第三章 线性系统的时域分析法

第三章线性系统的时域分析法第1页，课件共147页，创作于2023年2月概述1.系统分析方法典型信号：阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号、脉冲信号、正弦信号。时域分析法是直接在时间域中对系统进行分析的方法，控制系统在典型测试信号下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。所以时域分析具有直观和准确的优点。--时域分析法、根轨迹法、频率特性法2.时域分析方法典型信号的条件：1能反映实际输入；2在形式上尽可能简单，便于分析；3使系统运行在最不利的工作状态。第2页，课件共147页，创作于2023年2月3.1.1典型输入信号tf(t)01

利用阶跃函数做输入可以考查系统对恒值信号的跟踪能力1、阶跃函数（位置函数）A=1称为单位阶跃函数，常用1(t)表示在实际系统中，如负荷突然增大或减小，流量阀突然开大或关小均可以近似看成阶跃函数的形式。一般将阶跃函数作用于系统的响应特性作为评价系统动态性能指标的依据。第3页，课件共147页，创作于2023年2月A=1，称单位斜坡函数,记为t·1(t)

2.斜坡函数（等速度函数）

tf(t)0

利用斜坡函数做输入可以考查系统对匀速信号的跟踪能力第4页，课件共147页，创作于2023年2月

3.抛物线函数（等加速度函数）A=1，称单位抛物线函数,记为tf(t)0利用抛物线函数做输入可以考查系统的机动跟踪能力第5页，课件共147页，创作于2023年2月

4.脉冲函数t

(t)0利用斜坡函数做输入可以考查系统在脉冲扰动下的恢复情况第6页，课件共147页，创作于2023年2月

各函数间关系：（5）正弦函数第7页，课件共147页，创作于2023年2月名称单位阶跃函数单位斜坡函数单位加速度函数单位脉冲函数正弦函数时域表达式复域表达式第8页，课件共147页，创作于2023年2月二、动态过程与稳态过程(1)动态过程系统在典型信号输入下，系统的输出量从初始状态到最终状态的响应过程。(2)稳态过程系统在典型信号输入下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。第9页，课件共147页，创作于2023年2月1.动态性能(1)延迟时间td--响应第一次达到稳态值h(∞)的50%所需的时间。三、动态性能与稳态性能(2)上升时间tr--响应由稳态值的10%上升到90%所需的时间（无超调系统）。--或响应从零第一次达到稳态值所需的时间（有振荡系统）。s%0.05h(¥)单位阶跃响应trs%0.05h(¥)单位阶跃响应第10页，课件共147页，创作于2023年2月(3)峰值时间tp--响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。(4)超调量(最大超调量)s%--响应的最大值超出稳态值的百分比。

若h(tp)<h(¥)，则响应无超调。s%0.05h(¥)第11页，课件共147页，创作于2023年2月(5)调节时间ts--响应到达并保持在允许误差范围

(稳态值的±5%或±2%)内所需时间。稳态误差ess：用来衡量系统的控制精度或抗扰动性能。2.稳态性能td、tp、tr、ts

--阶跃响应的快速性指标s%--时间响应的平稳性指标ess--静态性能指标s%0.05h(¥)第12页，课件共147页，创作于2023年2月3.2一阶系统的时域分析标准形式：传递函数：一、数学模型R(s)C(s)R(s)C(s)特点：是一个典型的惯性环节。如RC电路，T=RC。凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。RCr(t)c(t)第13页，课件共147页，创作于2023年2月二、单位阶跃响应

t

0

T2T

3T

4T

5T…

c(t)

0

0.632

0.865

0.95

0.982

0.993…初始斜率为1/T

c(t)0.6320.8650.950.9820

tT2T3T4T1阶跃响应曲线第14页，课件共147页，创作于2023年2月特点：1)可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2)初始斜率为1/T，并随时间的推移而下降；

c(t)=1-e-t/T

t

c(t)0.6320.8650.950.9820T2T3T4T13)单调上升，无超调，稳态误差ess=0。第15页，课件共147页，创作于2023年2月一阶系统的瞬态响应指标1、调整时间ts定义：︱c(ts)

1︱=

(

取5%或2%)

时间常数T反映了系统的惯性。T越小惯性越小，响应快！T越大，惯性越大，响应慢。2、延迟时间：td=0.69T

3、上升时间：tr=2.20T

c(t)0T2T3T4T1T1T2T3T1、T2、T3什么关系？第16页，课件共147页，创作于2023年2月三、单位斜坡响应[r(t)=t，R(s)=1/s2

]tc(t)0r(t)=tc(t)=t﹣T+Te﹣t/T稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数T的斜坡函数，表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差，惯性越小，跟踪的准确度越高，误差越小。TT稳态分量（跟踪项+常值）暂态分量第17页，课件共147页，创作于2023年2月比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪

在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。

0tc(t)1.0tc(t)0r(t)=tTT第18页，课件共147页，创作于2023年2月四、单位脉冲响应

[r(t)=δ(t)R(s)=1]

它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以h(t)标志。

求系统闭环传函提供的实验方法：以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。T2T3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T一阶系统脉冲响应的特点：可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；初始斜率为-1/T2；无超调，稳态误差ess=0。第19页，课件共147页，创作于2023年2月系统的跟踪误差为：五、单位加速度响应随时间推移而增长，直至无穷，因此一阶系统不能跟踪加速度函数。第20页，课件共147页，创作于2023年2月小结：一阶系统跟踪典型信号的稳态误差典型信号输出表达式稳态误差单位脉冲0单位阶跃0单位斜坡T单位抛物线∞观察输入输出信号，各自相互之间什么关系？第21页，课件共147页，创作于2023年2月线性定常系统的重要性质

2.

在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。

1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数。第22页，课件共147页，创作于2023年2月3.3二阶系统的时域分析一、数学模型标准形式：拉氏变换闭环传递函数:第23页，课件共147页，创作于2023年2月

二阶系统有两个结构参数ξ

(阻尼比)和

n(无阻尼振荡频率)

。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。s(s+2ξ

n)R(s)C(s)

n2

﹣+标准化二阶系统的结构图为：第24页，课件共147页，创作于2023年2月微分方程式为：

对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的。二阶系统典型电路----RLC电路RCr(t)c(t)L第25页，课件共147页，创作于2023年2月

j

0二、二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环特征方程，即

s2+2ξ

ns+

n2=0其两个特征根为：

在二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比ξ的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：s1s2ξ>1时，特征根为一对不等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。第26页，课件共147页，创作于2023年2月(3)

0<ξ<1

时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。(2)ξ=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。

j

0s1=s2=

n

ns1s2

j

d

ξ

n

j

0第27页，课件共147页，创作于2023年2月

j

0

(4)ξ=0时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。

j

n

j

0

(5)ξ<0时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现为幅值随时间增加而发散。s1s2第28页，课件共147页，创作于2023年2月

j

0s1s2

j

0s1=s2

ns1s2

j

d

ξ

n

j

0

j

0

j

n

阻尼比取不同值时，二阶系统根的分布ξ>1ξ=10<ξ<1ξ=0第29页，课件共147页，创作于2023年2月三、单位阶跃响应由式，其输出的拉氏变换为式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。

对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。第30页，课件共147页，创作于2023年2月（1）欠阻尼情况0<ξ<1

j

ns1s2

j

d

ξ

n0

),(,,越小。的范围在越大的总是小于dwznwdwz10<<第31页，课件共147页，创作于2023年2月欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率ωd

，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数ξ

和

n决定。1c(t)t0衰减振荡第32页，课件共147页，创作于2023年2月(2)无阻尼情况ξ=0c(t)t0等幅振荡第33页，课件共147页，创作于2023年2月（3）临界阻尼情况ξ=1

s1,2=

n

此时响应是稳态值为1的非周期上升过程，其变化率t=0，变化率为0；t>0变化率为正，c(t)单调上升；

t→∞

，变化率趋于0。整个过程不出现振荡，无超调，稳态误差＝0。tc(t)01第34页，课件共147页，创作于2023年2月(4)过阻尼

z>1第35页，课件共147页，创作于2023年2月c(t)10t响应特性包含两个单调衰减的指数项，因而响应是非振荡的。调节速度慢。（不同于一阶系统）第36页，课件共147页，创作于2023年2月（5）不稳定系统

ξ<0总结：1）ξ<0时，响应发散，系统不稳定；2）ξ>＝1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度慢；

3）ξ＝0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡；4）0<ξ<1时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，合理ξ选择可使既快又平稳，工程上把ξ＝0.707的二阶系统称为二阶最优系统；第37页，课件共147页，创作于2023年2月二阶系统的阶跃响应曲线可以看出：(1)二阶系统的z(阻尼系数)决定了其振荡特性；z=0时，出现等幅振荡；0<z<1时，有振荡，且

z愈小，振荡愈严重，但响应愈快；z

≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长。第38页，课件共147页，创作于2023年2月(2)控制系统的阻尼比选择

工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且z通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。第39页，课件共147页，创作于2023年2月δ3.3.4二阶系统的动态性能指标1.欠阻尼用tr

,

tp

,δ

,

ts

四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。

c(t)t010.50.05或0.02tr

tp

tstd第40页，课件共147页，创作于2023年2月(1)上升时间tr：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。讨论：wn固定，z

↓

→tr↓；

z固定，wn↑

→tr↓。

第41页，课件共147页，创作于2023年2月(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。讨论：z一定时，wn越大，tp越小；wn一定时，z越大，tp越大。第42页，课件共147页，创作于2023年2月(3)超调量δ％：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。第43页，课件共147页，创作于2023年2月δ%和z的关系

z越大，δ%

越小，系统的平稳性越好，z一般取0.4~0.8，则超调量在2.5%~25%之间。δ％

δ%只是ξ

的函数，其大小与自然频率ωn无关。第44页，课件共147页，创作于2023年2月(4)调节时间ts：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%所需要的时间。

c(t)c()c()(t

ts)

工程上，当0.1<ξ

<0.9

时，通常用下列二式近似计算调节时间。△=5%c(∞)△=2%c(∞)当z一定时，wn越大，ts越小，系统响应越快。第45页，课件共147页，创作于2023年2月当z由零增大时wnts先减小后增大∆=0.05，wnts的最小值出现在z＝0.78处；∆=0.02，wnts的最小值出现在z＝0.69处；出现最小值后，wnts随z几乎线性增加。结论：

当z增加到0.69或0.78时，调整时间ts为最小。设计二阶系统，一般选z=0.707，为最佳阻尼比，此时不但调整时间ts为最小，而且超调量也不大。第46页，课件共147页，创作于2023年2月(5)延迟时间td当t=td时

c(td)=0.5利用曲线拟合方法，近似有：0<z<1时，可近似为：

表明增大自然频率wn或减小阻尼比z，都可以减小延迟时间td。第47页，课件共147页，创作于2023年2月

二阶系统的动态性能由wn和z决定；

增加z

→降低振荡，减小超调量s%，

→系统快速性降低，tr、tp增加；z一定，wn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小；s%仅与z有关，而tr、tp、ts与z、wn有关，通常根据允许的最大超调量来确定z

。z一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整wn以获得合适的瞬态响应时间。总结第48页，课件共147页，创作于2023年2月§３－３二阶系统的时域响应以闭环极点在Ｓ平面上的位置可以大致估计和的大小．C.在一定时，可通过改变来改变，越大，越短．B.可近似地认为与闭环极点到虚轴的距离成反比．A.

与闭环极点到实轴的距离成反比．第49页，课件共147页，创作于2023年2月§３－３二阶系统的时域响应例1：已知单位反馈系统的开环传递函数为确定系统的和，并求最大超调量和调整时间可得：解：因为第50页，课件共147页，创作于2023年2月例2:二阶系统如图所示，其中z=0.5，wn=4(rad/s)，当输入信号为单位阶跃信号时，试计算系统的动态性能指标。解：第51页，课件共147页，创作于2023年2月例3.设系统如图所示，若要求系统具有性能指标s

p=s%=20%，tp=1(s)，试确定系统的参数K和t，并计算单位阶跃响应的特征量td、tr和ts。思路：1、δ%→ξ2、→ωn3、Ф(s)→K和t第52页，课件共147页，创作于2023年2月解：系统闭环传递函数为：--标准形式第53页，课件共147页，创作于2023年2月第54页，课件共147页，创作于2023年2月例4:系统如图所示，已知：K0=K01.K02=16(s-1)，T0=0.25s，试(1)s%、ts；(2)若要使s%=10%，T0不变，

K0=？解：(1)第55页，课件共147页，创作于2023年2月标准形式：K0=16(s-1)，T0=0.25s，第56页，课件共147页，创作于2023年2月(2)若要使δ%=10%，T0

不变，

K0=？第57页，课件共147页，创作于2023年2月例5已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。

解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出超调量和峰值时间。

δ%=30%tp=0.1求解上述二式，得到

=0.357，

n=33.65(rad/s)。二阶系统的开环传递函数为:1c(t)t01.30.1第58页，课件共147页，创作于2023年2月四、二阶系统性能的改善1.比例-微分控制E(s)R(s)C(s)TdS1E(s)R(s)C(s)第59页，课件共147页，创作于2023年2月表明：比例-微分控制不改变系统的自然频率，但可增大阻尼比。PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点-1/Td，称为有零点的二阶系统。Td＝0，称为无零点的二阶系统。PD控制系统与老系统比较闭环传递函数开环增益开环传递函数PD控制老系统第60页，课件共147页，创作于2023年2月(1)比例-微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应的超调量，缩短调节时间；(2)允许选取较高的开环增益，减小稳态误差；(3)微分对于噪声(高频噪声)有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。结论原系统新系统第61页，课件共147页，创作于2023年2月2.测速反馈控制KtsC(s)E(s)R(s)E(s)R(s)C(s)阻尼比增加↑第62页，课件共147页，创作于2023年2月闭环传递函数开环增益开环传递函数测速反馈控制老系统测速反馈控制系统与老系统比较表明：测速反馈控制不改变系统的自然频率，但可增大阻尼比。测速反馈控制降低开环增益，加大系统在斜坡输入时的稳态误差。第63页，课件共147页，创作于2023年2月(1)测速反馈可以增加阻尼比，但不影响系统的自然频率；(2)测速反馈不增加系统的零点，对系统性能改善的程度与比例-微分控制是不一样的；(3)测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。结论第64页，课件共147页，创作于2023年2月PD控制测速反馈控制阻尼比增大自然频率不影响开环增益不影响降低稳态误差不影响影响快速性更好超调更小稳态性更好性能都能改善，但改善程度不同使用环境对噪声敏感对噪声滤波PD与测速反馈比较第65页，课件共147页，创作于2023年2月G(s)，H(s)

一般是复变量s的多项式之比，故上式可记为3.4高阶系统的时域分析3.4.1高阶系统的阶跃响应控制系统的基本结构如图所示。

其闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)第66页，课件共147页，创作于2023年2月

式中0<ξk<1

。即系统有q

个实极点和r

对共轭复数极点。称为系统闭环特征根，或闭环极点。

根据能量的有限性，分子多项式的阶次m不高于分母多项式的阶次n。对上式进行因式分解，可以表示为：第67页，课件共147页，创作于2023年2月取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位阶跃响应的时间表达式：系统单位阶跃响应的拉氏变换：式中；

k

=arccosξ

k

；Ak、Bk是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。第68页，课件共147页，创作于2023年2月

上式表明，如果系统的所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的。(1)高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。(2)若系统闭环稳定，上式的指数项和阻尼正弦项均趋向零，稳态输出为常数项A0；(3)系统响应的类型取决于闭环极点的性质，响应曲线的形状与闭环零点有关。

实数极点非周期瞬态分量；共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。高阶系统的响应特征：第69页，课件共147页，创作于2023年2月主导极点：(距虚轴最近的极点而且周围没有闭环零点，其它的闭环极点又远离虚轴(5倍以上))对高阶系统的瞬态响应起主导作用。3.4.2闭环主导极点高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理！！！！第70页，课件共147页，创作于2023年2月基本结论：

1、闭环主导极点：如果在所有的闭环极点中，距离虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其它极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的极点所对应的响应分量，无论从指数还是系数来看，它们都在时间响应中起主导作用。

2、偶极子：若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响互相抵消。

3、确认闭环主导极点之后，就可以略去非主导极点项，对系统进行降维近似处理。通常，非主导极点离虚轴的水平距离，比主导极点离虚轴的水平距离大10倍之后，能得到很好的近似效果。第71页，课件共147页，创作于2023年2月对系统进行降维近似时，为了保持正确的稳态响应，应该对增益系数作相应的调整。

应用闭环主导极点的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统，以实现对高阶系统动态性能的近似评估。

4、确认偶极子之后，就可以对消相应的极点和零点，也能对系统进行降维近似处理。第72页，课件共147页，创作于2023年2月

j

ns1s2

j

d

ξ

n0

一般情况，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是一对共轭复数极点。找到了一对共轭复数极点，高阶系统的动态性能就可以应用二阶系统的性能指标来近似估计。单位阶跃响应：第73页，课件共147页，创作于2023年2月

j

j

d

0高阶系统如果存在一个负实数主导极点，则高阶系统可用一阶系统来近似分析。单位阶跃响应：第74页，课件共147页，创作于2023年2月例1:单位反馈系统的开环传递函数为(1)求系统的闭环极点,并判断系统是否存在主导极点;(2)若存在主导极点,确定对应的(3)求系统的单位阶跃响应,并讨论非主导极点对过渡过程的影响.解:(1)系统的闭环传递函数为:系统的特征方程为:第75页，课件共147页，创作于2023年2月解得系统的闭环极点为:因为靠近虚轴的一对共扼复数极点s1,2的实部和负实数极点s3实部的比值:所以可以确定s1,2为系统的主导极点.系统可以用二阶系统来模拟：(2)与主导极点s1,2对应的阻尼比、无阻尼自然振荡角频率和各暂态响应性能指标为：第76页，课件共147页，创作于2023年2月二阶系统的单位阶跃响应为：实际系统的单位阶跃响应为：第77页，课件共147页，创作于2023年2月简化前后系统的单位阶跃响应曲线如下图所示第78页，课件共147页，创作于2023年2月3.5线性系统的稳定性分析一、稳定性的概念稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。

如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。

对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。

第79页，课件共147页，创作于2023年2月稳定性是系统去掉扰动后，自身的一种恢复能力,所以是系统的一种固有特性。这种固有稳定性只取决于系统的结构参数而与初始条件及外作用无关。两个直观示例:稳定平衡点不稳定平衡点

线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定。反之，则为不稳定。第80页，课件共147页，创作于2023年2月§３－５线性系统的稳定性线性系统的单位阶跃响应为：如果系统稳定，其暂态分量的各个项随着时间的增长应很快趋近于０，从上式看：②振荡衰减项的指数部分应为负值，也就是说共轭复数极点的实部应为负，即共轭复数极点位于左半Ｓ平面；①指数项的系数应为负值，就是说实数极点应位于负实轴上；二、线性系统稳定的充要条件③系统中只要有一个极点位于Ｓ右半平面，或虚轴上，暂态分量就是发散的或不衰减的，系统就不稳定．第81页，课件共147页，创作于2023年2月线性系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根均具有负实部，或者说，特征方程的全部闭环极点都位于s左半平面。注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。j

0稳定区域[s平面]不稳定区域第82页，课件共147页，创作于2023年2月三、劳思-赫尔维茨稳定判据设特征方程：D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0

(a0>0)1.赫尔维茨稳定判据线性系统稳定的充要条件：(1)特征方程各项系数均大于零，即

ai>0；(2)赫尔维茨行列式全部为正。第83页，课件共147页，创作于2023年2月例1.系统的特征方程为：s4+2s3+3s2+4s+5=0，试判断系统的稳定性。解：结论：系统不稳定a0=1a1=2a2=3a3=4a4=5均大于0第84页，课件共147页，创作于2023年2月2.劳思稳定判据设系统特征方程为：

D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0(ai>0)列劳思表：由特征方程的系数构成系数(1)劳思表(劳思阵列)第85页，课件共147页，创作于2023年2月计算式：……第86页，课件共147页，创作于2023年2月计算式：……注意：劳思表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为n+1；如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于an。第87页，课件共147页，创作于2023年2月(2)劳思判据线性系统稳定的充要条件：特征方程的全部系数为正数，且劳思表的第一列系数都为正数。若第一列系数出现变号，系统就不稳定，而且第一列符号改变次数系统特征方程含有正实部根的个数。第88页，课件共147页，创作于2023年2月特征方程中的系数都存在，并且全都是正值，是线性系统稳定的必要条件。系统特征方程：系统特征方程的所有系数都是正值，这不是保证系统稳定的充分条件。系统是否稳定需要用稳定判据来判断。不满足稳定必要条件，均为不稳定系统第89页，课件共147页，创作于2023年2月例3-8.系统的特征方程为：s4+2s3+3s2+4s+5=0，判断系统的稳定性。解：劳思表如下：

由于劳思表第一列有两次符号变化，表明系统在s右半平面有两个极点。所以，系统不稳定。符号改变一次符号改变一次13524015-65第90页，课件共147页，创作于2023年2月例设反馈控制系统如图所示，求满足稳定要求时K的临界值。系统的特征方程为：根据劳斯判据，要使系统稳定，其第一列均为正数，即：列出劳斯表K>0，30-K>00<K<30得到满足稳定的临界值解：闭环传函：第91页，课件共147页，创作于2023年2月例2:特征方程为：a3s3+a2s2+a1s+a0=0，试确定系统稳定的充要条件。稳定的充要条件为：

a3,a2,a1,a0均大于零；且a1a2-a3a0>0。解：劳思表为：a3a1a2a0a0第92页，课件共147页，创作于2023年2月结论用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；劳斯思第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。第93页，课件共147页，创作于2023年2月①劳思表某一行第一列系数为0，而其余系数不全为0。(3)劳思判据的特殊情况处理办法：用很小的正数e代替0例1：s4+s3+3s2+3s+2=0，判断系统的稳定性。第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。∴第一列有两次符号变化13213002(e)2第94页，课件共147页，创作于2023年2月例2：s3-3s+2=0，判断系统的稳定性。1-302(e)2∴第一列有两次符号变化，说明右半平面有两个正根，系统不稳定。例3：s4+3s3+3s2+3s+2=0，判断系统的稳定性。

第一列元素符号没有改变，但表明有一对纯虚根存在，因此，系统也是不稳定的(---临界稳定)。13233022(e)02本题特征方程各阶系数系数不全、且符号不全为正，可直接断定系统不稳定。第95页，课件共147页，创作于2023年2月②劳思表某行系数全为0(第k行)处理办法：用第k-1行的系数构建辅助方程；将辅助方程对s求导，用其系数代替全零行；解辅助方程，求出所有数值相同、符号相反的特征根。说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。如：大小相等、符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或共轭复数根。第96页，课件共147页，创作于2023年2月例1[例3-9]：设系统特征方程为s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0，试用劳思稳定判据判断系统的稳定性。解：列出劳思表s61-2-7-4s51-3-40s41-3-4s3000

辅助多项式F(s)的系数F(s)=s4-3s2-4=0dF(s)/ds=4s3-6s=0s2-1.5-4s1-16.7s0-4s34-60

dF(s)/ds的系数符号改变一次

由于劳思表第一列有一次符号变化，表明系统在s右半平面有一个极点。所以，系统不稳定。第97页，课件共147页，创作于2023年2月例2：设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0，试用劳思稳定判据判断系统的稳定性。解：列出劳思表s616104s52840s4284s3000

辅助多项式F(s)的系数F(s)=2s4+8s2+4=0dF(s)/ds=8s3+16s=0s244s18s04s3816

dF(s)/ds的系数第一列元素全为正，系统没有正根，但劳思斯表出现全零行，系统肯定是不稳定的(---临界稳定)。第98页，课件共147页，创作于2023年2月解辅助方程可得共轭纯虚根：F(s)=2s4+8s2+4=2(s4+4s2+2)=0特征方程有两对纯共轭虚根，所以系统临界稳定。事实上，特征方程可分解为：s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=(s2+2s+2)(s4+4s2+2)=0另一对特征根为：s1,2=-1+j位于s平面左半平面。第99页，课件共147页，创作于2023年2月(4)劳思稳定判据的应用①判定控制系统的稳定性②分析系统参数变化对稳定性的影响

利用劳思稳定判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。例3-11.设比例-积分(PI)控制系统如图所示，已知z=0.2，wn=86.6，(1)试确定使系统稳定的K1取值范围。[解]：闭环传递函数为：+1-第100页，课件共147页，创作于2023年2月列劳思表：要使系统稳定，必须：①系数皆大于0；②劳思阵第一列皆大于0。特征方程为：代入数据得：第101页，课件共147页，创作于2023年2月③确定系统的相对稳定性(稳定裕度)利用劳思稳定判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。s平面利用劳思判据确定稳定裕量的方法：令s=z-σ,代入原系统特征方程，得到z为自变量的方程，然后利用劳思判据判别系统的稳定性。稳定裕量第102页，课件共147页，创作于2023年2月将s=z-1代入原系统特征方程，得[解]：特征方程为：例3-11.设比例-积分(PI)控制系统如图所示，已知z=0.2，wn=86.6，(2)试求当要求闭环极点全部位于s=-1垂线的左边时K1的取值范围。+1-第103页，课件共147页，创作于2023年2月经整理得：列劳思表：K的范围缩小原值：第104页，课件共147页，创作于2023年2月例题：设控制系统如图所示。试用劳思稳定判据确定使系统稳定的开环增益K的取值范围。如果要求闭环系统具有σ=1的稳定裕量，即要求闭环系统的极点全部位于s=-1垂线的左边，问K值又应取多大？G(s)R(s)C(s)E(s)解：系统的闭环传递函数为：得系统特征方程为：第105页，课件共147页，创作于2023年2月劳斯列表如下：为使系统稳定，劳斯表中第一列系数必须为正，所以：上面不等式表明，当K=14时，系统处于临界稳定状态，当时系统将变得不稳定。如果要求闭环系统的极点在s平面上全部位于s=-1垂线的左侧，可令s=z-1代入原特征方程，得到z的特征方程为：特征方程第106页，课件共147页，创作于2023年2月整理得新的特征方程：令各项系数为正得：当开环增益K在上述范围内取值时，可保证在左半s平面上，闭环三个极点全部位于s=-1垂线左侧：第107页，课件共147页，创作于2023年2月例检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并检验有几个根在垂直线s

=

1的右边？解：1)

劳斯表中第一列元素均为正∴系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。

2)令s

=s1

1得新特征方程为2

s13+4

s12

s1

1=0s3s2s1s0213

10412.24-1sS1第108页，课件共147页，创作于2023年2月

劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1右半平面有一个根。因此，系统在垂直线s=

1的右边虚轴左侧有一个根。s13s12s11s10214

1

0.5

1第109页，课件共147页，创作于2023年2月3.6线性系统的稳态误差计算在控制系统设计中误差是一项重要的性能指标，只有在系统稳定的前提下，才有必要研究稳态误差。稳态误差的形式和大小反映了控制系统稳态跟踪能力的强、弱或控制精度的高、低。稳态误差是控制系统准确性的定量描述指标。稳态误差与系统结构、输入信号的形式有关，对于不同的输入信号具有不同的稳态误差。为了分析方便，把系统的稳态误差按输入信号形式不同分为扰动作用下的稳态误差和给定作用下的稳态误差。

第110页，课件共147页，创作于2023年2月1.误差的定义:在外作用下，系统的实际输出与期望输出之间的偏差(1)从输入端定义--输入信号与反馈信号之差-E(s)=R(s)－B(s)e(t)=r(t)－b(t)一、误差与稳态误差特点：有一定的物理意义，容易测量，便于理论分析。第111页，课件共147页，创作于2023年2月(2)从输出端定义--输出的期望值与实际值之差。-对于单位反馈控制系统二者相同，一般多采用第一种定义。特点：量纲明确，不容易测量，但只有数学意义。第112页，课件共147页，创作于2023年2月2.稳态误差的计算-误差传递函数：GK(s)=G(s)H(s)--开环传递函数误差：第113页，课件共147页，创作于2023年2月系统的稳态误差ess=误差的稳态分量e(∞)(1)拉氏反变换求稳态误差(2)终值定理求稳态误差终值定理要求：

除在原点处可以有极点外，sE(s)的所有极点都在s平面的左半平面。第114页，课件共147页，创作于2023年2月(1)

当r(t)=1(t)R(s)=1/s例3-11.系统结构图如图，当输入分别为

r(t)=1(t)，

r(t)=t

、

r(t)=t2/2及r(t)=sinwt，求系统的稳态误差ess。-解：(2)当r(t)=t

R(s)=1/s2第115页，课件共147页，创作于2023年2月(3)r(t)=t2/2R(s)=1/s3∴同一系统，在不同信号作用下，稳态误差是不同的。第116页，课件共147页，创作于2023年2月(4)r(t)=sinwt错误!不满足终值定理条件第117页，课件共147页，创作于2023年2月二、控制系统的类型假设开环传递函数GK(s)形式如下：式中：K--开环放大系数；v--积分环节的个数；G0(s)–不包括积分和比例环节的开环传递函数；v--型别当v=0时--0型系统；当v=1时--Ⅰ型系统；当v=2时--Ⅱ型系统；Ⅲ型以上的系统，除复合系统外，使系统稳定非常困难，因此除航天系统外，Ⅲ型及以上系统几乎不采用。第118页，课件共147页，创作于2023年2月三、给定输入作用下系统的稳态误差不考虑扰动的影响，系统的误差：-第119页，课件共147页，创作于2023年2月1.阶跃输入--静态位置误差系数当u=0时当u≥1时

Kp的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。Kp越大，ess越小。所以Kp反映了系统跟踪阶跃输入的能力。I型以上系统才能跟踪阶跃输入信号。--有差系统--无差系统第120页，课件共147页，创作于2023年2月2.斜坡输入--静态速度误差系数当u=0时当u=1时当u≥2时第121页，课件共147页，创作于2023年2月结论：(1)0型系统不能跟踪斜坡输入信号，随着时间的推移误差越来越大；(2)Ⅰ型系统可以跟踪斜坡输入信号，但稳态误差与K有关，可用增加K的方法提高稳态精度；(3)Ⅱ型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。

Kv的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。Kv越大，ess越小。所以Kv反映了系统跟踪斜坡输入的能力。第122页，课件共147页，创作于2023年2月3.加速度输入--静态加速度误差系数当u=0,1时当u=2时当u≥3时第123页，课件共147页，创作于2023年2月结论：(1)Ⅰ型及以下系统不能跟踪加速度输入，随着时间的推移误差越来越大；(2)Ⅱ型系统可以跟踪加速度输入信号，但稳态误差与K有关的，可用增加K的方法提高稳态精度；(3)Ⅲ型及以上系统可完全跟踪加速度输入信号，即稳态误差为零。第124页，课件共147页，创作于2023年2月输入信号作用下的稳态误差ⅠⅡ系统型别0静态误差系数KpKvKaK∞∞∞KK000阶跃输入r(t)=R.1(t)斜坡输入r(t)=Rt加速度输入r(t)=Rt2/2∞∞∞000第125页，课件共147页，创作于2023年2月例1.具有测速发电机内反馈的位置随动系统，试计算输入分别为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时，系统的稳态误差。伺服电动机测速发电机E(s)R(s)C(s)0.8s--解：系统的开环传递函数第126页，课件共147页，创作于2023年2月单位阶跃输入时的稳态误差：单位斜坡输入时的稳态误差：单位加速度输入时的稳态误差：ess=0ess=1ess=∞K=1u=1第127页，课件共147页，创作于2023年2月总结:第128页，课件共147页，创作于2023年2月如果系统的输入信号是多种典型函数的线性组合：如根据线性叠加的原理，可将每一种输入分量单独作用于系统，再将各误差分量叠加起来：这时至少应选Ⅱ型系统否则稳态误差将无穷大。第129页，课件共147页，创作于2023年2月例3-9

已知两个系统如图所示，当参考输入r(t)=4+6t+3t2，试分别求出两个系统的稳态误差。

解：图（a），Ⅰ型系统Kp=∞，Kv=10/4

，Ka=0