【解析】（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册4.2 等可能条件下的概率（二） 同步测试

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（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册4.2等可能条件下的概率（二）同步测试

一、选择题

1．（2022九上·中山期末）如图，用力转动转盘甲和转盘乙的指针，则哪个转盘的指针停在白色区域的概率大（）

A．转盘甲B．转盘乙C．无法确定D．一样大

【答案】D

【知识点】几何概率

【解析】【解答】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为；

转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为；

因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为

故答案为：D．

【分析】利用几何概率求解即可。

2．（2023九上·长顺期末）用如图所示的两个转盘分别进行四等分和三等分，设计一个“配紫色”的游戏，分别转动两个转盘指针指向区域分界线时，忽略不计，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】几何概率

【解析】【解答】解：第一个转盘转出红色的概率为，转出蓝色的概率为，第二个转盘转出红色的概率为，转出蓝色的概率为，然后根据红色与蓝色可配成紫色可得：配成紫色的概率为×+×=.

故答案为：A.

【分析】分别表示出第一个、第二个转盘转出红色、蓝色的概率，然后根据红色与蓝色可配成紫色就可求出配成紫色的概率.

3．（2022九上·湖口期中）如图，一个小球在在地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】几何概率

【解析】【解答】解：∵总面积为12个小正方形的面积，

其中黑砖部分面积为个小正方形的面积，

∴小球停在黑砖部分的概率是，

故答案为：C．

【分析】利用几何概率公式求解即可。

4．（2022九上·东阳月考）22届年级组董老师为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】复合事件概率的计算

【解析】【解答】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角为120°，

∴B盘红色扇形区域所占的圆心角为240°，

∴B盘中：S红色扇形＝2S蓝色扇形，

画树状图如下：

∴一共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，

∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是＝.

故答案为：C.

【分析】根据B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角度数求出B盘红色扇形区域所占的圆心角，从而得到B盘中：S红色扇形＝2S蓝色扇形，再画出树状图，一共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，最后由概率公式求解即可．

5．（2022九上·定海月考）如图，四个转盘分别被分成不同的等份．若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】几何概率

【解析】【解答】解：A、让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为；

B、让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为；

C、让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为；

D、让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率为；

∵，

∴让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是选项D的转盘.

故答案为：D.

【分析】利用概率公式分别求出各选项中的概率，再比较大小，可得到停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘所在的选项.

6．（2022九上·舟山月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；几何概率

【解析】【解答】解：连接AC，

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠B=90°，

∴AC是圆O的直径；

设AB=BC=x，

∴正方形ABCD的面积为x2，

∴，

∴圆O的半径为，

∴圆O的面积为，

∴石子落在正方形ABCD内的概率为.

故答案为：C.

【分析】连接AC，利用正方形的性质可证得AB=BC，∠B=90°，利用90°的圆周角所对的弦是直径，可证得AC是圆O的直径；设AB=BC=x，利用含x的代数式表示出正方形ABCD得面积，利用勾股定理可求出AC的长，即可得到圆的半径，从而可求出圆的面积；然后求出正方形ABCD的面积和圆O的面积之比，即可得到石子落在正方形ABCD内的概率.

7．（2022九上·自贡期末）学生甲手中有4，6，8三张扑克牌，学生乙手中有3，5，10三张扑克牌，现每人从各自手中随机取出一张牌进行比较，数字大者胜，在该游戏中（）

A．甲获胜的概率大B．乙获胜的概率大

C．两人获胜概率一样大D．不能确定

【答案】A

【知识点】复合事件概率的计算

【解析】【解答】解：由题意知，甲取出4时，乙有3，5，10共三种可能，其中甲获胜有1种可能；

甲取出6时，乙有3，5，10共三种可能，其中甲获胜有2种可能；

甲取出8时，乙有3，5，10共三种可能，其中甲获胜有2种可能；

∴甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为

∵

∴甲获胜的概率大

故答案为：A.

【分析】列罗出每人手中随机取出一张牌进行比较所有等可能的结果数，其中甲获胜的有5种，乙获胜的有4种，根据概率公式分别算出甲与乙获胜的概率，然后进行比较即可得出答案.

8．（2023九上·淮南月考）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为了了解该图案的面积是多少，我们采取了以下办法：用一个长为a，宽为b的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），现将若干次有效实验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此估计不规则图案的面积大约是（）

A．a2B．abC．b2D．ab

【答案】B

【知识点】几何概率；利用频率估计概率

【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为xm2，

∵用一个长为a，宽为b的长方形

∴长方形面积为abm2，

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，

当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，

综上有：＝0.35，解得x＝ab．

故答案为：B．

【分析】先求出长方形面积为abm2，再求出＝0.35，最后解方程即可。

9．（2023九上·青岛期中）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线．如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】几何概率

【解析】【解答】解：由已知可得：矩形ABCD的长为8，宽为5，即面积S矩＝8×5＝40，

阴影部分的面积S阴＝，

设在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分为事件A，

则P（A）＝＝=，

故答案为：D．

【分析】由已知可得：矩形ABCD的长为8，宽为5，即面积S矩＝8×5＝40，阴影部分的面积S阴＝，则P（A）＝＝=，即可得解。

10．（2023九上·龙泉期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】几何概率

【解析】【解答】解：总面积为9，其中阴影部分面积为3，

飞镖落在阴影部分的概率是.

故答案为：B.

【分析】利用阴影部分的面积除以总面积可得对应的概率.

二、填空题

11．（2022九上·翁源期末）如图，小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为．

【答案】60

【知识点】几何概率

【解析】【解答】解：，

故答案为：60.

【分析】先计算正方形的面积，再通过概率估算出黑色部分的面积.

12．（2023九上·邳州期末）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是.

【答案】

【知识点】几何概率

【解析】【解答】解：由图可知，总面积为25个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为17个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是，

故答案为：.

【分析】由图可知：总面积为25个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为17个小正方形的面积，然后根据几何概率公式进行计算.

13．（2022九上·成都月考）如图，是一块三角形纸板，其中AD＝2DF，BE＝2ED，CF＝2FE，一只蚂蚁在这张纸上自由爬行，则蚂蚁踩到阴影部分的概率为．

【答案】

【知识点】三角形的面积；几何概率

【解析】【解答】解：设S△DEF=1，

∵AD=2DF，

∴S△ADE=2S△DEF=2；

∵BE=2DE，

∴S△ABE=2S△ADE=2×2=4；

∵CF=2EF，

∴S△CDF=2S△DEF=2；

∴S△ADC=2S△CDF=2×2=4；

∴S△CDE=S△DEF+S△CDF=1+2=3；

∴S△BEC=2S△CDE=2×3=6，

∴S△ABC=S△CBE+S△CDE+S△ADC+S△ADE+S△ABE=6+3+4+2+4=19，

∴蚂蚁踩到阴影部分的概率为.

故答案为：

【分析】设S△DEF=1，由AD=2DF，可求出△ADE的面积，由BE=2DE可求出△ABE的面积，由CF=2EF，可求出△CDF的面积；从而可求出△ADC，△CDE和△BEC的面积；然后根据S△ABC=S△CBE+S△CDE+S△ADC+S△ADE+S△ABE，代入计算求出△ABC的面积，利用概率公式进行计算，可求出蚂蚁踩到阴影部分的概率.

14．（2023九上·苍溪期末）如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是.

【答案】

【知识点】几何概率

【解析】【解答】解：∵总面积为4×3＝12，其中阴影部分面积为2××2×1+×4×2＝6，

∴落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是＝，

故答案为：.

【分析】分别算出整个游戏板的面积及阴影部分的面积，进而根据几何概率的意义，用阴影部分的面积除以整个游戏板的面积即可得出答案.

15．（2022九上·定海月考）如图，直线l上有三个正方形，若的面积分别为9和25，若抛一颗石子，落在阴影部分的概率为.

【答案】

【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何概率；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：

∵都是正方形

∴，

∴，，

∴

又∵

∴△≌△

∵正方形a、b面积分别为9、25，

∴，

∴，

∴正方形C的边长为：4

∴阴影部分的面积为：，总面积为：，

概率为：

故答案为：.

【分析】根据同角的余角相等得∠BAC=∠DCE，从而利用AAS判断出△ABC≌△CDE，根据全等三角形的对应边相等并结合勾股定理可得BC=DE=4，根据三角形的面积计算方法算出阴影部分的面积，进而用阴影部分的面积比上整个图形的面积即可得出答案.

三、解答题

16．（2022九上·青岛期中）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3．如果同时任意转动转盘A、B，转盘停止时，两个指针指向转盘A、B上的对应数字分别为x，y（指针指在两个扇形的交线时，重新转动转盘）．小红和小兰用这两个转盘做游戏，若x与y的乘积是正数，则小红赢；若x与y的乘积是负数，则小兰赢．这个游戏对双方公平吗？请借助画树状图或列表的方法说明理由．

【答案】解：这个游戏对双方公平，理由如下：

解：列表如下：

xy20-1

360-3

240-2

-2-402

-3-603

由表可知，可能出现的结果由12种，并且它们出现的可能性相等，x与y的乘积是正数的结果有4种，x与y的乘积是负数的结果有4种，

∴，

，

即这个游戏对双方公平．

【知识点】游戏公平性

【解析】【分析】先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解并判断即可。

17．（2023九上·吉州期末）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm和12cm的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，求米粒落在图中阴影部分的概率．

【答案】解：∵两个空白正方形的面积分别为12cm和3cm，

∴边长分别为cm和cm，

∴大正方形的边长为cm，

∴大正方形的面积为cm，

∴阴影部分的面积为27-12-3=12cm，

∴米粒落在图中阴影部分的概率．

【知识点】几何概率

【解析】【分析】先求出大正方形的边长为cm，再求出阴影部分的面积为27-12-3=12cm，最后求概率即可。

18．（2023九上·胶州期中）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小明先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小刚再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小刚赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．

【答案】解：列表如下所示，

摸球转盘

246

11+2=31+4=51+6=7

33+2=53+4=73+6=9

55+2=75+4=95+6=11

由表格可知一共有9种等可能性的结果，其中得到的两数字之和是3的倍数的结果数有3，其中等到的两数字之和是7的倍数的结果数为3，

P（小明赢）＝，P（小刚赢）＝，

∴游戏是公平的．

【知识点】游戏公平性；概率公式

【解析】【分析】列表得出所有等可能出现的结果，其中得到的两数字之和是3的倍数的结果数有3，其中等到的两数字之和是7的倍数的结果数为3，再根据概率公式求解即可。

19．（2023九上·黑山期中）杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？

【答案】解：这个游戏对双方不公平

∵；；

；，

∴杨华平均每次得分为（分）；

季红平均每次得分为（分）．

∵＜，

∴游戏对双方不公平

改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平．（答案不惟一）

【知识点】游戏公平性

【解析】【分析】利用概率公式分别求出杨华和季红得分的概率，再判断即可。

四、综合题

20．在学校开展的数学活动课上，小明和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，四个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：每人投掷三棱锥一次，并记录底面的数字，如果底面数字的和为奇数，那么小明赢；如果底面数字的和为偶数，那么小刚赢.

（1）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中的所有可能结果.

（2）请分别求出小明和小刚能赢的概率，并判断此游戏对双方是否公平.

【答案】（1）解：列表如下：

1234

12345

23456

34567

45678

（2）解：从图表可知，共有16种等可能的情况，其中两次所掷数字的和为奇数的情况有8种，和为偶数的有8种，

所以小明获胜的概率为、小刚获胜的概率为，

故此游戏对两人是公平的.

【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性

【解析】【分析】（1）根据列表法可得所有可能出现的结果；

（2）根据（1）的表格可得所有可能出现的情况数以及两次所掷数字的和为奇数、偶数的情况数，利用概率公式求出小明、小刚获胜的概率，然后进行比较即可判断.

21．（2023九上·余姚期末）小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，当两个转盘指针指向的数字之积为奇数时，小明获胜：数字之积为偶数时，小刚获胜．(若指针恰好指在等分线上时重新转动转盘)

（1）用画树状图或列表的方法求出小明和小刚获胜的概率．

（2）这个游戏规则是否公平？说明理由．

【答案】（1）解：转动两个转盘的所有可能结果如下：

∴P（小明获胜）=，

P（小刚获胜）=；

（2）解：这个游戏规则不公平，理由如下：

∵P（小明获胜）=，P（小刚获胜）=，而，

∴这个游戏规则不公平.

【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性

【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果数，两数之积为奇数的有4种，两数之积为偶数的有8种，进而根据概率公式分别求出小明与小刚获胜的概率即可；

（2）比较两人获胜的概率的大小即可得出结论.

22．（2022九上·新泰期末）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、-2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将