浙江省衢州市乐成寄宿中学2022-2023学年高一下学期期中数学 Word版含解析

注意事项：注意事项：1.答题前请在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i是虚数单位，若复数z=3+2“+(2—3“)i的实部与虚部互为相反数，则实数"=()A.5B.-5C.3D.-3【答案】A【解析】【分析】根据己知结合复数的定义列式，即可解出答案.【详解】复数z=3+2々+(2—3o)i的实部与虚部互为相反数，衢州市乐成寄宿中学2022-2023学年度高一下学期期中考试考试时间：120分钟；故选：A.2.下列说法正确的是()A.多面体至少有3个面B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【答案】D解析】【分析】由多面体、棱台、棱柱等几何体的定义逐项判断即可.【详解】对于A,多面体至少有4个面，故选项A错误；对于B,有2个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B错误；对于C,各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C错误;a7v7Lv7Jl+tan2atan(a+/7)件44>故选：C.4.已知向量4，满足：p-^1=|^|＞金—方)=0，则Q—0与片夹角的大小为()【解析】【分析】根据tana求得tan2a,根据cos(a+")求得tan(a+0),再根据正切的差角公式求解即可.【详解】因为a,。为锐角，所以Ova+"v勿,所以sin(a+0)=Jjcos"+0)=®tan("8)=保e=>l-tan2a1-943.已知a,/3为锐角，tana=3,cos(a+^)=-g"!iJtan(a-0)的值为()对于D,由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D正确.故选：D.设O'hd-b与B的夹角,A.—A.—【答案】c24A.135°B.120°CD.45°【提】A【解析】【分析】由办0-5)=0得出再根据|〃一。|=同得到\b\=yf2\a\f定义求出a-b与力的夹角.【详解】非零向量4,b满足4(〃一/?)=0,「。之=d,由|。一。|=|可可得乞2一24.方+厅=日2,解得时=龙同，最后利用向量数量积的【分析】将代数式2x+3y与一+一相乘，展开后利用基本不等式可求得2x+【分析】将代数式2x+3y与一+一相乘，展开后利用基本不等式可求得2x+3y的最小值.23【详解】因为正数x、y满足一+—=1,所以,(2》+3y)件+纣=13+父+丝213+2,保正=25,y)xy\xyX5.给出的下列条件中能成为一20的充分不必要条件是()A.工<0或x>3B.xv-l或x>3C.x<-\^x>3D.x>0【答案】B【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合集合的包含关系解决即可.x故选：A.【详解】由题知，—>0,x-3[x(x-3)>0所以{'7,解得工《0,或工>3,[x-3^0x对于A,能成为一20的充分必要条件；x-3x对于B,能成为一Z0的充分不必要条件；x3_X对于C,能成为一N0的既不充分也不必要条件；x-3x对于D,能成为一>0既不充分也不必要条件；故选：B36.若一+-=l(x>0,y>0),则2x+3y的最小值为()A.16B.20C.24D.25【答案】D【解析】\d~b\\b\d~b\\b\cos9=«-|z?|同2-2W伽「2所以8z的共轴复数为2+2i.故选：B.8.如图，一块三角形铁片所以8z的共轴复数为2+2i.故选：B.8.如图，一块三角形铁片ABC,已知AB=4,AC=4jL^BAC=—t现在这块铁片中间发现一个6严3-i(2+2i)2-2i11.【详解】因为z=|1+例_2广2-2i一(2-2i)(2+2i)一8A.3右B.邙C.^6D.73【解析】小洞，记为点。，AD=l，』BAD=k如果过点D作一条直线分别交AB^AC于点E，F,并沿直6线EF裁掉△4EF,则剩下的四边形EFCB面积的最大值为()37.已知复数z="+询qi，则8z的共辘复数为()6x_6yXy故2x+3y的最小值为25.故选：D.A.2-2iB.2+2i4444【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用i的性质、复数的模及复数除法运算求出复数z和8z,再根据共轴夏数的概严严则4DE+则4DE+^4DF=Tx^xlxsin-+-xyx1xsin—=—xyxsin—化简得：x+=xy>2y/yj3xy,:.xy>4^,当且仅当x=gy,即y=2,x=2V3时取得等号，故S.心=：封2占而SARc=—x4x4>/3xsin—=4^26当△△£•/面积的最小时，剩下的四边形己八％面积的最大为右=3也故选：A【点睛】本题考察平面图形的面积最值，可转化为求三角形面积最值，一般情况都可以转化为利用基本不等式或者同一变量的函数值域问题，属于压轴题.二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.欧拉公式ek=cosx+isinx(i为虚数单位，xeR)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥"，根据此公式可知，下面结论中正确的是()A.^-\=0B.|ek|=lC.cosc=e"+eD.e⑵在复平面内对应的点位于第二象限2【分析】分析可将问题转化为求面积的最小值，利用正弦定理及基本不等式即可解决.【详解】设=时=y,E(0,4),yc(0,4句2626【答案】BC【解析】【分析】对于A,利用欧拉公式及特殊角的三角函数值即可求解；对于B,利用欧拉公式及复数的模公式，结合同角三角形的平方关系即可求解；对于C,利用欧拉公式及诱导公式即可求解；对于D,利用欧拉公式及复数的几何意义即可求解.【详解】对于A,由e=cos兀+isin兀=—1,得£”'+1=0，故A错误；Cecosxisinx,所以=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,所以COSX=±M,故C正确；2对于D,由12rad«687.60°，得cos12>0,sinl2vO,所以卢在复平面内对应的点(cosl2,sinl2)位于第四象限，故D错误.故选：BC.10.己知aABC是等腰直角三角形，AB=AC=2,用斜二测画法画出它的直观图,贝IB'C的长可能是()A.2>/2B.2帽C.』5-2直D.|【答案】AC【解析】【分析】通过斜二测画法的定义可知BC为X，轴时，BC=2也为最大值，以BC为y'轴，则此时BIC=^BC=^2为最小值，故8'C'的长度范围是[72,2^2],C选项可以以AB为/轴进行求解出，从而求出正确结果.【详解】以BCM'轴，画出直观图，如图2,此时B'C'=BC=』4+4=2皿，A正确，以BCV轴，则此时&C'=；BC=VI,则BC的长度范围是[皿,2国,若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1,以A8为/轴，则A&=2,AC'=1,此时过点C'作CD±V于点。，则ZC^=45°,5F)^\A'D=CD=—fB,D=2-—,故选：AC1.圆幕定理''是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，己知圆。的半径为2,点P是圆。内的定点，且OP=e弦AC,均过点P,则下列说法正确的是()A.PAPC^定值B.OAOC的取值范围是[-2,0]C.当ACJ.BD时，ABCD为定值D.AC1BD时，|aC|-|BD|的最大值为12】ACD【解析】【分析】根据所给定义可判断A,利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B,利用数量积的运算律和所给定义可判断C,利用基本不等式可判断D.【详解】如图，设直线P0与圆。于E,F.则.|2..|2..2(4-|。讲+4-|on|2)2|ACriBD|2=4(r2-|OM|)-4(r2-|(??/|)<16—!——一!一*一=4.(8-2)2=144,最后等号成立是因为|OM2|+107V|2=|OP|2=2,不等式等号成立当且仅当\OM|2=|O/V|2=1,故D正确.12在.^ABC中，D,E,F分别是边BC,AC,AB中点，下列说法正确的是()A."+AC-AO=0B.DA+EB+FC=02=—(|QE|-|PO|)(QE|+|PO|)WPO|2_|QE|2=_2,故A正确.取AC的中点为M,连接OM,则OAOC=(OM+M4).(OM+MC)=OM~-MC=OM2-(4-OA/2)=2OM2-4»而0如M%OP|2=2,故Q4•OC的取值范围是[-4,0],故B错误；当AClBD^i，ABCb=(AP+PB)(CP+PD)=APCP-vPBPD=-\AP\\CP\-\PB\\PD\=-2\EP\\PF\=-4,故C正确.当ACJ.BD时，圆O半径r=2,取AC中点为M,BD中点、为N,则ABAC也ADC.若T~+|[~|=-TT7r»则BO是M在BC的投影向量D.若点尸是线段ADt的动点(不与AQ重合)，且BP=4BA+〃BC,则加的最大值为!8【答案】BD【解析】【分析】对选项A,B,利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C,首先根据己知得到AO为ZBAC的平分线，即AD_LBC,再利用平面向量的投影概念即可■判断C错误.对选项D,首先根据=--AB--AC--BA--BC--=--AB--AC--BA--BC--CA--CB2222221111-1-1y=Im=f(-----)pp(rp,即可判断选项D正确.【详解】如图所示:对选项A,AB+AC—AD=2AO—AO=AO工0,故A错误.对选项B,DA+EB-^FC=--(AB+AC)--(BA-^-BC)--(CA+CB)222AP,。三点共线,设BP=tBA-1-(1-t)BD,Ovivl,再根据已知得到\-t,从而得到A=—22228aqAD因为三土+飞上_=旦化，所以ad为NBAC的平分线,\AB\\AC\\AD\又因为AD^BC的中线，所以AD_LBC,如图所示:BDBA在的投影为|BcosB=BD\fBA所以是84在BC的投影向量，故选项C错误.对选项D,如图所示:222=—A‘Bc一一AC+-AB一一8C+-AC+-BC=0,故B正确.Aft对选项C,Aft对选项C,ACAD\ad\分别表示平行于48，AC，人。的单位向量,由平面向量加法可知ABAC一-+—为ZBAC的平分线表示的向量.\AB\\AC\当Z=1时，2々取得最大值为;.故选项D正确.2当Z=1时，2々取得最大值为;.故选项D正确.28又因为BD=-BC,所以=_BC.22因为BP=\BA+juBC,则}It，0<r<l.因为尸在人。上，即4R。三点共线，设BP二湖+(l」)8O,0<r<l.lA=V高40=。才sin45=-a~=—a^第II卷(非选择题)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案天灾答题卡中的横线上.13.用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为4扳，那么原正方形的面积为.解析】【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积.【详解】设原正方形的边长为a,根据斜二测画法的原则可知OfCf=a,O,A,=-OA=-af22故选：BD.AB224•对应宜观图的面积为a.巨ct=巨疽=4也,即/=16,故原正方形的面积为16,44OC(7D2221—,8故答案：16.14.故答案：16.14.已知o，人为非零不共线向量，向量Sa-kb与-kMB共线，则&=.【答案】土2也【解析】【分析】根据向量共线可知Sa-kb=t(-ka+b)f据此即可得解.【详解】因为向量Sa-kb与—ka+b共线，且白，人为非零不共线向量，所以Sa-kb=t^-ka+=-kta+tb，故8〈=一如，解得k=±2，15.如图，在平面四边形ABCD中，ZCZ)A=NCBA=9tf，匕曲£>=120°，AB=AD=],若点E为C£)边上的动点，则AEBE的最小值为.uuuuur(3>/3)【分析】建立直角坐标系，得出AE=(-!,/),BE=,利用向量的数量积运算得出AEBE=t2-^-t+-fte[0.y/3],根据二次函数性质即可求AE-BE的最小值.22【详解】以D点为原点，DA所在直线为*轴，DC所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，.•.当,=如时，(曲应)=—,.•.当,=如时，(曲应)=—,mm16故答案为：—.16,对于三角形ABC形状的判断，以下说法正确的有：ncoqA①若丁=—,则14BC为等腰三角形；bcosA②若ABBC=BCCA=CAAB，则为等边三角形.③sinA=cosB,则一ABC为直角三角形.④若MBC平面内有一点O满足：OA+OB+OC=0,且网=|°8|=|°C"则为等边三角形⑤若sin2A+sin2B+cos2C<b则MBC为钝角三角形.【答案】②④⑤【解析】p设点E坐标为E(o,f),则住[0,0],AE=(-l,r)，be=【分析】根据正弦定理边化角，可推得A=B或A+B=k，判断①；根据向量数量积的运算律可判断②；2举反例可判断③；根据向量数最积的运算律结合向量的模可判断④；利用正弦定理角化边结合余弦定理可acosBr,.sinAcosB44cBbcosAsin8cosA即sin2A=sin2B,由于A服(0,对，则2A,2腿(0,2兀),^D\Ax36对于④，因为36对于④，因为OA+O8+OC=0,故|OA+OB|2=|_oc|2,即|OA|2+|OB|2+20AOB=0|C|2,又OA|=|OB|=|OC|,所以|OA|2+2|Q4||OB|cos£4OB=0,故cosZAOB=-1-f由于ZAOBg[0,7t],故^AOB=2n—f2tt对于③，不妨取A=—tB=C=-，满足sinA=cosB，但如C不是直角三角形.③错误：同理可得ZAOC=ZBOC=5，结合|OA|=|OB|=|OC|,故.AOB^^AOC^/XCOB，可得|屈|=|而|=|就|,故为等边三角形，④正确；对于⑤，由sin2A+sin2B+cos2Cv1得sin?A4-sin2B<1-cos2C=sin2C，2f22即a2+b2<c2»即cosC=------<0,(1)求函数y=/(x)在*上的严格增区间；(2)将函数y=f\x)的图像向左平移机m>0)个单位，再向上平移1个单位，待到函数y=g(x)的lab由于Cg(O,ti),故c为钝角，故为钝角三角形，⑤正确，故答案为：②④⑤【点睛】方法点睛：判断三角形形状问题可以利用正余弦定理，根据角的范围进行判断，注意正余弦定理边角互化的应用，也可以利用向量的线性运算或者数量积的运算进行判断.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17./(x)=2>/3sinxcosx-2sin2x.则2A=2B或2A+2B=7t,即A=B或人+B=^,故为等腰三角形或直角三角形，①错误；对于②，由A8.8C=BCCA可得(A8+AC)BC=O,即(AB+AC)(AC-AB)=O,故A(J-AB2=0,:\AC\=\AB\同理由BCCA=CAAB可得|BC|=|AB|,故乙旭。为等边三角形，②正确.7tftt【小问1详解】【小问1详解】/(x)=2>^sinxcosx-2sin2a:=>^sin2A：+cos2x-1=2sin(2x+：)-l,区间，得到答案；(2)先求出g(x)的解析式，得到〃=0,由对称性得到”=一芝+号/cZ,得到用的最小值，求出【解析】【分析】(1)利用三角函数恒等变化得到/(x)=2sin|^2x4-|j-l,利用整体法求解出函数的单调递增k6)y=g(x)的图像关于点F修，〃J对称，故〃=0,2sinf2x+2m+=2sin(2〃?+^)=0,故2m+5tt—=k7i,k€Z,解得：m=5tt——+Icil—,keZ,g(x)=2sin2x+2m+—,图像，若函数y=g(x)的图像关于点P〃对称，求勿+〃的最小值.6122L63jL63j6L66Jxigit5k,因y=sinz在zc兀兀上单调递增，所以2x+go2662解得：xg一"7,7*oo故函数y=/(x)在xe【小问2详解】上的严格增区间为故m+n的最小值为二；.18.已知向量。故m+n的最小值为二；.18.已知向量。,5满足。+片)•。一2方)=-6,且同=1,|牛2.(1)求ab；(2)求d与人的夹角。 (3)求|“+力|.1)-1 (2)樊3⑶73【解析】【分析】(1)根据向量数量积的运算律可直接构造方程求得结果； (2)利用向量夹角公式直接求解即可；(3)由k+E=,利用向量数量积的运算律可求得结果【小问1详解】(2)求「二的模.(2)$【解析】因为fn>0,所以当A=1时，w=—取得最小值，【小问2详解】=-db-2b2=-1-ab=-6,:,ab=-\-=丽=话=项又关[0,环.展〉.【小问3详解】|〃+可=J(d+/?)2=yjd2+2db+b2=>/1-2+4=yf3•nab-112n-2-119.已知z是复数，z—3i为实数，=为纯虚数(i为虚数单位).(1)求复数z；z-2-1求解；(-2-1求解；(2)根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解.【小问1详解】R因为z—3i=o+。一3)i为实数，所以b=3,则复数z=o+3i(*R),z-5i〃一2i(。一2i)(—2+i)2-2〃+(o+4)i2-2aa+4.,为土心则〈〃+4邳'得"T【小问2详解】由⑴可知复数z=l+3i,则六+吉3i+)(("l+i=T+2i，所以£的模为7(-1)2+(2)2=^-20.在如招。中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且满足(2a-^-c)BCBA+cCACB=0.(1)求角8的大小;(2)若b=2岖,求a2+c2的取值范围.【答案】(1)3=当3(2)8<a2+c2<12【解析】【分析】(1)结合向量运算、正弦定理求得cosB,由此求得矿(2)利用正弦定理将a2+c2表示为三角函数的形式，结合三角函数值域的求法求得a2+c2的取值范、【小问1详解】在中，A+B+C=n,【分析】(1)设复数z=a+bi(a,beR)f根据题意z—3i为实数，一厂一为纯虚数，利用复数的运算即可围围【答案】(一由正弦定理得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.2sinAcosB+sin(B+C)=0,/.2sinAcosB+sinA=0，又sinA又sinA。0,.•cosB=—，:.B=—.23【小问2详解】abc2>/3.abc2>/3.~T/.a2+c2=16^sin2A+sin2C)=8(2sin2A+2sin2C)=8(l-cos2A+l-cos2C)=16-8cos2A-8cos「2f冬一AT|=16-8cos2A-8「Lcos2A+^sin2ALUJJ"22J(、=16-4cos2A-4>/3sin2A=16-8sin2A+-,=/.0<4<-,即0v2Av空，3336662616-8sin2A+^G[8,12),即8<a2+c2<12.21.平面内给出三个向量。=(3,2),b=(—1,2),3=(4,1),求解下列问题：(1)求向量q在向量Z?方向上的投影向量的坐标；(2)若向量a+b与向量海+人的夹角为锐角，求实数成的取值范围；(3)若(q+AQIQZ?—。)，求实数*的值.(1)当(1)当<9=30°时，求四边形ABCD的面积;(2)m>—且m。一27⑶-旦【解析】【分析】(1)根据投影向量坐标公式计算即町;(2)根据a+b与次+b的夹角为锐角得到(〃+方)(*+人)>。且a+b与〃7c，+b不同向共线，然后列不等式求解即口J；(3)根据0+右)J•(龙一万)得到0+©•(沥-/)=0,然后解方程即可.【小问1详解】“在人方向上的投影向量坐标为|4cosS»>#—•rb-r=一—-=—【小问2详解】因为ci+b与的夹角为锐角，所以(。+力),(*'+。)=8"7—2+4m+8>0,且〃+占与次+5不同向共线，即2(刀+2)。4(4〃一1),解得"?>一?且【小问3详解】22.在路边安装路灯，灯柱A