三角函数应用举例

2022届原创高考数学一轮复习材料——精讲细练（学案版）三角函数与解三角形7．三角函数应用举例学前热身xOyPAAUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海理））海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线xOyPA援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?【解析】(1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程中,得P的纵坐标yP=3，由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为.由,整理得因为,当且仅当=1时等号成立,所以,即.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船2．(2022年高考上海卷理科6)在相距2千米的．两点处测量目标，若，则．两点之间的距离是千米。【答案】【解析】如图所示，∠C=45°，由正弦定理得，∴AC==.3．（2022济南一中模拟）如图所示，路边一树干被台风吹断，树干顶部与地面成45°角，树干底部与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()\f(20\r(6),3)米B．10eq\r(6)米\f(10\r(6),3)米D．20eq\r(2)米【答案】A；【解析】如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理，得eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，所以AO＝eq\f(20\r(6),3)米，故选A.4．（2022揭阳模拟）如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m\f(25\r(2),2)m【答案】A；【解析】由题意知∠ABC＝30°由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．5．（2022大连部分中学联考）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．【答案】10eq\r(6)【解析】在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∴∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，∴BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2).在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，∴AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(米)．知识精讲1、分析：审题、理解题意，分清已知与未知，根据题意画出示意图；2、建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素。把已知量与求解量集中在一个三角形中；3、求解：运用正弦定理、余弦定理及面积公式等有序地解出这些子三角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解5、解应用题中的几个角的概念（1）仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：（2）方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．（3）方向角：相对于某正方向的水平角。如南偏西等。如图（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．典例细练题型一：距离问题【例题1】（人教A版课本例题改编）如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【解析】在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°∴∠CBD＝45°在△BCD中，由正弦定理可得BC＝eq\f(asin105°,sin45°)＝eq\f(\r(3)＋1,2)a.在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°)＝eq\f(\r(2),2)a.【点评】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解。【训练1】如图，要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距eq\r(3)km的C、D两点，并且测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为________．【解析】△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°∴AC＝CD＝eq\r(3)km在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(eq\r(3))2＋(eq\f(\r(6)＋\r(2),2))2－2·eq\r(3)·eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5∴AB＝eq\r(5)km答：A、B之间的距离为eq\r(5)km.【点评】这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．【训练2】（2022高考陕西卷）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？【解析】由题意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝10eq\r(3)(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝eq\f(30,30)＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．【训练3】甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，则甲船应取什么方向才能追上乙船；追上时甲船行驶了多少海里？【解析】如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC=tv，AC=tv，B=120°，由正弦定理知，∴，∴sin∠CAB=，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，∴BC=AB=a，∴AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°=a2+a2-2a2·=3a2，∴AC=a.【训练4】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．【解析】在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.又∵∠ABC＝15°，在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以AB＝eq\f(ACsin60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)(km)，同理，BD＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)(km)．故B、D的距离为eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)km.题型二：高度问题【例题2】（人教A版课本例题改编）如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.【解析】在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(s·sinβ,sinα＋β)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝eq\f(s·tanθsinβ,sinα＋β).【点评】在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．【训练1】（2022高考江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β(1)该小组已经测得一组α、β的值，算出了tanα＝，tanβ＝，请据此算出H的值．(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？【解析】(1)由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×,－＝124.因此，电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，得tanα＝eq\f(H,d).由AB＝AD－BD＝eq\f(H,tanβ)－eq\f(h,tanβ)，得tanβ＝eq\f(H－h,d)，所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(h,d＋\f(HH－h,d))≤eq\f(h,2\r(HH－h))，当且仅当d＝eq\f(HH－h,d)，即d＝eq\r(HH－h)＝eq\r(125×125－4)＝55eq\r(5)时，上式取等号．所以当d＝55eq\r(5)时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<eq\f(π,2)，所以0<α－β<eq\f(π,2)，所以当d＝55eq\r(5)时，α－β最大．故所求的d是55eq\r(5)m.【训练2】（2022郑州质检）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚eq\f(2,17)秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)【解析】由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－eq\f(2,17)×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝140eq\r(3).答：该仪器的垂直弹射高度CH为140eq\【训练3】（2022台州模拟）如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB为________．【答案】eq\f(3\r(2),2)a【解析】在三角形BCD中，由正弦定理得：eq\f(a,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)⇒BC＝eq\f(\r(6),2)a，在直角三角形ABC中，AB＝BCtan60°＝eq\f(\r(6),2)a×eq\r(3)＝eq\f(3\r(2),2)a.题型三：角度问题【例题3】（2022苏北四市联考）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．【解析】如图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.由题中所给数据可得，DF＝eq\r(MF2＋MD2)＝eq\r(302＋1702)＝10eq\r(298)，DE＝eq\r(DN2＋EN2)＝eq\r(502＋1202)＝130，EF＝eq\r(BE－FC2＋BC2)＝eq\r(902＋1202)＝150.在△DEF中，由余弦定理得，cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2×DE×EF)＝eq\f(1302＋1502－102×298,2×130×150)＝eq\f(16,65).【点评】平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．【训练1】如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．【解析】设∠POB＝θ，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ.∴y＝S△OPC＋S△PCD＝eq\f(1,2)×1×2sinθ＋eq\f(\r(3),4)(5－4cosθ)＝2sin(θ－eq\f(π,3))＋eq\f(5\r(3),4).∴当θ－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(5π,6)时，ymax＝2＋eq\f(5\r(3),4).所以四边形OPDC面积的最大值为2＋eq\f(5\r(3),4).【训练2】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ.【解析】如图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(2\r(7),7)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(21),14).【训练3】甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，则甲船应取什么方向才能追上乙船；追上时甲船行驶了多少海里？【解析】如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC=tv，AC=tv，B=120°，由正弦定理知，∴，∴sin∠CAB=，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，∴BC=AB=a，∴AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°=a2+a2-2a2·=3a2，∴AC=a.题型四：综合应用【例题4】（2022高考福建理科）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2eq\r(3))；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？【解析】方法一：(1)依题意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(T,4)＝3，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,6).∴y＝2eq\r(3)sineq\f(π,6)x.当x＝4时，y＝2eq\r(3)sineq\f(2π,3)＝3，∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝eq\r(42＋32)＝5.(2)如图，连结MP，在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5.设∠PMN＝θ，则0°<θ<60°.由正弦定理得eq\f(MP,sin120°)＝eq\f(NP,sinθ)＝eq\f(MN,sin60°－θ)，∴NP＝eq\f(10\r(3),3)sinθ，MN＝eq\f(10\r(3),3)sin(60°－θ)，∴NP＋MN＝eq\f(10\r(3),3)sinθ＋eq\f(10\r(3),3)sin(60°－θ)＝eq\f(10\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinθ＋\f(\r(3),2)cosθ))＝eq\f(10\r(3),3)sin(θ＋60°)．∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．方法二(1)同方法一．(2)连结MP，在△MNP中，∠MNP＝120°.MP＝5，由余弦定理得，MN2＋NP2－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2.即MN2＋NP2＋MN·NP＝25.故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(MN＋NP,2)))2从而eq\f(3,4)(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤eq\f(10\r(3),3).当且仅当MN＝NP时等号成立．即设计为MN＝NP时，折线段赛道MNP最长．【点评】1解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答.,2三角形应用题常见的类型：,①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；,③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。【训练1】（2022高考福建）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【解析】(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S海里，如图所示．在△AOB中A＝90°－30°＝60°∴S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos60°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300).故当t＝eq\f(1,3)时，Smin＝10eq\r(3)，此时v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3).即小艇以30eq\(2)由题意可知OB＝vt，在△AOB中利用余弦定理得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30tcos60°故v2＝900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)∵0＜v≤30，∴900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)≤900，即eq\f(2,t2)－eq\f(3,t)≤0，解得t≥eq\f(2,3)，又t＝eq\f(2,3)时，v＝30(海里/小时)．故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于eq\f(2,3).此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，