周期驱动的Floquet理论

10周期驱动的Floquet理论ZHENGWEIFloquet态考察周期驱动的系统，其哈密顿量是时间的周期函数，其薛定谔方程为：it y(t)H(t)y(t), 这个方程有一类稳态解。假设我们将初态制备在其中一个稳态解上，那么系统将始终处于这个稳态，而不会演化到其他稳态上去。这类稳态解很类似于不含时体系中的定态解，我们将Floquet算符为一个周期内的时间演化算符：FtU(tT,t), Fty(t)y(tT),Floquet算符依靠Floquet算符之间相差一个幺正变换：Ut,tFtUt,t)Ft,1 0 1 1 0 0Floquet算符的本征态：aFta(t)la

a(t),a很简洁证明la

和初始时间无关。由于演化算符是幺正的，因此la

eiqa，只是代表一个相因态应当满足如下关系：a(tT)eiqaa(t),态取为如下形式：(t)eieatua(t), ua(tT)ua(t),其中ua(t)格中的布洛赫波函数格外类似。可以验证这个形式肯定满足上述关系：Fta(t)(tT)eieaTa(t),留意到这里eaFloquet态是一个幺正算符的本征态，因此在每个时刻都是正交完备的：aba(t)b(t)ab

, a(t) a(t)1,aFloquet模也是正交完备的：ub

(t)

, uabaaaba

(t)

1,那么对于任何一个初始态，其在周期驱动下的演化都可以写为：y(t)U(t,t0

)y(t),0U(t,t0a

)

a0aC auaCa

tt,0,这里Ca y(t0)为叠加系数。从这里就可以看出，周期驱动系统的演化格外类似定态系统的演化，叠加系数始终不会变化。由薛定谔方程得到：aH(t)i(t)0,atH(t)it

ua(t)

ua(t),a这相当于求解一个d1维度的微分方程，并且在时间维度需要承受周期性边界条件。aFloquet哈密顿量Floquet哈密顿量：FtexpiH tT,0 F 0H tiF 0 T

logFt,0Floquet哈密顿量是依靠于初始时间t0的：Ut,tH tUt,t)H t,1 0 F 1 1 0 F 0Floquet态开放为：H tF 0

e a a a

) a(t0),u eua a a

ua(t0),FloquetFloquet态的Floquet模在一个周期内的演化：W(t,t)u(t) 1 0 a 1 a 0a我们要留意它和演化算符的区分，演化算符开放为：U(t,t

)

(t)

1 0 aaa eieaa

1tt1 0

a 0au(ta1

) ua(t0),哈密顿量和微运动算符，我们就可以用它们俩来表示时间演化算符：U(t,t22 12

)

tHt1 F2

(t,t),2 12W(t,t22 1

ei

tHt,1 F1,2同时我们留意到：2

W(t,t2 0

ei

t H1 F

t0

(t,t),0 1H tF 1

t2 1 F

Ut,t),2 1W(t,t2 1

ei

H1 F

t2HFt

eit2

HF

t2

(t,t),2 1221W(t,t)H t2212 1 F 2

Wt,t),2 1完全抵消了。另外微运动算符还有如下作用：H tW(t,t)H(t)iW(t,t),F 0 0 t 0这是由于我们有：

H(t)t

ua(t)

ua(t),aFloquet哈密顿量。aFloquet哈密顿量Magnus开放eiHFt0TFt0Ut0T,t0),

0

T,t0

)Texp it

T t0 (t) t0其中T为编时算符。那么我们可以将其开放得到：Ft

1

t0

dtH(t)

i2

TH

),ttt0 2! 2 1 2 1ttt0 0 01it0TdtH(t)(i)2t0TdttdtH(t)H(t),2t0

2 t 1 2 10而我们将周期性的哈密顿量做傅里叶开放：那么我们就得到：

H(t) Heinwt,nnnFt0

1

TH0 mmn

I ,nmnI

eimwteinwt,2 mn t 2 t 2 0 0下面我们就来分状况考察积分Imn。首先当m0,n0时：I

—t,00 t0

2 t 1 t0

2 2 02 1

T2t2Tt,0 02T2,而当m0,n0时，我们有：I

tTdt0dt

2dteinwt,t10n t 2 t 1t10 02 12inw

2t0

eint

einwt0,1inw

einwt0T,而当m0,n0时，我们就可以得到：I

teimwt,2m0 t 2 t 1 t220 0 2

2 2 0 2

eimwtdt

1 t0Ttdeimwt,0t 20

2 2 imw 2t0t 1 t

eimwt

t

—t0Teimwtdt ,02imw 2 2t 2020 t0t0Teimwt0Timweimwt0T,imw

eimwt00 ,0最终当m0,n0时，我们有：I

tTdt0dt

2dteimwteinwt,t2 mn t 2 t t2 0 0 1

eimwt

eint

einwt

1

ei(mn)wt,inw 1

2 2 t0Td ,

0 inw 2 2t0t因此我们就有：

inw mnFt0

1

T0

HI0 000H

HI0 n0n

—Hm

I

—

HIm nmn

,n0 m0 m,n00 iH0

H0,Hn

1 0

nw nwn0

T1H2T2,2 0Floquet算符开放为：eiHFt0T1iHFt0T,经过比照正比于周期T的项，我们就得到：HnHn H0,Hn w HtHF 0 0

nw nw

eint0

,经过重整理，我们可以将其写为：Hn,Hn

H,Hn 0 w

Hn,H0 w HtHF 0 0

nw

nw

t0

nw

int0 ,哈密顿量的高频开放。有效哈密顿量我们可以将演化算符表示为如下：U(t,t2 1

)S(t2

ei21HeffSt),1其中S(tT)S(t，并且这里的Heff和初始时间无关。初始时间的信息全部包含在S(t符中。则我们可以看到一个周期内：1Ut0T,t0)St0eiHefTSt0)eiHFt0T,比照可得到：

HtS(t)HS(t),F 0 0 eff 0Floquet换将其依靠于初始时间的局部吸取到S(t)1 0 1 0这样看来似乎是S(t)W(t,。我们就得到：H S(t)H(t)iS(t),eff t进一步我们令S(t)eiK(t)。则我们有：H iK(t)

iK(t)

eiK(t)

iK(t)eeff

i

t e ,这样我们就可以通过类似于中岛变换的方式计算得到有效哈密顿量。高频率开放假设外界驱动的频率很高，远远大于体系自身的特征能量，则我们就可以承受高频开放K(t都可以依据w1H

1Hl,另外我们知道：

effK(t)

wll0 1wll1

eff

t,eiKHeiKHiK,H

1K,K,H1iK,K,K,H, 2! 3!

eiK

K

1K,

K

1K,K,

K,t

t 2! t 3! t留意这里tKwK，为了将这个隐含的条件表现出来，我们做变换twt。得到：H iK(t)

t iK(t)

weiK(t)

iK(t)eeff

i t e , 将带入上式，的得到：H0effeff

Ht)tK1t),iK1t),Ht)i1K1t2 t

K1t)

tK2t),t进一步我们做傅里叶分解：

H(t)

Heint,nn则我们得到：

Klt)

Kleint,nH0eff

H 0

nn0

—inK1eint,n为了保证有效哈密顿量不含时间，对于第一阶我们要求：HiK1 n,n n

H0eff

H,0n则将上式带入下一阶我们得到：nH1

,Hn

,H0

ein

t1

inK2eint,eff

n

n0 n 2

m

n 再次为了保证有效哈密顿量不含时间，我们要求：iK2

Hn,H01Hmn,Hmn n2H

2m,H

,H1eff

nn n,因此我们得到准确到w1阶和有效哈密顿量和准确到w2阶的K(t)算符：H

Hnnn

,eff

0 nwiK(t)

H,H n 0

1Hmn,Hm

,n

w2n2

2 w2mnn n0 m 依据之前的争论我们可以由此求出初始时间为tFloquet哈密顿量：0HFt0eiK(t0)HeffeiK(t0)HeffiK(t0),Heff,H

n

,Hn

Hn,H

einwt0

H0

einwt0

,0 nw nw nw我们看到这个和直接开放时间演化算符是完全全都的。扩展的希尔伯特空间uamFloquet模式：uame eam a

(t)eimwt

(t),态的形式和原来类似：a(t)eieatua(t)eieamtuam(t),m 这里我们看到不管取任何值，m am

,uam

都对应着同一个Floquet态。我们可以进一步定义：则我们觉察：

Q(t)H(t)i,tQ(t)uam

(t)eama

uam

(t),而在这个扩展的希尔伯特空间内我们定义的内积为：uam

vbn

1T

0

vbn

(t),uam这个内积的定义保证了不同m的Floquet模是正交的。uam准能谱算符的矩阵形式为了考察扩展哈密顿量的矩阵形式，我们首先选定一组基矢：m leimt,则扩展哈密顿量的矩阵元为：mQxn

1TdteimwtlH(t)

xeinwt,我们可以看到其根本构造为：

T 0HlHmn

tm,x wd dm,lxmn 2 H w H H 2 H0 1Q

H H H , 1 0 1 H H Hw 2 1 0 这样我们就可以通过对角化这个矩阵来得到准能谱。其实之前提到的中岛变换就是对Q矩阵做块对角的过程，使得其变为如下形式：

H w 0 0eff,QUQU,

0 H 0 eff 0

H eff

因此快对角化的过程和幺正变换是等价的。两能级系统的例子我们下面考察一个严格可解的两能级系统的例子。其哈密顿量如下：H(t)

eiwt,eit

s

eiwt

eit,z sz

x

coswt

sint,y我们可以通过一个旋转波变换：yS(t)

eit0

01

将哈密顿量化为不含时的：t)t)Stt),H(t)H S(t)H(t)iS(t),eff t我们留意到其实这个不含时的哈密顿量就是传奇中的有效哈密顿量：w H eff

,1ws 1ws s,2 0 2 z y有效哈密顿量的本征值和本征态分别为：E 1w 2

1w2

2,那么在变换前的态为：y

j A AS(t)S(t)

A,A,,eiEt,P

Peit

eiE

t

y(t)实际上就是传奇中的Floquet态。为了证明这一点。我们首先构建时间演化算符。我们可以通过定义得到：U(t,t)S(t)expiH ttS(t),1 0 1 eff 1 0 0则在一个周期内有：态上为：

FtU(tT,t),S(t)exp

TS(t),effFty(t)S(t)exp

TS(t)S(t)j S(t)exp

eff Tj (t),S(t)j

eff (t),y

(t),Floquet态的定义，并且说明白有效哈密顿量的本征态就是准能量。那么传奇中的Floquet模为：yteiEt

(t),

u(t)

eiwtA,很明显我们就可以看出其是周期性的。其对应的Q矩阵为：w 0 0 0 0

0

0 0

0

0 0 Q

0 0

0

0 0

w 0 0 0 0

0

w我们看到这个矩阵自动的就块对角化了。将其对角化我们得到的本征矢量为： 0

0

e E v , e

w

v ,0

1

1 0

0其对应：

e E0

u

eiwt

, ,0 e E,0

(t) eiwt

A,这就验证了：

1e,n

,1E nw, E

n

(t)einwt

(t),即e,n和分别为Q(t)的本征值和本征函数。另一个例子考察另一个例子：

H(t)1s s coswt,这时我们将哈密顿量写为：

2 z x1 1eiteit 2 2 ,1eit

—1同样做类似的旋转波变换：

2 expit 0 St) 2 PexpitPexpit, 0 expit

2 2我们得到哈密顿量为：

2 H (t)S(t)H(t)RW 1w

S(t),11eit 2 2 ,11e2iwt2

—1w2这时我们可以将哈密顿量写为：H (t)H RW 0

e2iwtHe2iwt,1d

1 11 1 12 H 2

2

ds

,0 1 1d 2 z 2 x0 1 1H 2 s ,2 0 0 2 0 0 1H s,2 1 0 2 其中dw。那么我们就可以来计算有效哈密顿量。由公式：H H eff0H,H n n nw,我们得到：Heff

H H2,H20 2w1ds 1s

2s 2 z 2 x

8w z当我们无视O1/w项，则即为旋转波近似：H 1 1eff

ds2

s,2 x其能级为：在d

E 2

d22, E 1d2, 2 4d那么能级差为：

Ed2,4d那么假设考虑O1/w项，则能级变为：1 22

1 2E d ,2 1 d d22

21 ,2w 2w1d2

2,2 4d 8w那么能级差为：

Ed

2,2d 4wBloch-Siegert位移。HF 0tHF 0t0H,n H,Hn 0einwt0n 0,Heint0nwnwnw我们知道：Ht

H2,H2H2,H0

H2,H0ei2t,F 0 0 2w1ds 1

2w2s

0 2w 02 z 2

8w z那么能级为：

ds 4w x 0

y

in2t0

2cos2wt4w

s,z1

2

1

2 d 2E2

8w12cos2t0

cos2wt2 4w 0

sint 4w 01d

2,2 4d 8w 这里我们准确到了O2/w。因此能级差为：Ed22,2d 4w我们可以看到在O2/wlevel上E不随初始时间变化。但是对角项：1d212cos

s,2 8w

0 z确实会随时间变化。5.Floqeut态之间的跃迁顿量中参加微扰：H(t)H(t)V(t),0Floquet态。这里的微扰可能是静态的，也率是怎么样的。那么我们就应当计算如下矩阵元：

A (t) mn

(t)U(t,0)n

(0),i y(t)Hy(t),t表象中的波函数和算符分别为：y(t)U(t,0)y(t),II

00

0则在相互作用表象下的薛定谔方程和海森堡方程分别为：i y(t)V(t)y(t),t I I IiAt)At),Ht),t I I 0那么很明显在相互作用表象下波函数的演化为：y(t

)

(t,t)y(t),I 1 I 1 0 I 0U,t)U,,t

,0),1 0 0 1 I 1 0 0 0则对于t0

0和t1

t我们有跃迁矩阵元：Aba(t)b(t)U(t,0)a(0),b(t)U0(t,0)UI(t,0)a(0),b(0)UI(t,0)a(0),依据一阶微扰，其中演化算符可以表示为：tU(t,tI 1 0

)ˆexp it0

1dtVI

(t),t1i1dtVt

(t),t I0则我们得到了矩阵元为：A (t)

(0)

(0)itdt (0)V(t