【高中数学】直线的点斜式方程学案 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.1直线的点斜式方程学习目标1.推导并掌握直线的点斜式、斜截式方程.2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.3.体会直线的斜截式方程与一次函数解析式的关系.自主预习1.直线的点斜式方程名称点斜式方程已知条件直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k示意图方程形式

适用条件

2.直线在y轴上的截距定义:直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的.

符号:.

3.直线的斜截式方程名称斜截式方程已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b示意图方程形式

适用条件

课堂探究问题1:在平面直角坐标系中给定一个点P(x0,y0)和斜率k就能唯一确定一条直线,则直线上任意一点的坐标(x,y)与点P0的坐标(x0,y0)和斜率k之间的关系是,变形可得.

问题2:由推导过程可知,因点P的任意性,直线上每一个点的坐标都满足关系式,反过来是否有满足关系式的每一个点都在直线上?直线的点斜式方程:方程由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.

追问1:直线的点斜式方程能表示所有的直线吗?名称已知条件示意图方程适用范围点斜式追问2:当直线的斜率不存在,即倾斜角为90°时,直线的图象形式与直线的方程是怎样的呢?【学以致用】例1直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角α=45°,求直线l的点斜式方程,并画出直线l.变式训练已知直线l的点斜式方程为y+2=x-1,那么此直线的斜率是,倾斜角是.

问题3:当直线过y轴上一点P0(0,b),且斜率为k时,请试着写出该直线的点斜式方程.直线的斜截式方程:方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.

追问:斜截式方程的截距是距离吗?【学以致用】例2已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.试讨论:(1)l1∥l2的条件是什么?(2)l1⊥l2的条件是什么?当堂专练1.过点(-3,2),倾斜角为60°的直线方程为()A.y+2=3(x-3)B.y-2=33(x+C.y-2=3(x+3)D.y+2=33(x+2.直线y=ax-1a的图象可能是(3.若直线y-2m=m(x-1)与y=x-1垂直,则直线y-2m=m(x-1)过点()A.(-1,2) B.(2,1) C.(1,-2) D.(1,2)4.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()A.y=12x+4 B.y=2x+C.y=-2x+4 D.y=-12x+5.直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2的位置关系如图所示,则有()A.k1<k2,且b1<b2 B.k1<k2,且b1>b2C.k1>k2,且b1>b2 D.k1>k2,且b1<b26.如果直线l经过点P(1,-1),且它的倾斜角是直线y=x+2的倾斜角的2倍,那么直线l的方程是.

7.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,l2:y=-2x+1,l3:y=-1nx-1n.若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为8.若直线l1:y=3x+2a与直线l2:y=(a2+2a)x+2平行,则a=.

9.求倾斜角是直线y=-3x+1的倾斜角的14,且分别满足下列条件的直线方程(1)经过点(3,-1);(2)在y轴上的截距是-5.10.求经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.11.求经过点A(-2,2)并且和x轴的正半轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程.参考答案自主预习1.y-y0=k(x-x0)斜率存在2.截距可正,可负,也可为零3.y=kx+b斜率存在课堂探究问题1:k=y-y0x-x0问题2:若点P1(x1,y1)的坐标x1,y1满足关系式y-y0=k(x-x0),则y1-y0=k(x1-x0).(1)当x1=x0时,y1=y0,这时点P1与P0重合,显然有点P1在直线l上;(2)当x1≠x0时,有k=y1-y0x1-x0,这表明过点P1因为l,l1的斜率都为k且都过点P0,所以它们重合.所以,点P1在直线l上.直线的点斜式方程:y-y0=k(x-x0)追问1:点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.名称已知条件示意图方程适用范围点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线追问2:l与x轴垂直,倾斜角为90°,斜率k不存在,此时直线l与y轴平行或重合,不能用点斜式求方程,又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以有x-x0=0,即x=x0.例1解∵k=tan45°=1,∴y-3=x-2.取x=-1,则y=4,过P0,P1两点的直线即为所求,如图所示.变式训练145°问题3:y-b=k(x-0),即y=kx+b.直线的斜截式方程:y=kx+b追问:不是,截距是直线与y轴交点的纵坐标.例2(1)l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;l1与l2重合⇔k1=k2,b1=b2;(2)l1⊥l2⇔k1k2=-1.当堂专练1.C解析因为直线的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan60°=3,由直线方程的点斜式可得方程为y-2=3(x+3).2.B解析由y=ax-1a可知,斜率和截距必须异号,故B正确3.C解析由两直线垂直得m=-1,把m=-1代入y-2m=m(x-1)得过点(1,-2).故选C.4.D解析因为所求直线与y=2x+1垂直,所以设直线方程为y=-12x+b.又因为直线在y轴上的截距为4,所以直线的方程为y=-12x+5.A解析设直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2.由题图可知90°<α1<α2<180°,所以k1<k2,又b1<0,b2>0,所以b1<b2.故选A.6.x=1解析直线y=x+2的倾斜角是45°,从而直线l的倾斜角是90°,其斜率k不存在,直线l的方程是x=1.7.-10解析∵l1∥l2,∴kAB=4-mm+2=-2,又∵l2⊥l3,∴-1n×(-2)=-1,解得n=-∴m+n=-10.8.-3解析因为l1∥l2,所以a2+2a=3,且2a≠2,解得a=-3,所以a=-3时两直线平行.9.解∵直线y=-3x+1的斜率k=-3,∴其倾斜角α=120°.由题意,得所求直线的倾斜角α1=14α=30°故所求直线的斜率k1=tan30°=33(1)∵所求直线经过点(3,-1),斜率为33∴所求直线方程是y+1=33(x-3)(2)∵所求直线的斜率是33,在y轴上的截距为-∴所求直线的方程为y=33x-510.解设所求直线的方程为y=kx+b,由题意知k≠0,所以直线在x轴上的截距为-bk,由题意知-bk又因为直线过(3,4),所以4=3k+b,所以-解得b故所求的直线方程为4x-3y=