九年级数学上册《直角三角形》同步练习1北师大版

九年级上第一章第二节直角三角形试题资料库：例1.（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，求c。 （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝40，c＝41，求b。 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵c＞0， （2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵b＞0，

例2.已知直角三角形的两边长，求第三边的长。 解：（1）若AB、BC均为直角边 （2）若BC为斜边

例3.（1）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC：AB＝___________； （2）如图所示，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则BC：AC：AB＝___________；若AB＝8，则AC＝___________；又若CD⊥AB，则CD＝___________。 （3）等边△ABC的边长为a，则高AD＝___________，___________。 解：（1） （2） （3） 通过此题总结几个基本图形中的常用结论： ①等腰直角三角形三边比为 ②含30°角的直角三角形三边之比为 ③边长为a的等边三角形的高为，面积为

例4.如图所示，，∠DAC＝90°，求BD的长。 解：作AE⊥BC于E 设BD为x，则 又 将上式代入，得： 即 解得：

例5.如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＞BC。 求证： 分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。 Rt△ACD中， Rt△BCD中， （2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理： 例6.设CD是△ABC的边AB上的高，且CD2＝AD·DB，求证：∠ACB＝90°。思维入门指导：要得到∠ACB＝90°，除了知道∠ADC＝∠BDC＝90°之外没有别的角的条件，但题中告诉了CD2＝AD·BD，提醒我们是否由AC2＋BC2＝AB2得到△ACB是直角三角形，从而得到∠ACB＝90°。解法一：∵CD⊥AB于D∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°解法二：∵CD⊥AB于D∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°点拨：这两种解法的总体思路是一致的，只是在变形中采取了不同的方法。例7.如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积。思维入门指导：要求四边形ABCD的面积，得把四边形ABCD分割成三角形，连结AC，△ABC是Rt△，若△ACD也是Rt△，问题就解决了。解：连结AC∵∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形依据勾股定理得：∴AC＝5∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积一变：把∠B＝90°变成∠ACD＝90°，其它不变。二变：把∠B＝90°变成AC＝5，其它不变。点拨：经过变化，整体思路没变，均利用直角三角形的判定条件。例8.已知：如图，ΔABC中，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，AD⊥BC交BE于F。求证：AE＝AF证明：∵AD⊥BC ∴∠1＋∠5＝90°（直角三角形两锐角互余）又∵∠3＝∠5（对顶角相等） ∴∠1＋∠3＝90°又∵∠BAC＝90° ∴∠2＋∠4＝90°（直角三角形两锐角互余）又∵∠1＝∠2 ∴∠3＝∠4∴AE＝AF（等角对等边）例9.已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC。求证：分析：只需作出∠A的角平分线，转化为证角相等，注意到等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的平分线“三线合一”，所以辅助线有多种添法。证明：作AH⊥BC于H∵AB＝AC ∴∠BAH＝∠CAH（等腰三角形三线合一）在RtΔAHC和RtΔBDC中，分别有∠CAH＋∠C＝90°∠DBC＋∠C＝90°∴∠CAH＝∠DBC（同角的余角相等）例10..已知：如图，ΔABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB于E。求证：分析：在等腰三角形中可通过添加底边上的高线，产生直角三角形，利用“三线合一”得到直角三角形的30°，再利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可以证明。证明：连结AD在RtΔABD中∵∠B＝30°（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）同理可证例11.如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度分析：已知的36米是AC与AB的和，若设AB为x米，则AC为（36－x解：设AB＝x米，则AC＝（36－x）米∵AB⊥BC，∴∴∴x＝10，∴折断处的高度AB是10米例12.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中△ABC中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，要求出飞机这时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC长，在这个问题中，斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出解：根据题意可得示意图：(如图)在△ABC中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000根据勾股定理可得：BC＝AB+AC＝5000+4000＝3000(千米）所以：飞机飞行了3000千米【点拨】注意勾股定理的应用条件是必须在直角三角形中，另外还要辨别要求的边是斜边，还是直边，进而选择利用勾股定理公式还是变形公式。例13在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由勾股定理可求得（x+1）2＝x2+52，x2+2x+1＝x2+25解得x＝12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.例14如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把ΔAED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ΔABF的面积为30cm2，那么折叠的ΔAED的面积为______.分析：注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解.解：由已知条件可得BF＝12，则在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根据勾股定理可知AF＝13，再由折叠的性质可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可设DE＝EF＝x，则EC＝5－x，则在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解这个方程，得x＝.所以SΔAED＝××13＝(cm2).例15在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所