高中快车道数学必修第一册课件第三章3 2函数单调性课时

3.2

函数的基本性质课时5

函数的单调性高中快车道成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期教学目标了解函数单调性和单调区间的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法.理解函数单调性的本质特征,能正确运用函数单调性的定义证明函数的单调性.学会根据函数单调性的定义和运用函数的图象探求一些简单函数的单调区间.学习目标课程目标学科核心素养借助函数图象，理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义通过函数单调性定义的生成过程,培养直观想象及数学抽象素养理解函数单调性的本质特征,会运用单调性的定义证明简单函数的单调性借助函数单调性的判断与证明,培养逻辑推理及数学运算素养能根据函数单调性的定义和图象特征探求一些简单函数的单调区间在求函数单调区间的过程中,培养数学抽象和数学运算等素养情境导学现代技术可以帮助我们方便地了解天气信息，为第二天的出行做准备．下图是我市某天24时内气温随时间变化的曲线图．观察图象，说出温度随时间变化的规律．初探新知【问题2】“y随x的增大而增大”“y随x的增大而减小”用符号语言如何表示？【活动1

】

深刻认识具体函数的单调性【问题1】分别作出函数y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y＝

x

的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律．1【问题3】以y＝x2在(－∞，0)上函数值的变化规律为例，该变化规律是针对(－∞，0)上的自变量的部分值还是所有值？【问题4】问题3应该怎样表达才更完善？【问题5】对于函数y＝x2，你能模仿上述方法，给出该函数在区间0，+¥

)上函数值变化规律的符号语言表示吗？【问题6】请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画f(x)＝

x

和f(x)＝－x2的函数值变化规律．【活动2

】单调性定义的抽象【问题7】归纳具体函数f(x)＝x2,f(x)＝

x

和f(x)＝－x2的单调性的刻画方法，给出函数y＝f(x)在区间D上单调性的符号表述．1

2

1

2>0，那么函数f(x)在区间D上是单调递增还是单调递减？12【问题8】如果对任意的x

，x

∈D，且x

≠x

，有

2

1

x

-

xf

(x

)

-

f

(x)【活动3

】辨析单调性定义【问题9】设A是区间D的子集，而且∀x1，x2∈A，当x1<x2时，都有

f(x1)<f(x2)，我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？【问题10】函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增，但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？【问题11】

若函数f(x)在区间D上是增函数,则其图象具有怎样的特征?是减函数呢?典例精讲【例1】[2021·四川省资阳市伍隍中学高一月考]如图是定义在[-5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调

区间上，它是单调递增的还是单调递减的．思路点拨：观察函数图像→得出单调区间．【解】从图象可知，单调区间有[－5，－2]，[－2，1]，[1，3]，[3，5]，其中单调递增区间：[－2，1]，[3，5]；单调递减区间：[－5，－2]，[1，3].【方法规律】图象呈上升趋势，则为单调递增；呈下降趋势，则为单调递减．【变式训练1】[2022·重庆市朝阳中学高二期中改编题]画出函数f(x)＝x2－4x－5的图象，并根据图象说出函数的单调区间，以及在各区间上，函数是单调递增的还是单调递减的．【解】画出图象如图．由图象可知函数的单调区间有

，.且函-¥数，2]在2，+¥

)上单调递减-，¥在，2]上单调递增．2，+¥

)𝒙𝟐ି𝟏【例2】[教材改编题]已知函数f(x)=

𝟏

,试判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.思路点拨：判断函数f(x)=

𝟏

的单调性,可从函数单调性的定义入手,通过取𝒙𝟐ି𝟏值、作差、变形、定号四个步骤得出结论.【解】函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=𝟐𝟏

𝟏-

𝟐𝟏

𝟐𝒙𝟏ି𝟏

𝒙𝟐ି𝟏

(𝒙𝟐ି𝟏)(𝒙𝟐ି𝟏)=

𝟐

𝟏

=(𝒙𝟐ି𝟏)ି(𝒙𝟐ି𝟏)

(𝒙𝟐ି𝒙𝟏)(𝒙𝟐ା𝒙𝟏)(𝒙𝟐ି𝟏)(𝒙𝟐ି𝟏)𝟏

𝟐.因为𝟏

𝟐2

1

2

1

1

2𝒙𝟐

−𝟏>0,𝒙𝟐

−𝟏>0,x+x

>0,x-x

>0,所以f(x

)>f(x),故函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.【方法规律】利用定义判断与证明函数单调性的4个步骤:【变式训练2】[2021·河北省唐山市第十一中学高一期中]证明函𝒙数f(x)=x+𝟒在区间(2,+∞)上单调递增.1

2

1

2

1

2𝒙𝟏【解】任取x,x

∈(2,+∞),且x<x,有f(x)-f(x)=(𝒙𝟏

+𝟒

)-𝟐(𝒙

+1

2𝟒

𝟒𝒙𝟐

𝒙𝟏)=(x

-x

)+(

−)=(x

-x

)+𝟐

𝟏𝟒(𝒙

ି𝒙

)𝒙ି𝒙𝒙

𝟐𝟒𝒙𝟐

𝒙𝟏𝒙𝟐

𝒙𝟏𝒙𝟐1

2

1

2=

(x

x-4).由x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2,所以x1x2>4,x1x2-4>0.又由x1<x2,得𝒙𝟏𝒙𝟐1

2

1

21

2x-x

<0.于是𝒙𝒙ି𝒙𝟐·(x

x-4)<0,即f(x

)<f(x).所以,函数𝒙f(x)=x+𝟒在区间(2,+∞)上单调递增.【例3】画出函数y=-x2+2𝑥

+1,x∈[-3,3]的图象,并指出函数的单调区间.思路点拨

将函数解析式写成分段函数的形式,分段作出其图象,再借助图象写出其单调区间.2

2【解】y=-x+2

𝑥

+1=-(|x|-1)+2=൝−(𝒙+

𝟏)𝟐+𝟐,

−𝟑

≤

𝒙

≤

𝟎,𝟐−(𝒙−

𝟏)

+𝟐,

𝟎

<

𝒙

≤

𝟑,作出函数的图象如图.由图象可得:函数在区间(-3,-1)和(0,1)上单调递增,在区间(-1,0)和(1,3)上单调递减.所以函数的单调递增区间为(-3,-1)和(0,1);单调递减区间为(-1,0)和(1,3).【方法规律】图象法求函数单调区间的步骤作图:作出函数的图象.结论:上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间.【变式训练3】写出下列函数的单调区间:y=|2x-1|;y=x2-3x+2;𝒙ା𝟑(3)

y=𝟐ି𝒙.【解】(1)

y=|2x-1|=൞𝟐𝒙

−𝟏,

𝒙

≥

𝟏−𝟐𝒙+

𝟏,

𝒙

<

𝟏𝟐ଶ𝟐

,易知函数的单调递增区间是൤ଵ

,+∞),单调递减区间是(−∞,

ଵ]. (2)

y=x2-3x+2=(𝑥

−

ଷ)ଶ-ଵ,作出其图象,如图①,所以函数的

ଶ

ଶ

ସ𝒙ା𝟑𝟓

,作出其单调递增区间是൤ଷ

,

+∞),单调递减区间是(−∞,

ଷ]. (3)

y=𝟐ି𝒙

=

−𝟏

+ଶ

ଶ

𝒙ା𝟑图象,如图②,则函数的单调递减区间是(-∞,-3)和(-3,+∞).(备选例题)(1)

已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3.①

若函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数,则实数a的取值范围是

;②

若函数f(x)的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为

.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值范围为

.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为

.思路点拨画出二次函数的草图,结合图象分析,根据函数单调性的图象特征,建立关于参数a的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数a的值或取值范围.【解】(1)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.得函数单调递增区

间为(-∞,-a-1].①由f(x)在(-∞,3]上是增函数知3≤-a-1,解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4].②由题意得-a-1=3,a=-4.𝟐(2)函数f(x)的对称轴为x=-𝒂,要使函数f(x)在区间[1,2]上不单调,则1<-𝒂𝟐<2,解得-4<a<-2.𝟏−𝒂

>

𝟐𝒂

−

𝟏,ଷ

𝟑−𝟏

<

𝟏−𝒂

<

𝟏,(3)由题知ቐ−𝟏

<

𝟐𝒂

−

𝟏

<

𝟏,解得0<a<ଶ,即所求a的取值范围是

𝟎,

𝟐

.【方法规律】区间D是函数f(x)的定义域的子集,x1,x2是区间D中的任意两个自变量,且x1<x2:①f(x)在区间D上单调递增,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2).②f(x)在区间D上单调递减,则

x1<x2⇔f(x1)>f(x2).有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维流程如下:课堂反思通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练1.下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是()A.

f(x)＝3－xC.

f(x)＝2x

D.

f(x)＝B.

f(x)＝x2－3x1CxA.

f(x1)<f(x2)C.

f(x1)＝f(x2)B.

f(x1)>f(x2)D.

不能确定2．设(c，d)，(a，b)都是函数y＝f(x)的单调递减区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(D

)3.(多选)[2020·吉林省通化市梅河口第五中学高一月考改编题]如果函数f(x)在[a,b]上单调递增,那么对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的有

)A.B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.x1

-x2f

(x1

)

-

f