【解析】（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册第四章 等可能条件下的概率 单元同步测试B

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（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册第四章等可能条件下的概率单元同步测试B

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2023九上·江北期末）下列事件是必然事件的是（）

A．足球运动员在罚球区射门一次，射中

B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇

C．将实心铅球投入水中，下沉

D．雨后见彩虹，幸运

【答案】C

【知识点】随机事件；事件发生的可能性

【解析】【解答】解：∵足球运动员在罚球区射门一次，射中是随机事件，

∴A不符合题意；

∵从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇是不可能事件，

∴B不符合题意；

∵将实心铅球投入水中，下沉是必然事件，

∴C符合题意；

∵雨后见彩虹，幸运是随机事件，

∴D不符合题意；

故答案为：C.

【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然[

不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；

随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.

2．（2022九上·阳信期中）下列说法正确的是（）

A．“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是必然事件

B．“从一个装有6个红球的不透明的袋中摸出一个球是红球”是随机事件

C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件

D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件

【答案】D

【知识点】事件发生的可能性；真命题与假命题

【解析】【解答】解：“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是随机事件，A不符合题意；

“一个不透明的袋中装有6个红球，从中摸出1个球是红球”是必然事件，B不符合题意；

“概率为0.0001的事件”是随机事件，C不符合题意；

“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D符合题意，

故答案为：D．

【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。

3．（2022九上·宁波期中）下列事件中，属于不可能事件的是（）

A．x是实数，则

B．人在月球上所受的重力比在地球上小

C．任意选择某电视频道，正在播放动画片

D．一个三角形三个内角的和小于180°

【答案】D

【知识点】事件发生的可能性

【解析】【解答】解：A、x是实数，则x2≥0，是必然事件，故A不符合题意；

B、人在月球上所受的重力比在地球上小，是必然事件，故B不符合题意；

C、任意选择某电视频道，正在播放动画片，是随机事件，故C不符合题意；

D、一个三角形三个内角的和小于180°，是不可能事件，故D符合题意；

故答案为：D

【分析】在一定条件下，一定不发生的事件，是不可能事件，再对各选项逐一判断.

4．（2023九上·凤翔期末）在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为（）

A．16B．18C．20D．24

【答案】C

【知识点】利用频率估计概率；概率公式

【解析】【解答】解：由题意可得，，

解得：，

经检验是原方程的根，故C正确.

故答案为：C.

【分析】根据频率估计概率的知识结合概率公式进行计算.

5．（2023九上·武功期末）某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，先从四人中随机选择一人跑第一棒，再从剩下的三人中随机选择一人跑第二棒，其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：根据题意画出树状图，

如图所示，共有12种等可能的结果数，其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的只有一种情况数，

∴其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率为：.

故答案为：B.

【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果数，其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的只有一种情况数，从而根据概率公式即可算出答案.

6．（2022九上·河北期末）在一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后将它放回，充分摇匀后，再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】列表法与树状图法；概率公式

【解析】【解答】解：

红1红2红3白1白2

红1红1红1红2红1红3红1白1红1白2红1

红2红1红2红2红2红3红2白1红2白2红2

红3红1红3红2红3红3红3白1红3白2红3

白1红1白1红2白1红3白1白1白1白2白1

白2红1白1红2白1红3白1白1白1白2白1

由列表可知共有种可能，两次都摸到红球的有9种，所以概率是．

故答案为：D．

【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。

7．（2022九上·海淀期末）遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从口驶出的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】概率公式

【解析】【解答】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，

赛车最终驶出的点共有H、G、E、F四个，

所以，最终从点F驶出的概率为，

故答案为：B．

【分析】利用概率公式求解即可。

8．（2023九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必胜的策略．

A．10B．9C．8D．6

【答案】D

【知识点】游戏公平性

【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；

对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；

对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；

对于选项D：甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，

综上可知，只有甲先写6，才能必胜，

故答案为：D.

【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。

9．（2023九上·淮南月考）如图，点O是ABCD的对称中心，l是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成甲、乙两部分，在这个图形上做扎针试验，则针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是（）

A．甲大B．乙大C．一样大D．无法确定

【答案】C

【知识点】几何概率；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：如图，连接记过的直线交于

为ABCD的对称中心，

为的中点，

同理：

所以针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是一样的，

故答案为：C

【分析】先求出再判断即可。

10．（2023九上·长兴期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在这个圆面上随意抛一粒豆子(豆子大小忽略不计)，若豆子落在正方形ABCD内的概率记为P1，豆子落在图中阴影部分内的概率记为P2，则对P1和P2的大小判断正确的是（）

A．P1>P2B．P1P2B．P1<P2

C．P1=P2D．与圆的半径有关

二、填空题（每空3分，共15分）

11．（2023九上·越城期中）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：

30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合计

A59151166124500

B5050122278500

C4526516723500

早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.

12．（2023九上·句容竞赛）从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是。

13．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是.

14．（2022九上·成都月考）如图，在的方格中，已有3个小正方形被涂黑，若在其余空白小正方形中任选一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是.

15．在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别是O(0，0)，B(1，1)，A(x，y)(－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均为整数)，则所作△OAB为直角三角形的概率是．

三、解答题（共4题，共20分）

16．一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球．

（1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性；

（2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，求袋子中需再加入几个红球？

17．（2022九上·北仑期中）甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．（用列表法或画树状图分别求出两同学获胜的概率）

18．（2023九上·北仑期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色.若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看.这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表的方式说明理由.

19．（2023九上·揭西期末）如图是一个可以自由转动的转盘，小明跟小红分别转动一次转盘，然后记下转盘停止时指针所指的颜色（指针压线时重转），若两次颜色相同则小明获胜，否则小红获胜，请你用树状图或列表的方法表示这个游戏所有可能出现的结果，并判断游戏是否公平.

四、综合题（共4题，共35分）

20．现在发行的体育彩票，购买时号码允许重复，开奖时通过摇号得出特等奖号码.若与该号码相同的奖券只有一张，则独得特等奖奖金总额；若与该号码相同的奖券有几张，则每张券平分特等奖奖金总额.

小李和老王各买了两张奖券，小李的两张号码完全相同，老王的两张则号码不同，试问：

（1）谁中特等奖的可能性大一些，为什么？

（2）若小李或老王中了特等奖，在奖金总额相同的情况下，谁得的奖金多一些？能说明理由吗？

21．（2023九上·江北期末）甲、乙、丙三名同学玩石头剪刀布游戏，规则如下：若其中两人出的手势相同，另一人不同，则按以下方式分胜负：石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头；其他情况则为平局.

（1）甲同学决定随机出一个手势，则他出的手势为剪刀的概率为.

（2）若甲同学出的是剪刀，请用画树状图或列表的方法，求甲同学获胜的概率.

22．（2022九上·大田期中）一个盒子中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球.求：

（1）第一次摸到红球的概率；

（2）两次摸到不同颜色球的概率.

23．如图，两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等分和3等分，并在每份内均标有数字．小花为甲、乙两人设计了一个游戏规则如下：同时自由转动转盘A、B；两个转盘停止后，（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），将两个指针所指份内的两个数字相乘，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，则乙胜．但小强认为这样的规则是不公平的．

（1）请你用一种合适的方法（例如画树状图、列表）帮忙小强说明理由；

（2）请你设计一个公平的规则，并说明理由．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】随机事件；事件发生的可能性

【解析】【解答】解：∵足球运动员在罚球区射门一次，射中是随机事件，

∴A不符合题意；

∵从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇是不可能事件，

∴B不符合题意；

∵将实心铅球投入水中，下沉是必然事件，

∴C符合题意；

∵雨后见彩虹，幸运是随机事件，

∴D不符合题意；

故答案为：C.

【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然[

不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；

随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.

2．【答案】D

【知识点】事件发生的可能性；真命题与假命题

【解析】【解答】解：“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是随机事件，A不符合题意；

“一个不透明的袋中装有6个红球，从中摸出1个球是红球”是必然事件，B不符合题意；

“概率为0.0001的事件”是随机事件，C不符合题意；

“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D符合题意，

故答案为：D．

【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。

3．【答案】D

【知识点】事件发生的可能性

【解析】【解答】解：A、x是实数，则x2≥0，是必然事件，故A不符合题意；

B、人在月球上所受的重力比在地球上小，是必然事件，故B不符合题意；

C、任意选择某电视频道，正在播放动画片，是随机事件，故C不符合题意；

D、一个三角形三个内角的和小于180°，是不可能事件，故D符合题意；

故答案为：D

【分析】在一定条件下，一定不发生的事件，是不可能事件，再对各选项逐一判断.

4．【答案】C

【知识点】利用频率估计概率；概率公式

【解析】【解答】解：由题意可得，，

解得：，

经检验是原方程的根，故C正确.

故答案为：C.

【分析】根据频率估计概率的知识结合概率公式进行计算.

5．【答案】B

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：根据题意画出树状图，

如图所示，共有12种等可能的结果数，其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的只有一种情况数，

∴其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率为：.

故答案为：B.

【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果数，其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的只有一种情况数，从而根据概率公式即可算出答案.

6．【答案】D

【知识点】列表法与树状图法；概率公式

【解析】【解答】解：

红1红2红3白1白2

红1红1红1红2红1红3红1白1红1白2红1

红2红1红2红2红2红3红2白1红2白2红2

红3红1红3红2红3红3红3白1红3白2红3

白1红1白1红2白1红3白1白1白1白2白1

白2红1白1红2白1红3白1白1白1白2白1

由列表可知共有种可能，两次都摸到红球的有9种，所以概率是．

故答案为：D．

【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。

7．【答案】B

【知识点】概率公式

【解析】【解答】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，

赛车最终驶出的点共有H、G、E、F四个，

所以，最终从点F驶出的概率为，

故答案为：B．

【分析】利用概率公式求解即可。

8．【答案】D

【知识点】游戏公平性

【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；

对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；

对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；

对于选项D：甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，

综上可知，只有甲先写6，才能必胜，

故答案为：D.

【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。

9．【答案】C

【知识点】几何概率；中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：如图，连接记过的直线交于

为ABCD的对称中心，

为的中点，

同理：

所以针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是一样的，

故答案为：C

【分析】先求出再判断即可。

10．【答案】B

【知识点】几何概率

【解析】【解答】解：设圆的半径为R，

∴CD=R，S圆=

∴

∴，

∴P1<P2.

故答案为：B.

【分析】设圆的半径为R，分别求出圆的面积，正方形的面积及阴影部分的面积，然后求出P1和P2，比较大小，可得答案.

11．【答案】C

【知识点】可能性的大小；利用统计图表分析实际问题

【解析】【解答】解：样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，

∴乘坐C路线上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.

故答案为：C.

【分析】根据统计表获取信息，样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，即可得出答案.

12．【答案】0.25

【知识点】概率公式

【解析】【解答】从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数共有24种情况，

设一元二次方程为ax2+bx+c=0，要使其有根必须b2-4ac≥0，

所以满足构作的一元二次方程有实根的情况数（以此代表a，b，c）有

①1，3，2；②2，3，1；③1，4，2；④1，4，3；⑤2，4，1；⑥3，4，1共6种，

∴构作的一元二次方程有实根的概率是=0.25．

【分析】4选3，共有24种情况，要使b2-4ac≥0的情况有6种，概率为0.25.

13．【答案】

【知识点】概率公式

【解析】【解答】解：∵正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8，用列表法列举朝上的面两数字之和所有可能是：∴朝上的面两数字之和为奇数5的概率是：

故答案为

【分析】列出表格，共36种机会均等的结果，两数字之和为奇数5的有4种，进而概率是。

14．【答案】

【知识点】轴对称图形；几何概率

【解析】【解答】解：如图，把图中的1或2涂黑，所得图案是一个轴对称图形，

所以所得图案是一个轴对称图形的概率是.

故答案为：.

【分析】根据轴对称图形的概念“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形”找出属于轴对称图形的情况数，然后利用概率公式进行计算.

15．【答案】

【知识点】复合事件概率的计算

【解析】【解答】解：∵点A(x，y)横、纵坐标满足的条件：“－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均为整数”，并且点A与点O(0，0)和B(1，1)能构成三角形，

∴这样的点有20个，其中能构成直角三角形的有8个（如图所示），

即：（－2，－2），（－1，－1），（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），（2，－1），（2，－2），

∴所求概率为

故答案为：

【分析】先由A(x，y)(－2≤x≤2，－2≤y≤2，x，y均为整数)，在平面直角坐标系中确定出所有的A点有25个，再结合O(0，0)，B（1,1）可知能构成△AOB的A点有20个，而是直角三角形的只有8个，据此由概率的意义即可求解。

16．【答案】解：（1）∵从中随意摸出一个球的所有可能的结果个数是5，

随意摸出一个球是红球的结果个数是2，

∴从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是．

（2）设需再加入x个红球．

依题意可列：

解得x=1

检查，将x=1代入分式方程，符合题意。

∴要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入1个红球．

【知识点】可能性的大小

【解析】【分析】（1）求出摸到红球的概率即可；

（2）设需再加入x个红球，根据摸出红球的概率为列出方程求解即可．

17．【答案】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能的结果数，此时甲获胜的可能性有6种，乙获胜的可能性有10种，

故甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，而

所以游戏不公平.

【知识点】列表法与树状图法；概率公式

【解析】【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的结果数，根据概率公式分别求出甲与乙获胜的概率，再比大小即可.

18．【答案】解：这个游戏对双方公平，理由如下：

画树状图如下：

由树状图可知，所有等可能的结果共有6种，其中能配成紫色的结果有3种，

∴，，

∵，

∴这个游戏对双方是公平的.

【知识点】游戏公平性

【解析】【分析】根据题意画出树状图，由图可知所有等可能的结果共有6种，其中能配成紫色的结果有3种，根据概率公式分别求出小颖去与小亮去的概率，再比大小即可得出答案.

19．【答案】解：依题意把白色部分分成白1与白2，依题意列表得：

由上表可得，共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中颜色相同的有5种，即P（颜色相同）=，颜色不同的有4种，

即P（颜色不同）=.

由于P（颜色相同）≠P（颜色不同），故这个游戏不公平.

【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性

【解析】【分析】由于白色部分扇形的圆心角是红色部分扇形圆心角的2倍，故白