专题2-3零点归类（讲练）

专题2.3零点归类一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】二分法【题型二】幂指对图像基础【题型三】水平线法求零点【题型四】水平线法：对数绝对值型【题型五】水平线法：指数型【题型六】复合二次型零点求参：因式分解型【题型七】复合二次型零点求参：根的分布型【题型八】双函数内外复合求参【题型九】函数自复合内外零点求参【题型十】解析式含参型【题型十一】分段函数定义域分界处含参【题型十二】切线型零点求参【题型十三】切线型折线零点求参【题型十四】类周期型函数零点求参三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、二分法及其应用（1）二分法的概念对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的_零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．（2）用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：①确定零点的初始区间，验证．②求区间的中点c．③计算，并进一步确定零点所在的区间：a．若（此时），则c就是函数的零点．b．若（此时），则令b．c．若（此时，则令a．④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．二、函数零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得_，这个也就是方程的解.三、指数运算公式(a>0且a≠1)：①a＝eq\r(n,am) ②am·an＝am＋n ③am÷an＝am－n ④(am)n＝amn.图象定义域__R_______R___值域____________性质过定点___________，即______0_____时，____0_______减函数增函数指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果，当（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定且．四、对数运算公式(a>0且a≠1，M>0，N>0)(1)指对互化：x＝logbN.(2)对数的运算法则：①loga(MN)＝logaM＋logaN ②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝eq\f(n,m)logaM．(3)对数的性质：①a＝N； ②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(4)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)； ②换底推广：logab＝eq\f(1,logba)，logab·logbc·logcd＝logad.五、图形变换(1)平移变换：上加下减，左加右减(2)对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)； ②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)； ④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．⑤y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．(3)伸缩变换y＝f(ax)②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do5(0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af(x)六、常见图像变换平移变化翻折变换：绝对值内外型对称变换复合变换复合变换：绝对值，平移带系数：系数不为1，类比正弦余弦的系数，提系数平移热点考题归纳【题型一】二分法【典例分析】1.（2023·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出迭代关系为，结合逐项计算可得出结果.【详解】令，则，令，即，可得，迭代关系为，取，则，，故选：D.2.（河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数的零点位于区间内，则整数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.【详解】因为函数与在上均为增函数，所以函数在上为增函数，因为，，，所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.【提分秘籍】二分法的一般步骤（精确度为）（1）确定零点所在区间为，验证；（2）求区间的中点；（3）计算；①若则就是函数的零点；②若，则，令；③若，则，令；（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或），否则重复步骤（2）-（4）.【变式演练】1.已知函数，则下列区间中含零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出、、、的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.【详解】由题意知：，，，.由零点存在定理可知在区间一定有零点.故选：C.2.（辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2022-2023学年）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二分法的定义，验证各选项端点即可.【详解】因为，，且单调递增，即当时，，所以零点在内，故选：A3.（2023·高三阶段测试）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则函数可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断的零点区间，即可求解【详解】对A，的零点为；对B，的零点为；对C，的零点为；对D，的零点为；，，，故零点在之间，再用二分法，取，，，故的零点，由题的零点之差的绝对值不超过，则只有的零点符合；故选：B【题型二】幂指对图像基础【典例分析】1.已知函数，若函数在R上有两个零点，则m的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】当时，有一个零点，只需当时，有一个根，利用“分离参数法”结合函数图像求解即可.【详解】因为函数,当时，令可得，解得，所以在上有一个零点，又函数在R上有两个零点，所以当时，方程有一个根，所以方程在上有一个根，即函数与函数的图象在时有且只有一个交点，作函数的图象如下：观察图象可得，所以，所以m的取值范围是.故选：D.2.（2023·全国·模拟预测）使函数的值域为的一个a的值为．【答案】1（答案不唯一）【分析】由指数函数值域性质求解【详解】令，由题意得的值域为，又的值域为，所以，解得，所以的取值范围为．故答案为：.(答案不唯一)【提分秘籍】函数，：（1）当，时，图象恒过和_两点；其中当时，幂函数图象在图象的下方；当时，幂函数图象在图象的上方．（2）当，时，图象也恒过__和两点；其中当时，幂函数图象在图象的上方；当，幂函数图象在图象的下方．（3）当，时，图象恒过点___．【变式演练】1.（2023·云南·校联考模拟预测）已知，设，则函数的最大值为.【答案】8【分析】由求出的定义域为，然后换元，令，，得，根据二次函数的单调性可求出最大值.【详解】，由得，即的定义域为，令，因为，所以，所以在上为增函数，所以时，.故答案为：.2.（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【分析】分别在和的情况下，结合指数和对数函数单调性可解不等式求得结果.【详解】当，即时，，，解得：（舍）；当，即时，，，解得：，；综上所述：不等式的解集为.故答案为：.3.（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则．【答案】2【分析】根据零点的定义，等价转化为两个函数求交点，根据反函数的定义，结合对称性，可得答案.【详解】由，得，函数与互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称，则，.故答案为：.【题型三】求零点基础方法：水平线法【典例分析】1.已知函数，且，当时，函数存在零点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据条件算出参数，函数存在零点等价于方程有解，即有解，故只需要求在上的值域即可.【详解】由题意得，，则，，令，因为，所以，因此可转化为，，其对称轴为，，，所以在上的值域为．函数存在零点，等价于方程有解，所以实数的取值范围是．故选：B2.（天津市津衡高级中学2022届高三下学期4月月考数学试题）已知函数，若函数有4个零点，则m的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】将问题转化为方程有4个根，当时，可得是方程的根，当时，可得然后画出函数图象，根据图象求解即可【详解】的零点即方程的根，当时，容易验证为方程的根．当时，由，可得画出函数的图象，如图所示．当有4个零点时，直线与函数的图象有3个交点，由图可得或．故选：C【变式演练】1.（湘鄂冀三省益阳平高学校、长沙市平高中学等七校2021-2022学年上学期联考数学试题）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合的单调性画出的图象，结合的零点个数来求得的取值范围.【详解】在上递增，且，当时，，任取，，其中，当时，，递增；当时，，递减；，由此画出的大致图象如下图所示，有三个不同的零点，即与有三个交点，由图可知，的取值范围是.故选：B2.（河南省2021-2022学年上学期阶段性考试（三）数学试题）已知函数函数有三个不同的零点，，，且，则（

）A． B．的取值范围为C．a的取值范围为 D．的取值范围为【答案】D【分析】有三个不同的零点，转化为方程有三个不同的解，然后画出函数的图象和直线，结合图象求解.【详解】有三个不同的零点，即方程有三个不同的解，的图象如图所示，结合图象可得，，，由二次函数的对称性，可得，故的取值范围为，故选：D.【题型四】水平线法：对数绝对值型【典例分析】1.（重庆市璧山来凤中学校九校2023届高三上学期联考模拟（二）数学试题）已知函数，则函数的零点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】解方程可得结果.【详解】当时，由可得，解得（舍去）；当时，由可得，即或，解得或.综上所述，函数的零点个数为.故选：C.2.已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（

）A．B．． D．【答案】D【分析】由函数在在上为单调函数，且当时单调递减，则满足，可得到的范围；再将有三个不同的零点问题转化为函数和有三个交点问题，画出两个函数的图象，可先判断当时存在两个交点，则只需满足时有且仅有一个交点即可，进而求解，综合得到的范围.【详解】由题，因为在上为单调函数，且时，单调递减，所以，解得，在同一坐标系中画出和的图象，如图所示：由图象可知当时，和的图象有两个交点，故只需当时，和的图象有且只有一个交点，当，即，即时，满足题意；当，即时，只需与相切，联立可得，则，解得，综上，的取值范围是故选：D【提分秘籍】对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：_.（2）值域：（3）过定点，即x=_1_时，y=0（4）在_上增函数（4）在上是减函数（5）；（5）；【变式演练】1.（吉林省长春市第五中学2021-2022学年数学试题）已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则下列结论中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.【详解】函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，作出函数的图象，由图象可知，故A正确；由，可得或，结合图象可知，故B错误；根据二次函数的性质和图象得出，所以，故C正确；又，且，所以，即，所以，故D正确.故选：B.2.（福建省德化第一中学2021-2022学年考试数学试题）设函数，若函数在R上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，然后作出函数的图像，利用的图像与的关系判断实数a的取值范围.【详解】由函数在R上有4个不同的零点，可知有4个不同的根，即函数的图像与直线有4个不同的交点，当时，，函数图像如下：数形结合可知，只要，即，就有2个不同的交点，要使函数有4个不同的零点，需当时，有2个不同的交点，即在上有两个不同的根，又，如图：需，解得故实数a的取值范围是故选：D3.已知函数，若函数有四个零点，分别为则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【分析】画出函数的图象，函数有四个零点即为函数的图象与直线有四个交点，不妨令，得到，结合图象得到，结合，求得，即可求解.【详解】由题意，函数的图象，如图所示，函数有四个零点，即函数的图象与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，不妨令，则，可得．当时，函数，且，要使的图象与直线有两个交点，则．令，即，可得，即，所以的取值范围是．故选：B.【题型五】水平线法：指数型【典例分析】1.（黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年考试数学试题）已知函数，若函数g(x)＝f(x)－k有3个零点，则实数k的取值范围为（

）A．(0，＋∞) B．(0，1) C．[1，＋∞) D．[1，2)【答案】B【分析】由题意可知函数f(x)与直线y＝k有3个交点，作出函数f(x)的大致图象，由图象观察即可得出答案．【详解】作出函数f(x)的大致图象，如图所示，要使g(x)＝f(x)－k有3个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有3个交点，由图象可知，0＜k＜1．故选：B．2.（河北省2023届高三上学期11月联考数学试题）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，结合函数的性质及图象即可得出.【详解】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，当时，在上单调递减，；当时，在上单调递增，；当时，在上单调递增，；由与的图象有三个交点，结合函数图象可得，故选：A.【提分秘籍】指数函数图象与性质图象性质（1）定义域：R_（2）值域：（3）过定点__，即x=0时，y=1（4）增函数（4）减函数（5）;（5）;【变式演练】1.函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得，分别作出直线和函数的图象，平移直线即可得到的取值范围．【详解】作出函数的图象，令，可得，画出直线，可得当时，直线和函数的图象有两个交点，则有两个零点．故选：B．2.（陕西省2022届高三下学期教学质量检测（三）理科数学试题）已知函数，若函数有三个不同的零点，，且，则的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据函数零点定义，结合数形结合思想、一元二次方程根与系数关系，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示：令，因为函数有三个不同的零点，所以，因为二次函数的对称轴为，所以有，显然是方程的两个不相等的实数根，因此有，是方程的根，即，所以，于是有，设，设，当时，单调递增，所以有，即单调递减，所以当时，，故选：C3..（陕西省商洛市2021-2022学年数学试题）已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（

）A．a的取值范围是(0,)B．的取值范围是(0,1)C． D．【答案】D【分析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.【详解】有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解．的图象如下图示，由图知：，所以，即的取值范围是(0,＋∞)．由二次函数的对称性得：，因为，即，故．故选：D【题型六】复合二次型函数零点求参数：因式分解型【典例分析】1.（重庆市开州区临江中学2023届高三上学期入学考试数学试题）已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函数有零点转化为方程有实根，令，则方程可转化为常见的一元二次方程，对其分析求解即可.【详解】画出函数的大致图象，如下图所示：函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.故选：A2.（广东省佛山市第一中学2023届高三上学期第三次月考数学试题）已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解为0时的值，可得只有两个零点，再根据分析可得无解，进而求得的取值范围即可.【详解】由题意，即或.因为，易得无解.故只有两个零点.当时，或，解得或有两个零点.故无解.因为，，故，解得故选：D【提分秘籍】对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.【变式演练】1.（河南省驻马店市2021-2022学年数学试题）已知函数，，则函数的零点个数不可能是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】由可得或，然后画出的图象，结合图象可分析出答案.【详解】由可得或的图象如下：所以当时，，此时无零点，有2个零点，所以的零点个数为2；当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；当时，，此时有4个零点，有2个零点，所以的零点个数为6；当时，，此时有3个零点，有2个零点，所以的零点个数为5；当且时，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；当时，，此时的零点个数为2；当时，，此时有2个零点，有3个零点，所以的零点个数为5；当时，，此时有2个零点，有4个零点，所以的零点个数为6；当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；当时，，此时有2个零点，无零点，所以的零点个数为2；综上：的零点个数可以为2、4、5、6，故选：B2.已知，则函数的零点个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数时对应值，应用数形结合法判断零点个数.【详解】由题设，当时且递减，当时且递减，令，则，可得或，如下图示：由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点.故选：C3.（2022·山东日照·日照一中校考一模）已知函数是定义在R的偶函数，当时，若函数有且仅有6个不同的零点，则实数a取值范围.【答案】【详解】由，可得或，由函数是定义在上的偶函数，当时，，所以有个零点，则有个不同的零点，又，则，又时，有个不同的零点，即．故．故本题应填．【题型七】复合二次型函数零点求参数：根的分布型【典例分析】1.（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为．【答案】【分析】利用导数求出在上的单调性与极大值，即可画出函数的图象，依题意可得关于的方程恰有个不相等的实数根，令，则关于的有两个不相等的实数根，且，，令，则，即可求出参数的取值范围.【详解】当时，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，，且时，当时，当时，函数在上单调递增，所以的图象如下所示：

对于函数，令，即，令，则，要使恰有个不相等的实数根，即关于的有两个不相等的实数根，且，，令，则有两个不相等的零点均位于之间，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：2.（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】画出图象，换元后得到方程在内有两个不同的实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.【详解】作出函数的图象如图，令，则当，方程有个不同的实数解，则方程化为，使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同的实数根，令所以,解得:，所以实数的取值范围为故答案为【变式演练】1.（黑龙江省大庆市大庆中学2021-2022学年数学试题）已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【分析】画出的函数的图象，令，可得关于方程有两个根，且一个根小于4，一个根大于等于4，即可列出不等式求解.【详解】画出的函数图象如图，令，则由图可知要使有三个零点，则关于方程有两个根，且一个根小于4，一个根大于等于4，所以，解得.故选：A.2.（重庆市长寿区七校2021-2022学年联考数学试题）已知，若有5个零点，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，则有两个不相等的零点，设为，利用数形结合结合条件可得或，进而即得.【详解】令，要使有5个零点，结合函数的图象则有两个不相等的零点，设为，且，且需满足或，当时，无解，不合题意，当时，，的两根均大于或等于1，不合题意，所以，只需，解得.故选：A.3.（2023春·四川绵阳·高三校考开学考试）已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为.【答案】【分析】画出的图象，利用换元法，结合二次函数零点分布列不等式，由此求得的取值范围.【详解】，由解得.画出的图象如下图所示，令，由图象可知与有两个公共点时，或；与有一个公共点时，；与有三个公共点时，.依题意，的零点个数为4，对于函数，由于，的两个零点，全都在区间或区间，或一个在区间一个在区间，所以或或，解得或或，所以的取值范围是.故答案为：【题型八】双函数内外复合型函数零点求参数【典例分析】1.（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）设，（其中为自然对数的底数),若函数有个零点，则的取值范围A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：问题转化为直线与函数有四个交点，利用导数研究函数的性质，作出图象（草图），观察分析.详解：当时，，，由知在有一个零点，在上有一个零点，－1也是它的零点，且满足；当时，，，由知在上有一个零点，且，都是极大值点，－1是极小值点，注意到，，，∴当时，直线与函数有四个交点，故选D.2.2.（2023春·辽宁沈阳·高三联考）已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解；当时，有4个解；当时，有3个解；当时，有1个解；因为最多有两个解.因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.则存在下列几种情况：①有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足，即，解得，②有3个解，有3个解，设即，，则应满足，无解，舍去，综上所述，的取值范围为.故选：B.

【变式演练】1.（2023春·江西·高三江西省清江中学校考）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件画出函数图像，得到与的交点的横坐标一个在上，另一个在上，转化为研究，的最值问题，利用导数研究即可解决.【详解】由的解析式，可知在上单调递增，且值域为，在上单调递增，且值域为，函数的图像如图所示，所以在的值域上，任意函数值都有两个值与之对应，在值域上，任意函数值都有一个值与之对应.要使恰有三个不同的零点，则与的交点的横坐标一个在上，另一个在上，由的图像开口向上且对称轴为，易知，此时，且，结合的图像及，得，则，所以，且，令，，则.当时，单调递增；当时，单调递减.所以，故的最大值为.2.（2023春·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知函数，，若函数有3个不同的零点，且，则的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】利用导数判断出函数的单调性，再由函数与方程的思想可知分别对参数进行分类讨论，利用数形结合即可求得结果.【详解】由题意可知函数的定义域为，则，令，解得；当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；因此的极小值，也是最小值为；其图象如下图所示;

易知当或时，方程有且仅有一个实数根，当时，方程有两个实数根；令，化简得，解得或；所以函数的零点即为方程和的根；因为函数有3个不同的零点，且，①当时，，符合题意，所以；②当时，，符合题意，所以；综上可得，的取值范围是.故选：C3..（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数有个零点(互不相同)，则实数的取值范围为．【答案】【分析】可先对求导，结合图像判断有三个交点的区间，又函数，可先画出的图像，结合图像判断有两个交点的取值范围，结合取值范围进一步判断即可【详解】由，令得或，当，单调递增；当，单调递减；当，单调递增，函数的极大值为，极小值为，画出函数图像，如图：当有三个交点时，；再根据题意画出图像，如图：当时，要使，即函数图像在时，与要有两个交点，如图：，故故答案为【题型九】函数自身内外复合型零点求参【典例分析】1.(湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题)己知函数，则函数的零点个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定函数的值域，利用换元法令，则，则将函数的零点问题转化为函数的图象的交点问题，作函数图象，确定其交点以及其横坐标范围，再结合的图象，即可确定的零点个数.【详解】已知，当时，，当时，，作出其图象如图示：可知值域为，设，则，则函数的零点问题即为函数的图象的交点问题，而，作出函数的图象如图示：可知：的图象有两个交点，横坐标分别在之间，不妨设交点横坐标为，当时，由图象和直线可知，二者有两个交点，即此时有两个零点；当时，由图象和直线可知，二者有3个交点，即此时有3个零点，故函数的零点个数是5，故选：B.2.(北京市第四中学2023届高三上学期期中考试数学试题)函数，则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】复合方程求解时，先求得的解有，再解即可.【详解】下面解方程：，当时，，得或1（舍去），当时，，得，所以的两根为，由得或，若，则当时，无解，当时，无解；若，则当时，解得，当时，解得所以的零点个数共有两个.故选：B【变式演练】1.已知函数，则函数，的零点个数（）A．5或6个 B．3或9个 C．9或10个 D．5或9个【答案】D【分析】设，求导分析的最值与极值，画出图形，再分析与的根的范围与个数即可【详解】设，则由，得，即，又，由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数在处取得极大值，函数在处取得极小值，又由，可得图象：若，，则方程有三个解，满足，，，则当时，方程，有3个根，当时，方程，有3个根，当时，方程，有3个根，此时共有9个根，若，，则方程有两个解，满足，，则当时，方程，有3个根，当，有2个根，此时共有5个根，同理，，也共有5个根故选：D．2.已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】设，则求出值，可得，由分离参数，结合图象即可求解．【详解】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则，，即，因为函数为增函数，且，所以，.当时，由，得；当时，由，得.结合函数的图象可知，若有3个零点，则．故选：A3.已知函数，则函数的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由的性质求出对应区间的值域及单调性，令并将问题转化为与交点横坐标对应值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.【详解】令，当时，且递增，此时，当时，且递减，此时，当时，且递增，此时，当时，且递增，此时，所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：由图知：与有两个交点，横坐标、：当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.综上，的零点共有4个.故选：B【题型十】解析式含参数零点型【典例分析】1.设是定义在R上且周期为2的函数，当时，，其中a，，且函数在区间上恰有3个零点，则a的取值不可能是（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】由为周期为2的函数，可得，从而可求得，然后分六种情况分析判断函数的零点个数【详解】因为是定义在R上且周期为2的函数，所以，所以，得，则时，，当时，，其图象如图所示，由于周期为2，所以，所以不符合题意，当时，则图象向上平移，函数无零点，所以不符合，当时，可得在上有一个零点，所以在上有零点，所以在区间上恰有3个零点，符合题意，当时，可得在上有2个零点，由于函数的周期为2，所以在上有6个零点，不符合题意，当时，则可得，在区间上恰有3个零点，所以符合题意，当时，函数图象与轴无交点，综上，当或时，在区间上恰有3个零点，故选：D2.已知函数，恰有2个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】数形结合，做出图像即可根据零点个数求参数.【详解】解：由题意得：作出函数的图象，如图所示，由，得，则直线与的图象恰有两个交点，数形结合得的取值范围是.故选：B【提分秘籍】利用函数的零点个数求参数的取值范围，主要从以下几个角度分析：（1）函数零点个数与图像交点的转化；（2）注意各段函数图像对应的定义域；（3）导数即为切线斜率的几何应用；（4）数形结合的思想的应用.【变式演练】1.已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求出实数a的取值范围.【详解】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.若时，由解得或，满足题意.若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且.当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.综上，故选：D2.（2021·江苏·高三专题练习）设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为．【答案】【分析】当时，可得在上单调递减，得在上有一个零点，在上单调递增，由二次函数的性质可得在上有一个零点，当时，分，，，四种情况分析讨论函数的零点【详解】解：（1）当时，时，，，故在上单调递减，又最小值，所以在上有一个零点，当时，，其对称轴为，则在上单调递增，又，，则在上有一个零点，又，所以符合题意．（2）当时，①时，当时，，所以，所以在上单调递减，因为，所以因为，所以在上没有零点，当时，，，则在上没有零点，不符合题意；②时，当时，，令可得，又时，，单调递减；时，，在单调递增，又，所以在上没有零点，当肘，，，则在上没有零点，不符合题意；③时，，当时，，令得，当时，，单调递减；时，，单调递增，则在上有极小值，所以在上没有零点，在上有一个零点，满足题意；④时，当时，，令可得，又时，，单调递减；时，，单调递增，且，则在上有极小值，所以在上没有零点，时，，其对称轴为，且，根据韦达定理可判断在上有两个零点，且两根之和为a，时符合题意，综上所述：a的取值范围为，故答案为:．3.（2023·全国·高三专题练习）设函数．若恰有2个零点，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据解析式分析的性质，讨论、、，结合指数函数和二次函数的性质判断恰有2个零点情况下a的取值范围.【详解】由解析式知：在上且单调递增；在上，的对称轴为且开口向上，∴1、当，即时，则在上递增，，此时无零点；2、当时，上存在一个零点，要使恰有2个零点，则在上也只有一个零点，而且，∴当，即，只需，可得；当，即，只需，可得；∴此时，时恰有2个零点；【题型十一】函数分段定义域处含参数零点型【典例分析】1.（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数，若函数g(x)＝f(f(x)＋1)有三个零点，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】数形结合，分成a≤－2，－2＜a≤0，0＜a≤2，a＞2四种情况讨论即可.【详解】令，则，有三个零点，∴f(t)＝0有两个根，且需满足有两解时，有且仅有一解.①a≤－2时，f(x)如图：g(x)＝f(t)＝0，，由图可见此时y＝－3与f(x)有两个交点，，此时要使y＝1与f(x)有且仅有一个交点，则，∴；②－2＜a≤0时，f(t)＝0只有一个解t＝2，t＝f(x)＋1＝0没有三个解；③0＜a≤2时，f(x)如图：，，，y＝1和f(x)必有两个交点；，此时要使y＝－1和f(x)有且仅有一个交点，则，∴；④a＞2时，只有一个根t＝0，t＝f(x)＋1＝0没有三个解.综上所述，.故答案为：.2.（2022·江苏泰州·泰州中学校考模拟预测）已知函数，若存在，使得函数有三个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】讨论的单调性，根据的大致图像，结合题目要求，得到不等式，求解即可.【详解】，若，对称轴时，在上递增，当，对称轴时，在上递增，所以当时，在上递增，则函数不可能有三个零点，故只需考虑的情况.画出的大致图象可知：要使得函数有三个零点，只能，即，即存在，使得即可.令，只要使即可，而.故.故答案为：.【提分秘籍】分段函数（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集【变式演练】1.（2021·全国·高三专题练习）已知（其中，为自然对数的底数），若在上有三个不同的零点，则的取值范围是.【答案】【分析】先按照和两种情况求出，再对和分别各按照两种情况讨论求出，最后令，求出函数的零点，恰好有三个.因此只要求出的三个零点满足各自的范围即可.【详解】解：当时，，当时，由，可得，当时，由，可得.当时，，当时，由，可得无解，当时，由，可得.因为在上有三个不同的零点，所以，解得.故答案为：.2.（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】分别求出两段函数各自的零点，作出图像利用数形结合即可得出答案.【详解】设，，求导由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增，且，，故在内必有唯一零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增；令，解得或2，可作出函数的图像，令，即，在之间解得或或，作出图像如下图数形结合可得：，故选：A3.（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）若函数恰有1个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】分析两个函数和的零点，前一个函数有两个零点－3和1，后一个函数只有一个零点1，1是公共的零点，因此可确定只有一个零点，只能为1．【详解】有两个零点－3和1，只有一个零点1，因此函数恰有1个零点，从函数的解析式来看，只能是1，∴．故答案为：．【题型十二】切线型零点求参【典例分析】1.2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数有2个零点，则实数a的取值范围是．【答案】或【分析】本题考查了导数的几何意义，函数的零点与函数图象的关系，作出的函数图象，结合函数图象求出当直线与的图象有两个交点时的斜率范围即可．【详解】解：函数，函数的图象关于对称，绘制函数图像如图所示，函数有2个零点则函数与函数有2个交点，当斜率为零，即时，由图像可得有两个交点，则成立；当斜率不为零，即时，如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为，由题意可得：,解得则直线与函数相切时斜率为，数形结合可知实数a的取值范围是．综上，答案为：或．2.（2022秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】作出函数的图象，由题意可知，函数与直线的图象有个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】解：当时，，当时，，所以，函数在上的图象可视为函数在上的图象每次向右平移个单位后得到，①若函数的图象恒在直线的下方时，则，则，则当时，函数无零点，且当时，，此时，函数无零点，不合乎题意；②若函数的图象与直线相切，对于方程，即，，解得，此时，当时，，此时，函数只有一个零点，不合乎题意；③若时，如下图所示：由图象可知，函数与函数在上的图象有个交点，若使得函数有个零点，则，解得，此时；④当时，由图象可知，函数与函数在上的图象只有个交点，函数与函数在上的图象必有个交点，此时，函数有个零点，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【提分秘籍】利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.【变式演练】1.（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是．【答案】【分析】根据函数与方程之间的关系转化两个函数图象交点个数问题，利用分段函数的表达式，结合题意将其转化为二次函数根的分布问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，因为恰有三个不同的零点，函数在上恰有三个不同的零点，即有三个解，而无解，故.当时，函数在上恰有三个不同的零点，即，即与的图象有三个交点，如下图，当时，与必有1个交点，所以当时，有2个交点，即，即令在内有两个实数解，，

当时，函数在上恰有三个不同的零点，即，即与的图象有三个交点，如下图，

当时，必有1个交点，当时，与有2个交点，所以，即在上有根，令故，解得：.综上所述：的取值范围是.故答案为：.2.（2020春·陕西西安·高三交大附中分校校考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是.【答案】或【分析】先结合的解析式分析的图像，再将问题转化为和的图像在上有四个交点，结合图象，分析得它们有四个交点的情况，从而得解.【详解】因为，当时，，则开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，当时，，，则开口向下，对称轴为，当时，，，则开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，，因为函数恰有4个零点，所以和的图像在上有四个交点，又易得过定点，所以和的图像在上的图像大致如下：结合图像可知，当时，与的图像没有交点，不满足题意；当时，随着的增大，直到经过时，与的图像都有四个交点，此时，故；当增大到与的图像在上相切时，它们也有四个交点，联立，消去，得，令，即，即，解得或（舍去）；综上：或.故答案为：或.3.（2023·高三课时练习）已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据导函数研究函数的单调性，从而画出的图象，函数恰有三个零点，可转化为函数与有三个交点，数形结合求出与，相切的直线斜率，从而求出的取值范围.【详解】当时，，，在上恒成立，且在时，等号成立，所以在上单调递增，且，当时，单调递减，且，函数恰有三个零点，可转化为函数与有三个交点，画出的图象，所图所示：设直线与，相切时切点为，则，又根据斜率公式可得：，所以，解得：或，当时，，当时，，所以要想函数与有三个交点，直线斜率要介于两切线斜率之间，故故答案为：【题型十三】切线型折线零点求参【典例分析】1.（2021秋·湖北武汉·高三华中科技大学附属中学校考）已知函数，上有两个不同的零点，则的取值范围；【答案】【分析】函数在上有两个不同的零点可化为与在上有两个不同的交点，作函数图象求解.【详解】函数在上有两个不同的零点可化为与在上有两个不同的交点，作函数与的图象如下，结合图象可知，函数的右半部分与函数相交于两个不同交点，而左半部分不能与函数相交；当直线与相切时为一个临界值，设切点为，此时，则；解得；故斜率；故当直线与相切时为另一个临界值，设切点为，此时，则；解得；故斜率故故答案为：2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】画出函数图像，的图像是在轴下方的部分向上翻折形成，考虑，，三种情况，根据相切计算斜率，结合图像得到答案.【详解】的图像是在轴下方的部分向上翻折形成，画出函数图像，如图所示：当时，，有两个零点，不满足；当时，过点，与相切与点，，故，即，解得，，根据图像知当时，有且只有个零点；当时，，过点，与相切与点，，故，即，解得，，根据图像知，当，即时，有且只有个零点；综上所述：当时，有且只有个零点.故答案．【变式演练】1.（2023春·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】数形结合，分析与的交点个数为3时实数的取值范围即可.【详解】由题意，函数有三个零点即有三个解，即与的交点个数为3.作出与的图象，易得当时不成立，故.当时与必有一个交点，则当有2个交点.当时，因为恒过定点，此时与或有2个交点.①当与有2个交点时，考虑临界条件，当与相切时，.设切点，则，解得，此时切点，；又最高点为，故此时.故.②当与有2个交点时，考虑临界条件，当与相切时，，即，此时，即，解得，由图可得，故.此时综上故答案为：.2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是.【答案】【分析】把函数零点问题转化为函数图像交点问题，由，可以画出函数以及，根据的情况分类讨论，结合函数图像的交点，即可得解.【详解】由对任意都成立，所以函数的图像关于直线对称，先作出函数在上的图像，再作出这部分图像关于直线对称的图像，得函数的图像，如图所示：令，得，令，则函数的零点个数即函数的图像与函数的图像的交点个数，因为，所以的图像关于轴对称，且恒过定点，当函数的图像过点时，，过点作函数的图像的切线，设切点为处的切线方程为，又切线过点，所以，所以切线的斜率为，即当时，的图像与函数的图像相切，由图可知，当且仅当时，和恰有3个交点，即恰三个零点.故答案为：3.（2020·江苏镇江·统考三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是．【答案】【分析】先作图，再求分界线对应k的值，结合图象确定取值范围.【详解】作与图象，由得由得，对应图中分界线①;由过点得，对应图中分界线②；当与相切于时，因为，所以，对应图中分界线③；因为函数有三个零点，所以实数k的取值范围是故答案为：【题型十四】类周期型函数零点求参【典例分析】1.（2021秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考期中）已知且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】函数恰有3个不同的零点，即方程恰有3个不同的实数根，即函数的图象与函数的图象恰有3个不同的的交点.在同一坐标系内画出函数的图象与函数的图象，数形结合求解.【详解】在同一坐标系内画出函数的图象与函数的图象，如图所示由图可知，.直线的方程为，由，得，，设方程的两根为，则，，直线与函数的图象有两个交点.由题意，函数的图象与函数的图象恰有3个不同的的交点，由图可得或，或,所以实数的取值范围是.故答案为：.2.（2020·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足:当时，，且对任意的恒成立，若函数在区间内有6个零点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】若函数在区间内有6个零点，则与的图象在区间内有6个交点．画出函数的图象，数形结合可得答案．【详解】对恒成立，函数的周期为2．又当时，函数的图象如下图所示：令函数，则，若函数在区间内有6个零点，则与的图象在区间内有6个交点．恒过点，过，点的直线斜率为，过，点的直线斜率为，根据图象可得：故答案为：【提分秘籍】上下平移【变式演练】1.（2020·江苏·高三专题练习）已知函数如果函数恰有2个不同的零点，那么实数的取值范围是.【答案】【解析】根据题意，分析函数的解析式，作出其在区间，上的图象，而的函数图象是过定点的直线；若函数恰有2个不同的零点，则函数与直线有2个交点，结合图象分析可得答案．【详解】解：根据题意，由函数的解析式，在区间，上，；当时，，，则区间，上，；当时，，，则区间，上，；当时，，，则区间，上，；当时，，，则区间，上，，在区间，，，其图象如图：的函数图象是过定点的直线，若函数恰有2个不同的零点，则函数与直线有2个交点，当直线经过点，可得，即有，满足题意；当直线经过点，可得；当直线经过点，可得，即有，满足题意．综上可得的范围是．故答案为：．2.（2022·四川成都·成都七中校考三模）对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是.【答案】①③④【分析】因为,定义域为,以长度为变化区间的正弦类型的曲线,且当时,后面每个周期都是前一个周期振幅的,根据相应性质判断命题即可求得答案.【详解】对于①,如图:任取当,当,,,,恒成立故①正确.对于②,,故②错误.对于③,的零点的个数问题,分别画出和的图像如图:和图像由三个交点.的零点的个数为:.故③正确.对于④,设,

,令在,可得:当时,,,,若任意,不等式恒成立,即,可得求证:当,,化简可得:设函数,则当时,单调递增,可得即:综上所述,对任意,不等式恒成立.故④正确.3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是【答案】【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图象，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围.【详解】当1＜x≤2时，f(x)=-x+2,当时，1＜2x≤2，所以f(x)=,当时，＜2x≤1，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,所以函数的图象为：

其图象为线段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端点A,B,C,D,)直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系，由题得C(),D(),当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和函数f(x)的图象有三个不同的交点，由题得.所以k的取值范围为.故答案为高考真题对点练一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，，当，，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.2．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．3．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，由可得，由可得，（1）时，当时，有4个零点，即；当，有5个零点，即；当，有6个零点，即；（2）当时，，，当时，，无零点；当时，，有1个零点；当时，令，则，此时有2个零点；所以若时，有1个零点.综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足或或，则可解得a的取值范围是.4．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.5．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则A．B．C． D．【答案】C【分析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如图：且，解得，，．故选．6．（2014·重庆·高考真题）已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是A．B．C． D．【答案】A【详解】试题分析：令，分别作出与的图像如下，由图像知是过定点的一条直线，当直线绕着定点转动时，与图像产生不同的交点.当与相切时，设切点为，由，则切线方程为，则，解得，此时当直线在轴和直线及切线和直线之间时，与图像产生两个交点，此时或故答案选.7．（2014·全国·高考真题）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．8．（2018·全国·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.9．（2015·天津·高考真题）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数恰有4个零点，即方程，即有4个不同的实数根，即直线与函数的图象有四个不同的交点．又做出该函数的图象如图所示，由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，故函数恰有4个零点时，b的取值范围是故选D．10．（2013·重庆·高考真题）若，则函数的两个零点分别位于区间A．和内 B．和内C．和内 D．和内【答案】A【详解】试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点.考点：零点与二分法.【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.二、填空题11．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为．【答案】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．【详解】（1）当时，，即，若时，，此时成立；若时，或，若方程有一根为，则，即且；若方程有一根为，则，解得：且；若时，，此时成立．（2）当时，，即，若时，，显然不成立；若时，或，若方程有一根为，则，即；若方程有一根为，则，解得：；若时，，显然不成立；综上，当时，零点为，；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，零点为．所以，当函数有两个零点时，且．故答案为：．12．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为.【答案】【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.【详解】设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.①当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不合乎题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.13．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.最新模考真题一、单选题1．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据参数的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解.【详解】由函数，其中，当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以，当时，，由可得或，则在上，有一个零点，所以在内有3个零点，即在内有3个零点，因为，所以，，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：C.2．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将题意转化为与存在两个交点，令，对求导，令或者，求出斜率为的切线方程，即可求出两条切线在轴上的截距，可得实数的取值范围.【详解】解析：由可知，即与存在两个交点，令，则，令，解得：，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，令，解得，则在处的切线方程为；令，解得，则在处的切线方程为，所以与的图象如下表：

且这两条切线在轴上的截距分别为实数的取值范围为.故选：A.3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）函数，若有个零点，则的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由可得出或，数形结合可知直线与函数的图象有两个交点，从而可知直线与函数有两个零点，结合图形可得出实数的取值范围.【详解】由，可得，解得或，如下图所示：

由图可知，直线与函数的图象有两个交点，又因为函数有四个零点，故直线与函数有两个零点，且，所以，且，因此，实数的取值范围是.故选：D.4．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件画出函数图像，得到与的交点的横坐标一个在上，另一个在上，转化为研究，的最值问题，利用导数研究即可解决.【详解】由的解析式，可知在上单调递增，且值域为，在上单调递增，且值域为，函数的图像如图所示，所以在的值域上，任意函数值都有两个值与之对应，在值域上，任意函数值都有一个值与之对应.要使恰有三个不同的零点，则与的交点的横坐标一个在上，另一个在上，由的图像开口向上且对称轴为，易知，此时，且，结合的图像及，得，则，所以，且，令，，则.当时，单调递增；当时，单调递减.所以，故的最大值为.5．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】作出函数与函数的图像，讨论曲线与曲线，相切以及过点的情况，求出对应的实数的值，利用数形结合思想可求得的取值范围.【详解】作出与的图像，如图所示，

由，整理得，当直线与圆相切时，则，解得，对应图中分界线①的斜率；再考虑直线与曲线相切，设切点坐标为，对函数求导得，则所求切线的斜率为，所求切线即直线方程为，直线过定点，将代入切线方程得，解得，所以切点坐标为，所以，对应图中分界线③的斜率；当直线过点时，则，解得，对应图中分界线②的斜率.由于函数有三个零点，由图可知，实数的范围为.故选：C6．（2023·全国·模拟预测）设函数，则（

）A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点【答案】A【分析】函数分段去绝对值，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理判断零点所在区间.【详解】去绝对值可得.时，，因此函数在单调递增；时，.（i）时，，因此在单调递增.当时，，，因此在区间有零点，且在区间和都没有零点；当时，，故在区间和都没有零点，故C选项和D选项均错误.（ii）时，令得，因此函数在区间单调递减，在单调递增.当时，.（1）时，在区间存在唯一零点，而在区间没有零点.（2）时，在区间没有零点.当时，.①时，，因此在区间和都有零点，此时，故在区间也有零点.②时，在区间没有零点.综上所述，本题正确答案是A.故选：A7．（2023·山东济南·统考三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可