中考模拟好题汇编第7讲 不等式小题（解析版）

文档来源网络侵权联系删除PAGEPAGE1仅供参考第7讲不等式小题一、单选题1．（2021·全国高三专题练习（理））已知正数是关于的方程的两根，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，正数是关于的方程的两根，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，经检验知当时，方程有两个正实数解.所以的最小值为.故选：C.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．（2021·全国高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且满足当时，，若对任意，成立，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数的奇偶性和题设条件，求得，再根据，画出函数图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，，即，又由当时，，可画出函数图象，如图所示.由图知，当时，；则当时，；当时，令，解得(舍去)，若对任意，成立，所以的最大值为.故选：B.3．（2021·广东汕头市·高三一模）已知，，且，则的最小值为（）A．6 B．8 C． D．【答案】B【分析】由，得到，则，再利用基本不等式求解.【详解】因为所以所以，当且仅当，即取等号所以的最小值为8故选：B【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．（2021·江苏苏州市·南京师大苏州实验学校高一月考）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A．18 B．24 C．36 D．48【答案】C【分析】以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆方程设，写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值．【详解】骑行过程中，相对不动，只有点绕点作圆周运动．如图，以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意，，，圆方程为，设，则，，，易知当时，取得最大值36．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值．5．（2021·浙江高三专题练习）是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用指数函数的性质分别判断充分性和必要性.【详解】若，则，故充分性成立；若，如，则，故必要性不成立，故是的充分不必要条件.故选：A.6．（2021·广东广州市·高三一模）已知是自然对数的底数，设，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.【详解】设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，时，，即，设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，即，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，得：，那么，即，即，综上可知.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小.7．（2021·全国高三专题练习（文））命题：是命题：的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】解一元二次不等式，利用充分条件、必要条件即可判断.【详解】，所以，反之.故是的必要不充分条件.故选：B8．（2021·全国高三专题练习）已知函数，若，，，则，，的大小关系正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出函数的定义域，判断函数为偶函数，再对函数求导判断出函数在上单调递增，然后作差比较的大小，可得，从而可比较出，，的大小【详解】由题可知：的定义域为，且，则为偶函数，，当时，，在上单调递增.又由所以，，故.故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查利用函数的单调性比较大小，考查导数的应用，考查对数运算性质的应用，考查了基本不等式的应用，解题的关键是判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，然后利用单调性比较大小，属于中档题9．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据得到函数关于直线对称，对任意均有成立得函数在上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案.【详解】因为函数满足，所以函数关于直线对称，因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.由对称性可知在上单调递增.因为，即，所以，即，解得.故选：D.【点睛】本题考查函数对称性和单调性的应用，解题的关键是得出关于直线对称，在上单调递减.10．（2021·江苏常州市·高三一模）若则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】按或0，，和四种情况，分别化简解出不等式，可得x的取值范围．【详解】①当或0时，成立；②当时，，可有，解得；③当且时，若，则，解得若，则，解得所以则原不等式的解为，故选：B11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高二月考（文））“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据定义分别判断充分性和必要性即可.【详解】充分性：若，则，则，故充分性成立；必要性：若，则可能，此时无意义，故必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件.故选：A.12．（2021·湖南衡阳市·高三一模）设，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得且，然后结合基本不等式与中间值1比较，用不等式的性质比较大小可得．【详解】易知：,，，，显然成立.所以．故选：C．二、多选题13．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项．【详解】易知是上的增函数，时，成立，成立，BD一定成立；与的大小关系不确定，A不一定成立；同样与的大小关系也不确定，如时，，C也不一定成立．故选：BD．14．（2021·江苏常州市·高三一模）已知正数，满足，则（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令，根据指对互化和换底公式得：，再依次讨论各选项即可.【详解】由题意，可令，由指对互化得：，由换底公式得：，则有，故选项B错误；对于选项A，，所以，又，所以，所以，故选项A正确；对于选项C､D，因为，所以，所以，所以，则，则，所以选项C正确，选项D错误；故选：AC.【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令，进而得，再根据题意求解.15．（2021·江苏盐城市·）回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数.若正整数i与n满足且，在上任取一个正整数取得回文数的概率记为，在上任取一个正整数取得回文数的概率记为，则（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】分别计算和时的，即可判断选项A，分别计算和，比较大小即可判断选项B，C；分别计算和时结合不等式放缩即可判断选项D【详解】对于选项A：在中的正整数都是位的，一共有个，若，则回文数的个数是个，若，则回文数的个数是个，所以，所以，故选项A不正确；对于选项D：当时，，当时，，故选项D正确；由的定义：，当时，由可得，，，又因为，所以，当时，由可得，，，由以上可知，所以，所以，故选项B正确，选项C不正确，故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是读懂回文数的定义，回文数前几位确定可以决定后几位，以此可计算区间内的回文数的个数及概率.16．（2021·江苏高三专题练习）已知，且，则（）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由对数函数性质可知，为单调减函数，可判定A正确；由基本不等式，可判定B错误；由指数函数和幂函数性质，可判定C错误；令的单调性，可判定D正确．【详解】对于A中，由，且，可得，，由对数函数性质可知，为单调减函数，因为，，，所以，所以A正确；对于B中，由，，可得，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以B错误；对于C中，由，，因为指数函数性质可知，都是单调递减函数，，所以，所以C正确；对于D中，令，是单调递增函数，因为，所以D正确．故选：ACD．17．（2021·全国高三专题练习（文））设数列满足，对恒成立，则下列说法正确的是（）．A． B．是递增数列C． D．【答案】ABD【分析】设，求出导数，可得在上为单调递增函数，得出，即，由此可依次判断各个选项.【详解】由，，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以，即，则，故A正确；由在上为单调递增函数，，所以是递增数列，故B正确；∵，所以，故C错误；因此，，故D正确．故选：ABD．【点睛】关键点睛：本题考查数列单调性的应用，解题的关键是构造函数，利用导数求出单调性得出.18．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）若，则使成立的充要条件是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用不等式的基本性质和充要条件的定义判断.【详解】，B选项正确；则一定不成立，C选项错误；，D选项正确.故选：ABD19．（2021·河北张家口市·高三一模）已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】对于A，由已知条件可得，再由指数函数的性质可得，然后给不等式两边开平方可得结果；对于B，对化简可得，两边开方可得结果；对于C，由于，化简后可得结果；对于D，由基本不等式可得，再结合已知条件可得，从而可判断D，【详解】对于A，因为，且，所以，所以，所以，故A正确；对于B，，所以，当且仅当，即时取等号，故，故B正确；对于C，，当且仅当，即时取等号，故，得，故C正确；对于D，已知，且，所以，即，则，当且仅当，即时取等号，故D错误．故选：ABC．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方20．（2021·全国高三专题练习）已知，，设，，则下列说法正确的是（）A．M有最小值，最小值为1 B．M有最大值，最大值为C．N没有最小值 D．N有最大值，最大值为【答案】BC【分析】令，得，，利用的情况即可说明.【详解】令，，，当且仅当，即时等号成立，，故M有最大值，故B正确，没有最大值，故M没有最小值，故A错误；同理，故D错误，没有最小值，故C正确.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是变换形式，将转化为关于的式子求解.三、填空题21．（2021·全国高三专题练习（文））拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知内接于单位圆，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，.若，则的面积最大值为_______.【答案】【分析】设，求出，从而可得，在中，设，由正弦定理用表示出，这样就表示为的函数，然后由降幂公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值，从而得面积最大值．【详解】解：设，由题意以边向外作等边三角形，其外接圆圆心分别为，连接并延长分别交于，则，同理，都是等边三角形，则，又，则，所以，是正三角形，所以其面积为，内接于单位圆，即其外接圆半径为，则，同理，设，则，，，，所以当时，取得最大值，所以的面积最大值为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数在几何中的应用，解题关键是设设，用表示出（说明即可得），等边面积就可能用表示