补上一课指对同构对数与指数均值不等式（课件）《》高考数学一轮复习（湘教版）第二章函数

第三章一元函数的导数及其应用INNOVATIVEDESIGN补上一课指对同构、对数与指数均值不等式内容索引分层精练巩固提升题型一同源函数的构造

则m≤－2x3＋3x2－x在[1，10]上恒成立.设F(x)＝－2x3＋3x2－x(x∈[1，10])，当x∈[1，10]时，F′(x)＜0，所以F(x)在[1，10]上单调递减，所以F(x)min＝F(10)＝－2×103＋3×102－10＝－1710，所以m≤－1710.故实数m的取值范围为(－∞，－1710].此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.感悟提升

训练1已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，对于函数图象上任意不同的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直线AB的斜率为k，若x1＋x2＋k＞0恒成立，求a的取值范围.不妨设x1＞x2＞0，则(x1＋x2)(x1－x2)＋f(x1)－f(x2)＞0，

设g(x)＝f(x)＋x2＝lnx＋x2－ax＋1，由已知，当x1＞x2＞0时，不等式g(x1)＞g(x2)恒成立，则g(x)在(0，＋∞)上是增函数.所以当x＞0时，g′(x)≥0，即2x2－ax＋1≥0，题型二指对同构例2(2022·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ex－x和g(x)＝x－lnx.证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.证明f(x)＝ex－x，g(x)＝x－lnx，则f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝g(x)min＝1.当直线y＝b与曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同交点时，如图，设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则f(x1)＝f(x2)＝g(x2)＝g(x3)＝b.∵f(x)＝ex－x，g(x)＝x－lnx＝elnx－lnx＝f(lnx)，∴f(x1)＝f(x2)＝f(lnx2)＝f(lnx3).由于x2≠x1，x2≠lnx2，∴x2＝lnx3，x1＝lnx2，则f(lnx2)＝elnx2－lnx2＝x2－lnx2＝x2－x1＝b，f(lnx3)＝elnx3－lnx3＝x3－lnx3＝x3－x2＝b，上述两式相减得x1＋x3＝2x2，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.指对同构的关键是利用指数、对数恒等式将所给关系式凑配成同源函数.感悟提升

训练2(2020·新高考全国Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna，若f(x)≥1，求a的取值范围.解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1，等价于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx.令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(lna＋x－1)≥g(lnx).显然g(x)为单调增函数，所以又等价于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1.令h(x)＝lnx－x＋1，

当x∈(0，1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝0，所以lna≥0，即a≥1，所以a的取值范围是[1，＋∞).题型三指数、对数均值不等式解f(x)的定义域为(0，＋∞)，①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.②若a＞2，令f′(x)＝0，

当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)＜0；当x∈(x1，x2)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增.证明法一由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1.

法二由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1.

又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0.关键是凑配出利用对数均值不等式的形式.感悟提升训练3(1)若函数f(x)＝lnx－ax有两个不同的零点x1，x2，证明：x1x2＞e2.证明借助a作为媒介，构造对数均值不等式.依题意，lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0.两式相减，得lnx1－lnx2＝a(x1－x2)，两式相加，得lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2).故欲证x1x2＞e2，即证lnx1＋lnx2＞2，即证a(x1＋x2)＞2，由对数均值不等式知上式显然成立.综上，x1x2＞e2成立.

证明先证对数均值不等式

当x＞1时，h′(x)＜0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递减，h(x)＜h(1)＝0，从而不等式成立.

所以对任意的n∈N*，利用切线放缩法解决不等式问题微点突破一、用切线放缩法求参数值例1已知f(x)＝ex－ax－1(a＞0)，若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的值.解由切线放缩法可知ex≥x＋1，当且仅当x＝0时等号成立，所以f(x)≥x＋1－ax－1＝(1－a)x，要使f(x)≥0，则只需(1－a)x≥0对任意x∈R恒成立，所以1－a＝0，即a＝1.可验证当a＝1时，f(x)≥0恒成立.所以eln(ax)－x＋1＝ln(ax)－x＋2，令t＝ln(ax)－x＋1，则et＝t＋1，由切线放缩法得et≥t＋1，当且仅当t＝0时等号成立，因为et＝t＋1，所以t＝0，即ln(ax)－x＋1＝0有解，所以ln(ax)＝x－1，即lna＋lnx＝x－1，因为曲线y＝lnx在x＝1处的切线方程为y＝x－1，所以当a＝1，即lna＝0时，直线y＝x－1与曲线y＝lnx有一个交点，即方程ln(ax)－x＋1＝0有一个解，结合图象可知，当a＞1时，直线y＝x－1与曲线y＝lna＋lnx有两个交点，即方程ln(ax)－x＋1＝0有两个解，所以a≥1.因为y＝ex－1在x＝1处的切线方程为y＝x，因此用切线放缩法可得不等式ex－1≥x，当且仅当x＝1时取等号，所以得ex－1－lnx－1≥x－lnx－1，当且仅当x＝1时取等号.设g(x)＝x－lnx－1，当0＜x＜1时，g′(x)＜0，所以g(x)单调递减；当x＞1时，g′(x)＞0，所以g(x)单调递增.所以x＝1是g(x)的最小值点.故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0.因为函数y＝ex＋1在x＝－1处的切线方程为y＝x＋2，因此用切线放缩法可得不等式ex＋1≥x＋2，当且仅当x＝－1时取等号，所以ax2＋x－1＋ex＋1≥ax2＋x－1＋x＋2＝ax2＋2x＋1，当且仅当x＝－1时取等号.又因为a≥1，所以ax2＋2x＋1≥x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，当且仅当x＝－1取等号.故当a≥1时，有f(x)＋e≥0.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升1.若不等式xex－a≥lnx＋x－1恒成立，求实数a的取值范围.解∵xex－a≥lnx＋x－1，∴elnx＋x－a≥lnx＋x－1，令t＝lnx＋x，则et－a≥t－1恒成立，则a≤et－t＋1恒成立，令φ(t)＝et－t＋1，∴φ′(t)＝et－1，当t∈(－∞，0)时，φ′(t)＜0；当t∈(0，＋∞)时，φ′(t)＞0，∴φ(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(t)min＝φ(0)＝2，∴所求a的取值范围是(－∞，2].【A级

基础巩固】2.(2023·常德模拟改编)已知函数f(x)＝xex－x.证明：当x＞0时，f(x)－lnx≥1.证明要证f(x)－lnx≥1，即证xex－x－lnx