模块8 弯矩分配法《结构力学》教学课件

《结构力学》✩精品课件合集第X章XXXX模块8弯矩分配法第8章

弯矩分配法8.1弯矩分配法基本概念8.2单节点弯矩分配法8.3

多节点弯矩分配法8.4

无剪力分配法8.5剪力分配法结构力学以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为，杆长均为，不计杆件轴向变形。根据位移法原理，原结构分解为(a)、(b)两种受力状态。只有一个位移法未知量—A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元。ABCD原结构ABCD(a)状态ABCD(b)状态(a)状态：只承受外荷载，不发生节结点位移——固定状态(b)状态：只发生结点位移，无外荷载——放松状态相当于原结构“先固定、后放松”弯矩分配法的本质弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。“先修改、后复原”第8章

弯矩分配法8.1弯矩分配法基本概念固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。ABCD原结构ABCD(a)固定状态ABCD(b)放松状态固定状态内力分析弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法MF图的计算。

结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。

第8章

弯矩分配法8.1弯矩分配法基本概念放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的反向力矩（相当于解除约束）。ABCD原结构ABCD(a)固定状态ABCD(b)放松状态放松状态内力分析放松状态的内力可借助转动刚度、分配系数、传递系数等概念计算。转动刚度：AB杆件A端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为AB杆A端的转动刚度，记为。转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。远端为固定支座：远端为铰支座：远端为定向滑动支座：第8章

弯矩分配法8.1弯矩分配法基本概念弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。ABCD(b)放松状态放松状态内力分析传递系数：AB杆件仅A端发生转角时，B端弯矩与A端弯矩之比，称为从A到B的弯矩传递系数，记为。远端为固定支座：远端为铰支座：远端为定向滑动支座：放松状态内力（分配系数）AA结点力矩A结点力矩平衡方程：而，所以，得，从而，称为力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即。Why?物理含义：结点力矩平衡第8章

弯矩分配法8.1弯矩分配法基本概念ABCD原结构ABCD(a)固定状态ABCD(b)放松状态计算过程小结固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固端弯矩结点不平衡力弯矩放松状态，计算分配力矩和传递力矩。杆件转动刚度：分配系数：近端分配力矩：远端传递力矩：杆端最终弯矩＝固端弯矩＋分配力矩＋传递力矩第8章

弯矩分配法8.1弯矩分配法基本概念ABCD原结构计算过程小结固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固端弯矩结点不平衡力弯矩放松状态，计算分配力矩和传递力矩。杆件转动刚度：分配系数：近端分配力矩：远端传递力矩：杆端最终弯矩＝固端弯矩＋分配力矩＋传递力矩弯矩分配法通常列表计算结点杆端BACDBAABADACCADA分配传递备注分配力矩下划线，以示与传递力矩区分第8章

弯矩分配法8.1弯矩分配法基本概念ABCD原结构弯矩分配法的物理含义：弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。结点杆端BACDBAABADACCADA分配传递备注ABCDM图(xql2)施加约束(固定)解除约束(放松)注意问题：弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记正负号规定，计算过程中切勿混淆和遗漏正负号。结点不平衡力矩必须反号后才能进行分配和传递。弯矩分配法计算步骤：计算各杆的分配系数和传递系数。计算荷载作用下的固端弯矩。将结点不平衡力矩反号后，进行力矩分配和传递。按叠加原理计算最终杆端弯矩。第8章

弯矩分配法8.1弯矩分配法基本概念【例1】试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。【解】⑴计算分配系数：ABDC杆端BAABADACCADA结点BACD分配传递⑵计算固端弯矩：ABDCM图(kNm)第8章

弯矩分配法8.2单结点弯矩分配法【例2】试弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。分配传递【解】ABC只有B结点1个分配单元。ABCM图(kNm)⑴单结点弯矩分配法计算结果是近似解吗？答：是精确解。⑵如何通过弯矩分配过程计算B截面的转角？答：只有放松状态，即分配过程产生结点角位移。第8章

弯矩分配法8.2单结点弯矩分配法【例3】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。⑴几个分配单元？2个或1个。法一：B结点和C结点2个分配单元。(多结点弯矩分配法后续介绍)法二：B结点1个分配单元。（CD弯矩静定，原结构可简化）ABCDABC弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构，但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构，以减少计算工作量。分配传递⑵B结点的集中外力矩如何处理？可见，固端弯矩需改变符号后参与分配，而作用在结点上的集中力矩无需改变符号直接参与分配。ABCB点增加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为。反号后，即作为结点分配力矩。B结点分配力矩为41－20＝21（M图略）第8章

弯矩分配法8.2单结点弯矩分配法【例4】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。ABCDCB结点杆端ABDCABBABCBDDB分配传递B分配单元的分配系数如何计算？（M图略）AB杆上无荷载，不产生固端弯矩第8章

弯矩分配法8.2单结点弯矩分配法【例5】试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。如何计算转动刚度、分配系数和传递系数？分配传递（M图略）ABC根据转动刚度的定义，和分别表示B发生单位转角时BA和BC的杆端弯矩。ABC时变形ABC时弯矩第8章

弯矩分配法8.2单结点弯矩分配法【例5】试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。错误。因为MDA+MEC≠M(D、E截面剪力对B点也产生矩)，故结点力矩M不能向D、E两点分配。ABC时变形ABC时弯矩思考题：将结点力矩M向刚域两侧D和E点分配，计算过程如下，是否正确？为什么？ABCDE第8章

弯矩分配法8.2单结点弯矩分配法100kN10kN/m4m2m2m4mi=1i=2i=1ABCD作业：用弯矩分配法计算图示超静定结构，绘制弯矩图1.2.3.4.第8章

弯矩分配法8.2单结点弯矩分配法上节所述的单结点结构的弯矩分配法推广应用到多结点结构时，首先，必须是该结构各结点均无线位移（或称无侧移），包括连续梁和刚架。其次，每个结点放松时均按单结点结构那样考虑，即各杆远端应为固定、或铰接、或定向活动。

对于单结点结构，由于只有一个刚节点，故只需进行一次分配和传递就能使刚结点上的各杆的力矩获得平衡；然而，当结构具有多个刚节点时，消除刚节点的不平衡力矩，则需要逐个、反复若干遍进行多次的力矩分配和传递，才能最终使刚节点上各杆的力矩趋于平衡。

下面就以连续梁为例来说明这种计算。第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法【例1】用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。ACDB固定状态固端弯矩结点不平衡力弯矩ACDB放松状态两个分配单元B和C结点转角是耦合的，如同时放松，需建立并求解联立方程组。为了避免求解联立方程，将各分配单元依次逐个放松。①放松C(B保持锁定状态)此时，C结点力矩平衡，B结点不平衡力矩为-5kNm②放松B，锁住C此时，B结点力矩平衡，C结点不平衡力矩为1.25kNm完成一轮分配由于分配系数和传递系数不大于1且不可能全为1，故，经过弯矩分配和传递后，结点不平衡力矩逐渐减小。依次经过多轮分配，可使结构受力和变形逐步接近实际状态。第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法【例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。ACDB上述计算过程一般通过列表进行（固定状态）分配与传递（锁B放C）（锁C放B）第1轮分配（锁B放C）（锁C放B）第2轮分配（锁B放C）（锁C放B）多结点弯矩分配法是一种渐近法，计算结果为近似解。为了使计算收敛速度快，通常先从不平衡力矩较大的分配单元开始分配。终止弯矩分配的条件一般有两种：

a）明确分配轮次。如：要求完成两轮分配，则不管计算误差多大，两轮分配完成后即可终止计算。

b）明确计算精度。如：计算要求保留到小数点后两位，则应计算至分配弯矩或传递弯矩小于0.01。注意最后一个轮次分配与传递需同时完成，不可以只分配不传递。第3轮分配ACDBM图(kNm)第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法2023/9/9【例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。ACDB（固定状态）分配与传递（锁B放C）（锁C放B）（锁B放C）（锁C放B）（锁B放C）（锁C放B）思考题一：如何通过计算过程求C结点转角？ACDBM图(kNm)思考题二：B支座反力为多少？BBC受力对称剪力为荷载的一半第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法注意：1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。

2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。

3）结点不平衡力矩要变号分配。

4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）固端弯矩之和（第一轮第二三……结点）固端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩5）不能同时放松相邻结点但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法4I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m2m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m【例2】求图示刚架的弯矩图。解：1）求分配系数SBA=3，SBC=4，SBE=4×3/4=3SCB=4，SCD=3，SCF=4×1/2=2结点B：∑S=SBA+SBC+SBE=3+4+3=10μBA=3/10=0.3μBC=4/10=0.4μBE=3/10=0.3μCB=4/9=0.445μCD=3/9=0.333μCF=2/9=0.222结点C：∑S=SCB+SCD+SCF=4+3+2=92）求固端弯矩令EI=1第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法ABCDEFBABEBCCBCFCD0.30.30.40.4450.2220.33340－41.741.7－18.5－9.3－13.9－9.33.33.34.440－41.7－9.3=－112.2－1.0－0.5－0.7－0.50.150.150.243.43.5－46.5

24.4－9.8－14.8

EB1.60.11.7FC－4.7－0.2－4.9μBA=3/10=0.3μBC=4/10=0.4μBE=3/10=0.3μCB=4/9=0.445μCD=3/9=0.333μCF=2/9=0.222ABCDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m43.446.924.414.69.84.93.51.7M图（kN.m)ABCDEF29.150.954.545.53.71.32.5FS图(kN)ABCDEF49.2105.42.5FN图(kN)1.2第8章

弯矩分配法【例3】作图示刚架M图解：1)

求分配系数结点B结点C2m4m4m18kN/m4EI4EI4EI

EDA2EIC3mB第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法2) 求固端弯矩2m4m4m18kN/m4I(2i)

B4I

(i)4I

(i)EDA6kN/m2I(2i/3)C3m第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法-0.320.320.640.640.32

-0.213-0.107-1.1213.1210.24-23.36 9.71-9.71E 4.80.325.12

ADBA0.20.4BE0.4BCCB0.6670.333CD-24-824-164 8-84.8 9.69.6-1.6-3.2-1.64.8-4.83)

运算格式第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法小结：1）分配运算通常从约束力矩较大的结点开始，这样收敛较快。2）若停止分配运算，就不应再向中间结点的杆端传递弯矩。BEDAC1.12

13.1223.3610.245.129.7119.47M图（kN.m）4)

作弯矩图第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法2023/9/9

【例4】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。(只分配两轮)分配与传递（锁C放B、D）（锁B、D放C）ACBDE本结构三个分配单元：B、C、D锁C后，B、D相互之间无影响，故，可同时放松第1轮（锁C放B、D）（锁B、D放C）第2轮ACBDEM图(kNm)第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法BDEEIEIEI80kN30kN/m3m3m6m6m6mEIEICFA1/3分配系数1/31/3固端弯矩分配、传递弯矩−600最后弯矩BDAECFBABEBC4/114/113/11CBCFCD60−9090−32.73−32.73−24.55−16.36−16.3675.9215.4515.457.737.730.23−2.81−2.81−2.110−1.40−1.400.470.470.477.730.230.23−0.09−0.09−0.06−52.0415.92−91.8462.33−35.63−26.7207.96−17.7615.45BDAECFBC52.0475.9291.8415.927.9617.7635.6326.7262.33120135例4用力矩分配法计算如图所示的刚架，并绘M图。例:

画图示连续弯矩图。20kN/m40kN40kN4m4m4m4m1.2mABCDEFEI=常数（2）计算分配系数令解:(1)取基本结构第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法（2）固端弯矩（4）内力图（M）（3）计算20kN/m40kN40kN4m4m4m4m1.2mABCDEFEI=常数基本结构第8章

弯矩分配法20kN/m40kN40kNABCDEFEI=常数弯矩很小停止分配0.4290.5710.50.50.50.510分配系数+40-20+200-48固端弯矩

-11.4-17.2-22.8+24+480B,E分配传递D分配传递-22-22-11-1121.221.210.6C分配传递10.65.5B,E分配传递-3.05-6.1-4.5011-8.05-8.05D分配传递-4-4.0+3.53+3.53+1.76+1.76C分配传递-0.94D分配传递-1.88-1.88+480+17.5-17.5+10.3-10.3+0.4-0.4-4840-1-0.76B,E分配传递-0.52480.434.710.317.531.3M(kN·m)作业：用弯矩分配法计算图示超静定结构，并绘出弯矩图。132第8章

弯矩分配法8.3多结点弯矩分配法弯矩分配法应用拓展弯矩分配法主要适用于无结点线位移的超静定结构，因为有结点线位移时，杆件的转动刚度和传递系数一般难以确定。对于有结点线位移的超静定结构，弯矩分配法可以从以下两个方面修正或拓展应用。8.4无剪力分配法适用条件：有相对侧移的杆件剪力静定；剪力静不定的杆件无相对侧移。例：柱子：有相对侧移，但剪力静定；横梁：剪力未知，但两端无相对侧移。第8章

弯矩分配法8.4无剪力分配法剪力静定杆考虑两端相对侧移后的转动刚度、传递系数和固端弯矩：对mn柱，由位移法知：根据静力平衡条件可得：从而，剪力静定杆的相对侧移与杆端转角是相关的，二者关系可以通过杆件剪力大小确定根据转动刚度和传递系数的定义：比较可见：剪力静定杆的转动刚度和传递系数与一端固定一端定向滑动约束的杆件相同固端弯矩根据剪力和反弯点位置确定第8章

弯矩分配法8.4无剪力分配法【例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。【解】⑴利用对称性取半结构⑵计算分配系数：⑶计算固端弯矩：剪力静定杆分配传递结点杆端ABCABBABDBCCBCEEC/DB杆端略第8章

弯矩分配法8.4无剪力分配法【例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。分配传递结点杆端ABCABBABDBCCBCEEC/DB杆端略M图(kNm)第8章

弯矩分配法8.4无剪力分配法2023/9/9弯矩分配法与位移法联合应用【例】原结构基本结构Z1Mp图M1图既承受外荷载又发生Z1基本结构只承受外荷载基本结构只发生Z1=1Mp图和M1图均可利用弯矩分配法计算，计算过程略。从而，可求出和。由得最终弯矩Mp计算：一般荷载作用下的弯矩分配法M1计算：支座位移情况下的弯矩分配法利用哪个隔离体？哪个平衡条件？第8章

弯矩分配法8.5剪力分配法柱顶有水平荷载作用的铰结排架

侧移刚度（ki）及柱顶发生水平位移Δ时，各柱顶的剪力：FEI1EI2EI3