安徽省安庆市桐城中学高二上学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年安徽省安庆市桐城中学高二（上)期中数学试卷一.选择题(共12题，每题5分）1．已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z｝，若A∩B≠∅，则a等于(）A．2 B．3 C．2或4 D．2或32．已知f（x）=+ax，若f（ln3）=2，则f(ln）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n则α∥β;③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．其中正确命题的序号是()A．①③ B．②③ C．③④ D．①④4．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，］ B．［,3］ C．［﹣1，］ D．[，3］5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是,则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=76．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63。6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72。0万元7．已知在数轴上0和3之间任取一实数x，则使“log2x＜1”的概率为（）A． B． C． D．8．在斜△ABC中,角A，B，C所对的边长分别为a，b,c,A=，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1,则a的值为（）A．2 B． C． D．9．已知数列｛an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A． B． C．10 D．2010．下列命题正确的是(）A．已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R,均有x2﹣1＞0"C．函数的零点在区间内D．设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β11．若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0,tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．12．直线=1与椭圆=1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB面积为2,这样的点P共有(）个．A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题（共4题，每题5分)13．设p:｜4x﹣3|≤1；q：（x﹣a）(x﹣a﹣1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．数列｛an｝满足a1=2，且an+1﹣an=2n（n∈N*），则数列的前10项和为．15．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点,且=（+），=（+），则|｜+||．16．过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A,B两点,若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为．三。解答题（17题10分,其余每题12分）17．（10分）已知命题p：∀x∈[0，1］，使恒成立，命题，使函数有零点，若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2,AC=，BC=3，M,N分别为B1C1、AA1的中点．(1）求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；（2)求证：MN∥平面ABC1,并求M到平面ABC1的距离．19．(12分）某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元）之间有下列对应数据x24568y3040605070回归方程为=bx+a,其中b=,a=﹣b．（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；(2）根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程=bx+a；（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．20．（12分）已知向量=（cos，﹣1），=(sin,cos2），函数f（x）=•+1．(1）若x∈[0,］,f（x）=，求cosx的值；（2)在△ABC中，角A，B,C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c﹣a，求角B的取值范围．21．（12分)已知曲线E上任意一点P到两个定点和的距离之和为4，（1）求动点P的方程；（2）设过(0，﹣2）的直线l与曲线E交于C、D两点,且（O为坐标原点），求直线l的方程．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设=λ．（1）若点P的坐标为(1,）,且△PQF2的周长为8,求椭圆C的方程；（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．

2016—2017学年安徽省安庆市桐城中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一。选择题（共12题，每题5分）1．已知集合A=｛1,a}，B=｛x｜x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠∅，则a等于（）A．2 B．3 C．2或4 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B,进而根据A∩B≠∅,可得b值．【解答】解：∵B={x｜x2﹣5x+4＜0,x∈Z}={2，3}，集合A=｛1，a｝，若A∩B≠∅，则a=2或a=3，故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．已知f（x)=+ax，若f（ln3）=2，则f(ln）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数的解析式求出f（x)+f（﹣x）的值，然后求解f（ln）．【解答】解：因为，所以．∵，∴．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用，函数值的求法，考查计算能力．3．设m，n是不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题:①若m⊥α,n⊥α，则m∥n；②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ④若γ⊥α,γ⊥β，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明．【解答】解：①由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确．②设三棱柱的三个侧面分别为α，β,γ，其中两条侧棱为m，n，显然m∥n,但α与β不平行，故②错误．③∵α∥β∥γ，∴当m⊥α时,m⊥γ,故③正确．④当三个平面α，β,γ两两垂直时,显然结论不成立，故④错误．故选：A．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．4．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（)A．［，］ B．[,3］ C．［﹣1,］ D．[，3］【考点】函数与方程的综合运用．【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围,曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．【解答】解:曲线方程可化简为(x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2,3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心(2，3）到直线y=x+b距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3)时，解得b=3,故，故选D．【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．5．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7【考点】程序框图．【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值,利用裂项相消法易得答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．∴a=4,故选A．【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9。4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元 B．65。5万元 C．67.7万元 D．72。0万元【考点】线性回归方程．【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程,把自变量为6代入，预报出结果．【解答】解:∵=3.5，=42,∵数据的样本中心点在线性回归直线上,回归方程中的为9。4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9。1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9。4×6+9.1=65.5，故选:B．【点评】本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题,这个原题在2011年山东卷第八题出现．7．已知在数轴上0和3之间任取一实数x，则使“log2x＜1”的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】以长度为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由log2x＜1,得0＜x＜2，区间长为2，区间［0，3]长度为3,所以所求概率为．故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,根据对数的性质是解决本题的关键．8．在斜△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c,A=，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A．2 B． C． D．【考点】正弦定理．【分析】由sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，利用和差公式、倍角公式展开可得sinB=2sinC，利用正弦定理可得b=2c．再利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解:在斜△ABC中，∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC﹣cosBsinC=2sin2C,∴2sinBcosC=4sinCcosC∵cosC≠0，∴sinB=2sinC，∴b=2c．∵A=，∴由余弦定理可得：a2=（2c)2+c2﹣2×2c2cos=5c2．∵△ABC的面积为1,∴bcsinA=1，∴××sin=1，解得c2=1．则a=．故选：B．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、倍角公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知数列｛an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d,若﹣=100，则d的值为（）A． B． C．10 D．20【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{an｝可得:=d=n+为等差数列，即可得出．【解答】解:由等差数列｛an}可得：=d=n+为等差数列,∵﹣=100，∴+﹣=100，∴10d=1，解得d=．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．下列命题正确的是（）A．已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0"C．函数的零点在区间内D．设m，n是两条直线,α,β是空间中两个平面,若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由充分必要条件的判定方法判断A;写出特称命题的否定判断B；由函数零点判定定理判断C；利用空间中的线面关系判断D．【解答】解：已知实数a，b，由a＞b，不一定有a2＞b2，反之由a2＞b2,不一定有a＞b，则“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故A错误；“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R,均有x2﹣1≥0”,故B错误；∵函数与y=均为实数集上的增函数，∴函数为实数集上的真数,又，,∴函数的零点在区间内，故C正确；设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n,则α与β相交或α∥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了函数零点判定定理，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．11．若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0,tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据向量、的数量积为零，可得△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．Rt△PF1F2中，根据正切的定义及，可设PF2=t，PF1=2t,由勾股定理，得出．利用椭圆的定义得到2a=PF1+PF2=3t,最后由椭圆离心率的定义可得此椭圆的离心率．【解答】解：∵∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PF1F2中，，∴=,设PF2=t,则PF1=2t∴=2c，又∵根据椭圆的定义,得2a=PF1+PF2=3t∴此椭圆的离心率为e====故选A【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率,着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质,属于基础题．12．直线=1与椭圆=1相交于A,B两点，该椭圆上点P使得△PAB面积为2，这样的点P共有(）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：，求得A和B点坐标，求得丨AB丨=5，△PAB面积S=•丨AB丨•d=2，解得：d=，设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切，代入椭圆方程，由△=0，即可求得m的值，根据点到直线的距离公式可知：这样到直线AB的距离为的直线有两条,这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个．【解答】解：由题意可知：，解得：或,设A(4,0），B（0，3）,由条件可知:若点P到直线AB的距离为d，那么△PAB面积S=•丨AB丨•d=2，解得：d=,设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切，∴，整理得：18x2+6mx+m2﹣16×9=0，由△=0，即36m2﹣4×18（m2﹣16×9)=0，整理得：m2=288,解得：m=±12，∴切线方程l1:3x+4y+12=0,切线方程l2:3x+4y﹣12=0，由直线l1与直线=1的距离d1==(+1）＞，同理直线l2与直线=1的距离d2==（﹣1）＞，∴这样到直线AB的距离为的直线有两条,这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点,共4个,故选D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查计算能力,属于中档题,二.填空题（共4题，每题5分）13．设p：｜4x﹣3|≤1;q：(x﹣a)（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解绝对值不等式｜4x﹣3｜≤1,我们可以求出满足命题p的x的取值范围，解二次不等式（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，我们可求出满足命题q的x的取值范围，根据p是q的充分不必要条件，结合充要条件的定义，我们可以构造关于a的不等式组,解不等式组即可得到实数a的取值范围．【解答】解：命题p：|4x﹣3|≤1，即≤x≤1命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，即a≤x≤a+1∵p是q的充分不必要条件，∴解得0≤a≤故答案为：【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断,其中分别求出满足命题p和命题q的x的取值范围，是解答本题的关键．14．数列{an}满足a1=2,且an+1﹣an=2n（n∈N*)，则数列的前10项和为．【考点】数列的求和．【分析】由a1=2,且an+1﹣an=2n,利用“累加求和"方法可得an,再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a1=2，且an+1﹣an=2n,∴n≥2时,an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2)+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n,当n=1时也成立，∴an=2n．∴=．∴数列的前10项和==．故答案为：．【点评】本题考查了“累加求和”方法、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点,A为椭圆上一点，且=(+），=（+），则||+｜|6．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a=6，运用椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，由向量的中点表示形式，可得B为AF1的中点,C为AF2的中点,运用中位线定理和椭圆定义，即可得到所求值．【解答】解：椭圆=1的a=6，由椭圆的定义可得|AF1｜+｜AF2|=2a=12,=（+)，可得B为AF1的中点，=（+）,可得C为AF2的中点，由中位线定理可得｜OB｜=｜AF2|,|OC｜=｜AF1|，即有｜|+｜｜=（｜AF1|+｜AF2｜）=a=6，故答案为：6．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查向量的中点表示形式，同时考查中位线定理，运用椭圆的第一定义是解题的关键，属于中档题．16．过点M(1,2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为8x+25y﹣58=0．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用“点差法"、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解答】解:设A（x1，y1），B(x2，y2），则16x12+25y12=400，16x22+25y22=400,∴16（x1+x2）（x1﹣x2)+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0．∵M（1，2）恰为线段AB的中点，∴32（x1﹣x2）+100（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率为﹣，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣(x﹣1），即8x+25y﹣58=0．故答案为8x+25y﹣58=0．【点评】本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式,属于中档题．三.解答题（17题10分，其余每题12分）17．(10分）(2016秋•桐城市校级期中)已知命题p：∀x∈［0,1］，使恒成立，命题,使函数有零点，若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：当x∈［0，1］时，，要使恒成立,需满足m≤．命题q：，当时,,，要使，函数有零点,即可得出m的取值范围．因为命题“p∧q”为真命题,所以p真，q真，进而得出．【解答】解：命题p:当x∈[0，1］时，，要使恒成立，需满足m≤1；命题q：，当时，，，要使,函数有零点，需满足0≤m≤2，因为命题“p∧q”为真命题，所以p真，q真，所以0≤m≤1．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分)（2016秋•桐城市校级期中）如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=，BC=3，M，N分别为B1C1、AA1的中点．（1）求证:平面ABC1⊥平面AA1C1C；(2）求证:MN∥平面ABC1，并求M到平面ABC1的距离．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证直线AB⊥平面AA1C1C，再根据面面垂直的判定定理,证得平面ABC1⊥平面AA1C1C．（2）根据面面平行的判定定理，先证平面MND∥平面ABC1，再根据面面平行的性质定理，得出MN∥平面ABC1，求M到平面ABC1的距离，则根据性质，等价转化为求N到平面ABC1的距离．作出点N作出平面ABC1的垂线，并根据相似求出垂线段的长度．【解答】证明：（1)∵AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,又三棱柱中,有AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AB，又AC∩AA1=A,∴AB⊥平面AA1C1C，∵AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面AA1C1C．（2）取BB1中点D，∵M为B1C1中点，∴MD∥BC1（中位线），又∵N为AA1中点，四边形ABB1A1为平行四边形，∴DN∥AB（中位线）,又MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC1．∵MN⊂平面MND，∴MN∥平面ABC1．∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离．过N作NH⊥AC1于H，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，∴NH⊥平面ABC1，又根据△ANH∽△AC1A1∴．∴点M到平面ABC1的距离为．【点评】考查空间中点、线、面位置关系的判断及证明，点面距离的求法（几何法、等积法、向量法等），属于中档题．19．(12分)（2016秋•桐城市校级期中)某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元）之间有下列对应数据x24568y3040605070回归方程为=bx+a，其中b=，a=﹣b．（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；（2)根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程=bx+a；（3)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．【考点】线性回归方程．【分析】（1)散点图如图：由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．(2）先求出、的值，可得和的值,从而求得和，的值，从而求得线性回归方程．（3）在回归方程中，令y=115，求得x的值，可得结论．【解答】解：（1）散点图如图：由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．（2）∵，，∴=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，=22+42+52+62+82=145，∴==6.5，=50﹣6。5×5=17。5，∴线性回归方程为y=6.5x+17.5．（3）令y=115，可得6。5×x+17。5=115，求得x=15，故预测销售额为115万元时,大约需要15万元广告费．【点评】本题主要考查线性回归问题,求回归直线的方程，以及回归方程的应用，属于中档题．20．已知向量=（cos，﹣1）,=(sin，cos2），函数f（x）=•+1．(1）若x∈［0,]，f（x）=，求cosx的值；(2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b,c，且满足2bcosA≤2c﹣a，求角B的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1)进行数量积的坐标运算,并根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式化简便可得出,由f（x)=便可得到,进而求出，根据cosx=即可求出cosx的值;（2)根据正弦定理便可由2bcosA≤2c﹣a得出，而sinC=sin（A+B），带入化简即可得出cosB≥，从而求出B的取值范围．【解答】解：(1）=+1===;∵，∴；又，∴；∴；∴===；（2）根据正弦定理,;∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，带入得:；∴；∴;∴；∴；∴；即角B的取值范围为（0,］．【点评】考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角和差的正余弦公式，以及正弦定理，并熟悉余弦函数的图象．21．(12分）（2012•密云县一模）已知曲线E上任意一点P到两个定点和的距离之和为4，（1）求动点P的方程；（2）设过(0，﹣2）的直线l与曲线E交于C、D两点，且（O为坐标原点）,求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义．【分析】(1)根据题中条件：“距离之和为4”结合椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，从而即可写出动点M的轨迹方程；（2）先考虑当直线l的斜率不存在时,不满足题意，再考虑当直线l的斜率存在时，设直线l的方