因此,应重点考虑.微思考1(1)观察下列几组集合:①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4};②集合A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},C={x|x是等腰直角三角形};③集合A={x|x>0},B={x|x<2},C={x|0<x<2}.上述各组中,集合C与集合A,B之间有什么关系?提示

集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的.(2)若集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},A∩B存在吗?提示

A与B没有公共元素,但A∩B存在,为空集⌀.微思考2(1)集合A∩B是把集合A与集合B的部分元素组合在一起吗?提示

是把公共元素组合在一起,而不是部分.(2)两个集合交集中的元素一定在两个集合中吗?提示

当两个集合有公共元素时,两个集合交集中的元素一定在两个集合中;若两个集合没有公共元素,则两个集合的交集是空集.(3)若两个集合A,B的交集是空集,则两个集合有什么特征?提示

若两个集合A,B的交集是空集,则两个集合中至少有一个集合是空集或者两个集合不是空集,但是两个集合没有公共元素.课堂篇探究学习探究一集合的并集与交集运算例1(1)已知集合A={x|x2-4x+3=0},集合B={x|(x-3)(x+1)=0},求A∩B,A∪B.解

(1)∵集合A={x|x2-4x+3=0},∴A={1,3}.∵集合B={x|(x-3)(x+1)=0},∴B={-1,3}.∴A∩B={3},A∪B={-1,1,3}.反思感悟

求两个集合交集、并集的方法若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果,要注意若集合不是最简形式,需要先化简集合,求并集时,不是单纯的合并元素,相同的元素只能写一次;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,利用数轴时,要注意端点的取舍及表示.变式训练1(1)(2021江西南昌高一期末)设集合M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则M∩N=(

)A.{0,1} B.{-1,0,1}C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}(2)(2021陕西西安高一期末)已知集合P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},则P∪Q=(

)A.{x|0<x<1} B.{x|-1<x<3}C.{x|-1<x<0,或1<x<3} D.⌀答案

(1)B

(2)B解析

(1)由题得,M={m∈Z|-3<m<2}={-2,-1,0,1},N={n∈Z|-1≤n≤3}={-1,0,1,2,3},所以M∩N={-1,0,1},故选B.(2)∵P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},∴P∪Q={x|-1<x<3}.故选B.探究二已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围例2已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若9∈A∩B,则实数a的值为

.

分析9∈A∩B说明9∈A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.答案

5或-3解析

∵9∈A∩B,∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得a的值为5或-3.反思感悟

已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.延伸探究

例2中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.解

∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.例3集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.解

(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,如图1所示.∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,∴{a|a≤-1}.(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},如图2所示,∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴{a|-1<a≤1}.图1图2反思感悟

已知集合运算求参数的取值范围的思路此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.延伸探究

例3(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围.解

利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以{a|a>-1}.探究三集合的交集、并集性质的应用例4设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若M∪N=M,则实数t的取值范围为

.

答案

{t|t≤2}要点笔记

求解与集合的交集或并集有关的性质问题,首先应该根据性质特征将性质转化为集合之间的关系.常见的等价性质有A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔B⊆A.延伸探究

将例4条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取值范围.解

由M∩N=M,得M⊆N,故N≠⌀.用数轴(略)表示两个集合,要满足条件,需所以t的取值范围为{t|t≥4}.例5设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范围;(2)若A∪B=B,求a的值.解

由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B⊆A,B=⌀,{0},{2},{0,2}.当B=⌀时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;综上所述,得a的取值范围是{a|a=1,或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,∴A=B,由(1)知a=1.反思感悟

利用交集、并集运算求参数的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.变式训练2已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;(2)当M∩N=M时,求实数m的值.解

(1)由题意得M={2}.当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},∴M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)∵M∩N=M,∴M⊆N.∵M={2},∴2∈N,∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.

素养形成分类讨论思想在集合运算中的应用分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.典例

设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.【规范答题】解

(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},若A∩B={2},则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.验证:a=-3时,B={2},a=-1时,B={-2,2},均满足A∩B={2}.∴a的值为-1或-3.(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},对应的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B⊆A.①当Δ<0,即a<-3时,B=⌀,满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;③当Δ>0,即a>-3时,只有B={1,2},才能满足条件,由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1),且1×2=a2-5.∴a=-且a2=7,矛盾.∴a>-3不满足条件.综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.方法