平面向量基本定理及向量的坐标运算

一、选择题1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数xA．－2B．0C．1D．2[答案]D[解析]考查向量的坐标运算及两向量互相平行的充要条件．a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x由题意可得3×(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2.2．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若eq\o(OP,\s\up12(→))＝aeq\o(OP1,\s\up12(→))＋beq\o(OP2,\s\up12(→))，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0[答案]B[解析]由于点P落在第Ⅲ部分，且eq\o(OP,\s\up12(→))＝aeq\o(OP1,\s\up12(→))＋beq\o(OP2,\s\up12(→))，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a>0，b<0.3．(2022·辽宁文，3)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则kA．－12 B．－6C．6 D．12[答案]D[解析]本题考查了有坐标的向量的运算．包括数乘向量，向量的加减法及数量积，同时还考查了考生细心运算的能力．∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k∴a·(2a－b)＝(2,1)·(5,2－k)＝10＋2－k∴k＝12.4．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c.设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为()\f(π,6) \f(π,3)\f(π,2) \f(2π,3)[答案]B[解析]∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，即ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)，故选B.5．(文)c，d是不共线向量，则下列选项中a，b不共线的一组是()A．a＝－2(c＋d)，b＝2(c＋d)B．a＝c－d，b＝－2c＋2C．a＝4c－eq\f(2,5)d，b＝c－eq\f(1,10)dD．a＝c＋d，b＝2c－2[答案]D[解析]∵A选项中a＝－b，∴a与b共线；B选项中b＝－2a，∴a与b共线；C选项中a＝4b，∴a与b(理)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)[答案]D[解析]由题意知，d＝－(4a＋4b－2c＋2a－2c)＝－(6a＋4b－4c)＝－6．(文)(2022·济南模拟)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(1,2)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－4，－1)，eq\o(CD,\s\up12(→))＝(－5，－3)，则四边形ABCD是()A．长方形 B．梯形C．平行四边形 D．以上都不对[答案]B[解析]eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝(1,2)＋(－4，－1)＋(－5，－3)＝(－8，－2)＝2(－4，－1)＝2eq\o(BC,\s\up12(→))，故四边形ABCD为梯形．(理)已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝eq\f(1,2)ax与线段AB交于C，且eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\o(CB,\s\up12(→))，则实数a等于()A．2 B．1\f(4,5) \f(5,3)[答案]A[解析]设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up12(→))＝(x－7，y－1)，eq\o(CB,\s\up12(→))＝(1－x,4－y)，∵eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\o(CB,\s\up12(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝21－x，,y－1＝24－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))∴C(3,3)．又∵C在直线y＝eq\f(1,2)ax上，∴3＝eq\f(1,2)a×3，∴a＝2.二、填空题7．(2022·陕西理)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.[答案]－1[解析]a＋b＝(2，－1)＋(－1，m)＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，∵(a＋b)∥c，∴eq\f(1,－1)＝eq\f(m－1,2)，∴m＝－1.8．(2022·北京理，10)已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))，若a－2b与c共线，则k＝________.[答案]1[解析]本题主要考查了向量共线及向量的坐标运算．依题意：a－2b＝(eq\r(3)，1)－2(0，－1)＝(eq\r(3)，3)，又与c＝(k，eq\r(3))共线，∴k＝1.三、解答题9．已知O(0,0)、A(2，－1)、B(3,2)、eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋teq\o(AB,\s\up12(→))，(1)t为何值时，点P在x轴上？(2)以O、A、B、P为顶点的四边形能否为平行四边形？[解析]eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋teq\o(AB,\s\up12(→))＝(2，－1)＋t(1,3)＝(t＋2,3t－1)．(1)若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝eq\f(1,3).(2)若OB为四边形OABP的一条对角线，则eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋2＝1,－3t－1＝3))无解；若AB为四边形OAPB一条对角线，则eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(AP,\s\up12(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝t,2＝3t))无解．若OA为四边形OBAP的对角线，则eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(PA,\s\up12(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝－t,2＝－3t))无解．∴以O、A、B、P四点为顶点不可能构成平行四边形．一、选择题1．(文)(2022·广东文，3)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()\f(1,4) \f(1,2)C．1 D．2[答案]B[解析]本题主要考查平面向量的坐标运算．方法利用向量平行的充要条件．a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，因为(a＋λb)∥c，所以4＋4λ－6＝0，所以λ＝eq\f(1,2).(理)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若eq\o(OC,\s\up12(→))＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()[答案]A[解析]令λ＝0，μ＝1时，eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))，当λ＝μ＝0时，eq\o(OC,\s\up12(→))＝0，C(0,0)．所以由图可知，只有A正确．2．(2022·汕头模拟)已知两个向量a＝(t，eq\r(x))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1，\f(u,2)))，其中t，u都是正实数，且a＝2b，则eq\f(t,u)的取值范围是()A．[1,6] B．[－6,1]C．[4，＋∞) D．(－∞，1][答案]C[解析]本题考查平面向量的坐标运算及均值不等式的应用．由a＝2b得：t＝2x＋2，eq\r(x)＝u，故eq\f(t,u)＝eq\f(2x＋2,\r(x))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))≥2×2eq\r(\r(x)×\f(1,\r(x)))＝4，当且仅当x＝1时取得等号．二、填空题3．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值为________．[答案]－eq\f(1,2)[解析]解法1：设BC方程为eq\f(y,m)＋eq\f(x,n)＝1，∵A、B、C共线，∴eq\f(－2,m)＋eq\f(－2,n)＝1，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝－eq\f(1,2).解法2：∵A、B、C共线，∴eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(AC,\s\up12(→))，∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2，m＋2)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(n＋2,2)，∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，∴mn＋2m＋2n＝0，∵mn≠0，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝－eq\f(1,2).4．(文)(2022·天津理，14)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq\o(PA,\s\up12(→))＋3eq\o(PB,\s\up12(→))|的最小值为________．[答案]5[解析]本题主要考查向量的坐标知识在解析几何中应用，如图，建立平面直角坐标系，根据题意设CD＝a，则A(2,0)，B(1，a)，P(0，y)则eq\o(PA,\s\up12(→))＝(2，－y)，eq\o(PB,\s\up12(→))＝(1，a－y)eq\o(PA,\s\up12(→))＋3eq\o(PB,\s\up12(→))＝(2，－y)＋(3,3a－3y)＝(5,3a－4y)故|eq\o(PA,\s\up12(→))＋3eq\o(PB,\s\up12(→))|＝eq\r(25＋3a－4y2)的最小值即当3a＝4y时，|eq\o(PA,\s\up12(→))＋3eq\o(PB,\s\up12(→))|min＝5.(理)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上且|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝2，则eq\o(OC,\s\up12(→))＝________.[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5)))[解析]解法1：如图，在y轴正向上取点A′，使OA′＝OB，∵|OB|＝5，∴A′(0,5)，∵C在∠A′OB的平分线上．∴M为A′B中点，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,2)))，eq\o(OM,\s\up12(→))为eq\o(OC,\s\up12(→))的方向向量，∴eq\o(OC,\s\up12(→))＝λeq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)λ，\f(9λ,2)))(λ>0)，|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝2⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)λ))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9λ,2)))2＝4，∴λ＝eq\f(2,15)eq\r(10)，∴eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5))).解法2：eq\o(OC,\s\up12(→))＝2×eq\f(\f(\o(OA,\s\up12(→)),|\o(OA,\s\up12(→))|)＋\f(\o(OB,\s\up12(→)),|\o(OB,\s\up12(→))|),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OA,\s\up12(→)),|\o(OA,\s\up12(→))|)＋\f(\o(OB,\s\up12(→)),|\o(OB,\s\up12(→))|))))＝eq\f(2×0，1＋\f(2,5)×－3，4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(9,5))))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5))).[点评]解法2连续应用单位向量来表示向量，请仔细体会赏析，学用．三、解答题5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，m＝(bcosC，－1)，n＝((c－3a)cosB,1)，m与n为共线向量，求sinB[解析]∵m与n为共线向量，∴设m＝λn，λ∈R，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bcosC＝λc－3acosB,－1＝λ·1))，解得λ＝－1，∴bcosC＋(c－3a)cosB∴sinBcosC＋sinCcosB－3sinAcosB＝0，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，即sinA＝3sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝eq\f(1,3)，∴sinB＝eq\f(2\r(2),3).6．已知a＝(sinx,0)，b＝(cos2x,1)，c＝(y,1)＝b＋μa.求y的最大值．[解析]由题意得(y,1)＝(cos2x＋μsinx,1)，∴y＝cos2x＋μsinx＝－sin2x＋μsinx＋1.令sinx＝t，则－1≤t≤1，所以y＝－t2＋μt＋1.①若eq\f(μ,2)<－1，即μ<－2，当t＝－1时，ymax＝－μ.②若－1≤eq\f(μ,2)≤1，即－2≤μ≤2，当t＝eq\f(μ,2)时，ymax＝eq\f(μ2,4)＋1.③若eq\f(μ,2)>1，即μ>2，当t＝1时，ymax＝μ.∴ymax＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－μμ<－2,\f(μ2,4)＋1－2≤μ≤2,μμ>2)).7．在平面直角坐标系xOy中，