三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质一、选择题1．已知函数y＝tanωx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))内是减函数，则()A．0＜ω≤1B．－1≤ω＜0C．ω≥1D．解析：根据已知条件：ω<0，且|ω|≤1，因此－1≤ω＜0.答案：B2．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]上的最小值是－2，则ω的最小值等于()\f(2,3)\f(3,2)C．2D．3解析：∵ω>0，－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(ωπ,3)≤ωx≤eq\f(ωπ,4)，由已知条件－eq\f(ωπ,3)≤－eq\f(π,2)，∴ω≥eq\f(3,2).答案：B3．函数y＝sin2x的图象，向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象恰好关于x＝eq\f(π,6)对称，则φ的最小值为()\f(5,12)π\f(11,6)π\f(11,12)πD．以上都不对解析：y＝sin2x的图象向右平移φ个单位得到y＝sin2(x－φ)的图象，又关于x＝eq\f(π,6)对称，则2(eq\f(π,6)－φ)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z),2φ＝－kπ－eq\f(π,6)，取k＝－1，得φ＝eq\f(5,12)π.答案：A4．函数f(x)＝sinx－eq\r(3)cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A．[－π，－eq\f(5π,6)]B．[－eq\f(5π,6)，－eq\f(π,6)]C．[－eq\f(π,3)，0]D．[－eq\f(π,6)，0]解析：f(x)＝sinx－eq\r(3)cosx＝2sin(x－eq\f(π,3))∵－π≤x≤0，∴－eq\f(4π,3)≤x－eq\f(π,3)≤－eq\f(π,3)，当－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,3)≤－eq\f(π,3)时，即－eq\f(π,6)≤x≤0时，f(x)递增．答案：D二、填空题5．函数y＝sinx＋eq\r(3)cosx在区间[0，eq\f(π,2)]上的最小值为______________．解析：本题考查三角函数的最值．则y＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2(eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx)＝2sin(x＋eq\f(π,3))，由x∈[0，eq\f(π,2)]，∴eq\f(π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(5π,6)，∴y≥2sineq\f(5π,6)＝1，∴y的最小值为1.答案：16.函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx0≤x＜π，,－sinxπ≤x≤2π.))在同一坐标系中，作出函数f(x)与y＝k的图象可知1＜k＜3.答案：(1,3)7．函数f(x)＝3sin(2x－eq\f(π,3))的图象为C，①图象C关于直线x＝eq\f(11π,12)对称；②函数f(x)在区间(－eq\f(π,12)，eq\f(5π,12))内是增函数；③由y＝3sin2x的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度可以得到图象C.以上三个论断中，正确论断的个数是________．解析：其中①②两个论断正确．答案：2三、解答题8．设函数f(x)＝a·(b＋c)，其中向量a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)将函数y＝f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.解答：∵a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，f(x)＝a·(b＋c)＝(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)＝sin2x－sinxcosx－sinxcosx＋3cos2x＝eq\f(1－cos2x,2)－sin2x＋eq\f(3,2)(1＋cos2x)＝cos2x－sin2x＋2＝eq\r(2)cos(2x＋eq\f(π,4))＋2.(1)函数f(x)的最大值为2＋eq\r(2)，最小正周期为π.(2)d＝(－eq\f(π,8)，－2)．将y＝f(x)的图象按向量d平移得的图象对应的函数解析式为y＝－eq\r(2)sin2x.9．已知函数f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．(1)求φ；(2)计算f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)．解答：(1)由已知A＝2，eq\f(π,2ω)＝2，∴ω＝eq\f(π,4)，又f(1)＝2，即2sin2(eq\f(π,4)＋φ)＝2，∴sin2(eq\f(π,4)＋φ)＝1，∴φ＝eq\f(π,4).(2)由(1)知f(x)＝2sin2(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,4))＝1－cos(eq\f(π,2)x＋eq\f(π,2))＝1＋sin(eq\f(π,2)x)．∴f(1)＝2，f(2)＝1，f(3)＝0，f(4)＝1，……又f(x)的周期为4，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝2008.10．如下图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中0≤φ≤eq\f(π,2))的图象与y轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)设P是图象上的最高点,M、N是图象与x轴的交点，求与的夹角.解答：(1)由已知：2sinφ＝1，即sinφ＝eq\f(1,2)，又0≤φ≤eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，因此y＝2sin(πx＋eq\f(π,6))．(2)令2sin(πx＋eq\f(π,6))＝0，则πx＋eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，即x＝k－eq\f(1,6)，k∈Z.当k＝1时，x＝eq\f(5,6)，则N(eq\f(5,6)，0)；当k＝0时，x＝－eq\f(1,6)，则M(－eq\f(1,6)，0)．又P(eq\f(1,3)，2)，－*8]＝(－eq\f(1,2)，－2)，eq\o(PN,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，－2)，eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，－2)．∴eq\o(PN,\s\up6(→))与eq\o(PN,\s\up6(→))的夹角为arccoseq\f(15,17).1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(eq\f(x,2)＋eq\f(3π,2))(x∈[0,2π])的图象和直线y＝eq\f(1,2)的交点个数是()A．0B．1C解析：本小题主要考查三角函数图象的性质问题．原函数可化为：y＝cos(eq\f(x,2)＋eq\f(3π,2))(x∈[0,2π])＝sineq\f(x,2)，x∈[0,2π]．作出原函数图象，截取x∈[0,2π]部分，其与直线y＝eq\f(1,2)的交点个数是2个．答案：C2．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；(3)证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)的图象不相切．解答：(1)令2×eq\f(π,8)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，又－π<φ<0，则－eq\f(5,4)<k<－eq\f(1,4)，k∈Z，∴k＝－1，则φ＝－eq\f(3π,4).(2)由(1)得：f(x)＝sin(2x－eq\f(3π,4))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(3π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可解得：eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f