高中数学第二章数列22等差数列新人教A版必修课件

等差数列等差数列1在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？2062相差76在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（2通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。8844.43米(2)28,21.5,15,8.5,2,…,-24.减少6.5…高度(km)温度(℃)1232821.5157-11458.526-4.59-24…通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符3（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062请观察：请问：它们有什么共同特点？（2）28,21.5,15,8.5,2,…,-24（3）1，1，1，1，···.共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项

的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.d=76d=-6.5d=0（1）1682，1758，1834，1910，1986，204它们是等差数列吗？(6)5，5，5，5，5，5，…公差d=0常数列公差d=2x(5)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10×(7)【说明】数列{an}为等差数列

an+1-an=d(n≥1)它们是等差数列吗？(6)5，5，5，5，5，5，…5(3)1，4，7，10，13，16，(),()……你能求出该数列的通项公式吗？…

…思考:根据规律填空?1922(3)1，4，7，10，13，16，(),(6通项公式

a2-a1=da3-a2=dan-an-1=da4-a3=d……a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=a1+(n-1)d……an=a1+(n-1)d等差数列的通项公式当n=1时，等式也成立。

由递推公式：an－an－1=d（d是常数，n≥2，n∈N*）可得:通项公式a2-a1=da3-a2=dan-an-1=7

已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是da2-a1=d……an-an-1=d(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：a3-a2=da4-a3=dan-a1=（n-1）d，（1）（2）（3）（n-1）

方法二

累差迭加法an=a1+（n-1）d即已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是da2-a1=d8

例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项

（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？解：（1）由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=(2)由a1=8,d=－9－(－5)=－4,得到这个数列的通项公式为an=－5－4（n－1）由题意知，问是否存在正整数n，使得－401＝－5－4（n－1）成立解关于n的方程，得n＝100即－401是这个数列的第100项。8+(20-1)×（－3）=-49例题讲解例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项9例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.解：由题意知，a5=10＝a1+4da12=31＝a1+11d解得:a1=-2d=3即等差数列的首项为-2,公差为3点评：利用通项公式转化成首项和公差联立方程求解例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求10例３

梯子的最高一级宽３３cm，最低一级１１０cm，中间还有１０级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度．解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，a1＝３３，a１２＝１１０，n=12.

由通项公式，得a１２＝a1＋（１２－１）d

即１１０＝３３＋１１d

d＝７因此a２＝３３＋７＝４０，a３＝４０＋７＝４７，

a４＝５４，a５＝６１，a６＝６８，

a７＝７５，a８＝８２，a９＝８９，

a１０＝９６a＝１１＝１０３答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是４０cm

，４７cm

，５４cm

，６１cm

，６８cm

，７５cm

，８２cm

，８９cm

，９６cm

，１０３cm例３梯子的最高一级宽３３cm，最低一级１１０cm，中间11求基本量a1和d

：根据已知条件列方程，由此解出a1和d，再代入通项公式。

像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。题后点评

求通项公式的关键步骤：求基本量a1和d：根据已知条件列方程，由此解出a1和d，12(1)已知a4=10,a7=19,求a1与d.在等差数列{an}中，(2)已知a3=9,a9=3,求d与a12.解：(1)由题意知，a4=10＝a1+3da7=19＝a1+6d解得:a1=11d=3即等差数列的首项为1,公差为3(2)由题意知，a3=9＝a1+2da9=3＝a1+8d解得:a1=1d=-1所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0

练一练(1)已知a4=10,a7=19,求a1与d.在等差数列13

我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几何？”古题今解分析：此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3，∴a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60,∴a1=6,a2=9,a3=12,a4=15,a5=18

即为五等诸侯分到橘子的颗数。点评：解等差数列有关问题时转化为