2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修2讲学案2直线圆的位置关系

4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系/亠中¥W位置大糸交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线Ax+By+C=0与圆(x—a)2+(y—b)2=r2的位置关系及判断宀护¥W位置大糸相交相切相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离 d—|Aa二B乌C|+Bdvrd—rd>rAx+By+C—0,代数法：由‘ 2 2 2l.(x—a)+(y—b)—r消元得到一元二次方程的判别式 △A>0A—0AV0［点睛］判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法.［小试身手］1.判断下列命题是否正确.(正确的打错误的打“x

TOC\o"1-5"\h\z如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切. ( )⑵直线x+2y—1=0与圆2x2+2y2—4x—2y+1=0的位置关系是相交.( )答案：⑴V⑵V2.设直线l过点P(—2,0),且与圆X2+y2=1相切，则I的斜率是( )A.±1 B.gC.年 D.±3解析：选C设I:y=k(x+2),即卩kx—y+2k=0.又I又I与圆相切,」2k|_1+k23•直线y=2x+3被圆x2+y2—6x—8y=0所截得的弦长等于 .解析：圆的方程可化为(x—3)2+(y—4)2=25.故圆心为(3,4),半径r=5.又直线方程为 2x—y+3=0，所以圆心到直线的距离为 d=12—3°+3|= ，所以弦长为 2寸r2—d2=寸4+12X25—5=220=45.答案：4,5滦堂讲练设计「举一能通类题滦堂讲练设计「举一能通类题直线与圆位置关系的判断［典例］⑴已知直线I:x—2y+5=0与圆C：(x—7)2+(y—1)2=36,判断直线I与圆C的位置关系.［解］［法一代数法］f 2 2(x—7)+(y—1)=36,由方程组g丿'丿x—2y+5=0消去y后整理，得5x2—50x+61=0.•/△=(—50)2—4X5X61=1280>0,•••该方程组有两组不同的实数解,即直线I与圆C相交.［法二几何法］

判断直线与圆的位置关系常见的方法：⑴几何法：利用d与r的关系.⑵代数法：联立方程之后利用 △判断.上述方法中最常用的是几何法.［活学活用］1.直线x—ky+1=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交 B.相离C.相交或相切 D.相切解析：选C直线x—ky+1=0恒过定点(—1,0)，而(—1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交.2.设m>0，则直线1：2(x+y)+1+m=0与圆O:x2+y2=m的位置关系为( )A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切切线问题解析：选C圆心到直线I的距离为d=，圆的半径为r=m,•••d—r=上尹一m=~(m—2.m+1)=2(m—1)2》0,-d>r，故直线I和圆O相切或相离.切线问题TOC\o"1-5"\h\z［典例］⑴若圆C：x2+y2+2x—4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是 ( )A.2 B.3C.4 D.6(2)过点A(—1,4)作圆(x—2)2+(y—3)2=1的切线I,求切线l的方程为 .［解析］⑴因为过圆外一点的圆的切线长 l、半径长r和这点到圆心的距离 d满足勾股定理，即l2=d2—r2,所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意易知圆心 C(—1,2),半径长r=2，点(a,b)在直线y=x—3上，所以点I一1—2一31厂(a,b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线 y=x—3的距离d,易求d=近=，所以切线长的最小值为pd2-r2=p(3迈2=4.22(2)•/(—1—2)+(4—3)=10>1,•••点A在圆外.当直线l的斜率不存在时，l的方程是x=—1，不满足题意.

设直线l的斜率为k，则切线I的方程为y—4=k(x+1),即kx—y+4+k=0.圆心(2,3)到切线I的距离为|2k—节4+k=1,<k+1解得k=0或k=—3，4因此，所求直线I的方程y=4或3x+4y—13=0.［答案］(1)C (2)y=4或3x+4y—13=0过圆上一点(xo,yo)的圆的切线方程的求法1先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为一1，由点斜式可得切线方k程•如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 y=y。或x=x°.过圆外一点(X0,y°)的切线方程的求法设切线方程为y—y°=k(x—x°),由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 k，也就得切线方程•当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 x=X。，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条•一般不用联立方程组的方法求解.求切线长最小值的两种方法(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.［活学活用］1.圆x2+y2=4在点PC3，—1)处的切线方程为()A.,3x+y—2=0 B.3x+y—4=0C.3x—y—4=0 D.3x—y+2=0解析：选C•/(3)2+(—1)2=4，「.点P在圆上.•••切点与圆心连线的斜率为一 J，：切线的斜率为［3，3•••切线方程为y+1=3(x— 3)，即.3x—y—4=0.2.点P是直线2x+y+10=0上的动点，PA，PB与圆x2+y2=4分别相切于A，B两点,则四边形PAOB面积的最小值为 .解析：如图所示，因为S四边形paob=2Sapoa.又OA丄AP,

所以S四边形paob=2X2|OAIIPA|=2|OP|2-|OA|2=2|OP|2—4.为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x+y+10=0的距离:lOPl距离:lOPlmin=10_22+1225.故所求最小值为2 ^52—4=8.題型三答案：8題型三弦长问题［典例］如果一条直线经过点M—3,—2且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8，求这条直线的方程.［解］圆x2+y2=25的半径长r为5,直线被圆所截得的弦长 1=8，于是弦心距d=因为圆心O(O,O)到直线x=—3的距离恰为 3,所以直线x=—3是符合题意的一条直33k—3线•设直线y+2=k(x+3)也符合题意，即圆心到直线kx—y+3k—号=33k—33=3，解得k=—-.4故直线的方程为3x+4y+15=0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x=—3禾口3x+4y+15=0.涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：由于半径长r、弦心距d、弦长I的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理 d2+22=r2求解，这是常用解法.联立直线与圆的方程，消元得到关于 x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解•此解法很烦琐，一般不用.［活学活用］1.在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y—3=0被圆(x—2)2+(y+1)2=4截得的弦长为

解析：因为圆心(2,—1)到直线x+2y—3=0的距离d=|2—^3|=希，所以直线x+2y—3=0被圆截得的弦长为 2-4—5=2答案：譬52.过点(3,1)作圆(x—2)2+(y—2)2=4的弦，其中最短弦的长为 解析：设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦,|CA|= 2—32+2—12=2.•••半弦长= r2—|CA|2=4—2=2.•••最短弦的长为22.答案：22课店层级训练课店层级训练•步母提升能力层级一学业水平达标1.直线3x+4y+12=0与圆C:(x—1)2+(y—1)2=9的位置关系是( )A.相交并且直线过圆心 B.相交但直线不过圆心C.相切 D.相离解析：选D圆心C(1,1)到直线的距离解析：选D圆心C(1,1)到直线的距离d=|3X1+4X1+12|=32+42—=¥，圆C的半径r=3，则5d>r，所以直线与圆相离.2.圆x2+y2—4x+4y+6=0截直线x—y—5=0所得的弦长等于(A..6C.1 D.5解析：选A圆的方程可化为(x—2)2+(y+2)2=2，则圆的半径r=2，圆心到直线的距离d=年孑1=¥，所以直线被圆截得的弦长为 2百—d2=2^2—2=^6.3.以点(2,—1)为圆心，且与直线3x—4y+5=0相切的圆的方程为( )A.(x—2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y—1)2=3C.(x+2)2+(y—1)2=9 D.(x—2)2+(y+1)2=9解析：选D圆心到直线3x—4y+解析：选D圆心到直线3x—4y+5=0的距离d=|6+4+5|5=3,即圆的半径为3,所以所求圆的方程为(x—2)2+(y+1)2=9.4•若直线x—y=2被圆（x—a）2+y2=4所截得的弦长为22，则实数a的值为（ ）A•0或4 B•0或3C•—2或6 D•—1或3解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为 （a,0），半径r=2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离 22，所以圆心到直线的距离 d=i2=承.又d=1^~^2|,所以|a—2|=2，解得a=4或a=0.故选A.a2+b2=2c2（e0）,则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为（ ）1A.2D.2解析:|c|选D圆心到直线的距离解析:|c|选D圆心到直线的距离d=—玄爲二12，设弦长为h圆的半径为r，则d2=r2,即1=2r2—d2=2.226•已知直线ax+y—2=0与圆心为C的圆（x—1）+（y—a）=4相交于A,B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= .解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于 a的方程，解方程求a.圆心C（1,a）到直线ax+y—2=0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|pa+1加h加h12=22,解得a=4±15.=|BC|=2，所以答案：4±_157•已知圆C的圆心是直线x—y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为解析：令y=0得x=—1,所以直线x—y+1=0与x轴的交点为（一1,0）•因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r=|-1+；+3|=.2,所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2.答案：（x+1）2+y2=28.点M,N在圆x2+y2+kx+2y+4=0上，且点M,N关于直线x—y+1=0对称，则该圆的半径是 解析：由题知，直线x—y+1=0过圆心一2，—1,即—k+1+1=0,二k=4.2=1.答案：19•一圆与y轴相切，圆心在直线 x—3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2, 求此圆的方程.解：因为圆与y轴相切，且圆心在直线 x—3y=0上，故设圆的方程为(x—3b)2+(y—b)2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为27,则有也罕型)+(Q7)2=9b2,I^2丿*解得b=±1,故所求圆的方程为(x—3)2+(y—1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.10.设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线 x—y+1=0相交的弦长为2・,2，求圆的方程.解：设所求圆的方程为(x—a)2+(y—b)2=r2，则圆心为(a,b),半径长为r.•••点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A'仍在这个圆上，.••圆心(a,b)在直线x+2y=0上.•••a+2b=0，①且(2—a)2+(3—b)2=r2.②又•••直线x—y+1=0与圆相交的弦长为22,...r2—d2=r2—|a-罕1|2=(2)2.③解由方程①②③组成的方程组，得｛a=6, b=—3, r2=52或｛a=14, b=—7, r2=244.•••所求圆的方程为(x—6)2+(y+3)2=52或(x—14)2+(x+7)2=244.层级二应试能力达标1.直线I:mx—y+1—m=0与圆C:x2+(y—1)2=1的位置关系是( )A.相交 B.相切C.相离 D.无法确定，与m的取值有关

解析：选A圆心到直线的距离d=—m罟=淖当v1=r，故选A.2.直线x+7y—5=0截圆x2解析：选A圆心到直线的距离d=—m罟=淖当v1=r，故选A.2.直线x+7y—5=0截圆x2+y2=1所得的两段弧长之差的绝对值是A：3nD.?解析：选C圆心到直线的距离d=2丁°5!=乂2.又圆的半径r=1,屮+49 2•••直线x+7y—5=0被圆x2+y2=1截得的弦长为，2,「.直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，•劣弧是整1个圆周的1,.••直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即4223.直线I与圆x+y+2x—4y+a=0(av3)相交于A,B两点，若弦AB的中点为C(—2,3),则直线I的方程为( )x+y—1=0x+y—3=0C.x—y—5=0解析：选A由圆的一般方程可得圆心为 M(—1,2).由圆的性质易知M(—1,2)与C(—2,3)的连线与弦AB垂直，故有kABXkMc=—1?kAB=1,故直线AB的方程为y—3=x+2,整理得x—y+5=0.4.与圆C:x2+y2—4x+2=0相切，且在x,y轴上的截距相等的直线共有 (解析：选D.4条C圆C的方程可化为(x—2)2+y2=2.可分为两种情况讨论:(1)直线在x,y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y=kx,则|2k| 2—Z=2，解得k=±1；(2)直线在x+y—a=x,y轴上的截距均不为0,则可设直线方程为x+(2)直线在x+y—a=aa0(a^0)，则 ，解得a=4(a=0舍去).因此满足条件的直线共有 3条.5.过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x—2y—4=0的交点且与y=x相切的圆的方程为解析：设所求圆的方程为x2+y2+4x—2y—4+心+y+4)=0.联立方程组{y=x,x2+y2+4x—2y—4+入x+y+4=0,得x2+(1+”x+2(X—1)=0.因为圆与y=x相切，所以△=0,即(1+X2—8(X—1)=0,贝UX=3,故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.答案：x2+y2+7x+y+8=06.过原点O作圆x2+y2—6x—8y+20=0的两条切线，设切点分别为 P,Q,则线段PQ

的长为 .解析：圆的方程化为标准方程为 (x—3)2+(y—4)2=5,示意图如图示•则圆心为0'(3,4),r= 5.|0P||0'P|=|00'|=4.切线长|0P|= |00'|2—|0P||0'P|=|00'|=4.答案：4227.已知点A(1,a),圆0:x+y=4.若过点A的圆0的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆 0截得的弦长为23，求实数a的值.解：⑴由于过点A的圆0的切线只有一条，则点A在圆上，故12+a2=4,•a=±3.当a=3时，A(1, 3)，切线方程为x+3y—4=0;当a=—,3时，A(1,—3)，切线方程为x—3y—4=0.(2)设直线方程为x+y=b.•••直线过点A,「.1+a=b,即a=b—1.①由①②，得｛a= —1, b=2或｛a=—,2—1, b=—,2.228.已知直线I:2mx—y—8m—3=0和圆C:x+y—6x+12y+20=0.(1)m€R时，证明I与C总相交；⑵m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长.解：(1)证明：直线的方程可化为y+3=2m(x—4),由点斜式可知，直线过点 P(4,—3).由于42+(—3)2—6X4+12X(—3)+20=—15<0,所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交.(2)圆的方程可化为(x—3)2+(y+6)2=25.如图，当圆心C(3,—6)直线l的距离最大时，线段 AB的长度最短.—3—(—6\此时PC丄l，又kpc= =3,4—3所以直线i的斜率为一3,

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1则2m=—-，所以m=--.\o"CurrentDocument"3 6在Rt△APC中，|PC|= 10,AC|=r=5.所以|AB|=2|AC|2—|PC|2=2.15.故当m=—*时，I被C截得的弦长最短，最短弦长为 215.4.2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用课前课前口主学刖.竝穗才能樓亦预习课本P129〜132,思考并完成以下问题 圆与圆的位置关系有哪几种？它们分别怎样去判断?.两圆相交，怎样求公共弦所在的直线方程?•两圆相交，圆心连线与两圆的公共弦有什么关系?［新知初探］圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含. 圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下：宀护¥W宀护¥W位置大糸外离外切图示d与r1,「2的关系d>电土r?d=r吐I2相交内切内含mi12|^dd<|r1—r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为2222C1:x+y+D1X+E1y+F1=0(D1+E1—4F1>0),C2：x+y+D2X+E2y+F2=0(d2+e2—4F2>0),联立方程得<产2 2x+y+D1X+E1y+F1=0,2 2x+y+D2X+E2y+F2=0,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含［点睛］⑴圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；⑵圆和圆相交，两圆有两个公共点；⑶圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切.［小试身手］TOC\o"1-5"\h\z1.判断下列命题是否正确.(正确的打错误的打“X” )⑴如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切 ( )如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 ( )从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()⑷过圆O:x2+y2=r2外一点P(xo,yo)作圆的两条切线，切点为A,B，贝UO,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是xox+yoy=r2( )答案：⑴X(2)X(3)X(4)V2.圆(x+2)2+y2=4与圆(x—2)2+(y—1)2=9的位置关系为( )A•内切 B•相交C.外切 D.相离解析：选B两圆的圆心分别为(一2,0),(2,1)，半径分别为r=2,R=3,两圆的圆心距离为.一2—22+0—12=17，贝UR—r<,17<R+r，所以两圆相交，选 B.3.已知两圆x2+y2=10和(x—1)2+(y—3)2=20相交于A,B两点，则直线AB的方程是解析：圆的方程(x—1)2+(y—3)2=20可化为x2+y2—2x—6y=10.又x2+y2=10,两式相减得2x+6y=0,即卩x+3y=0.答案：x+3y=0滦堂讲练设计，举一能通类题滦堂讲练设计，举一能通类题对应学生用书P61圆与圆位置关系的判断［典例］已知两圆Ci：x2+y2+4x+4y—2=0,C2：x2+y2—2x—8y—8=0，判断圆G与圆C2的位置关系.［解］［法一几何法］把圆Ci的方程化为标准方程，得 (x+2)2+(y+2)2=10.圆Ci的圆心坐标为(一2,—2)，半径长冷=：.,；10.把圆C2的方程化为标准方程，得 (x—1)2+(y—4)2=25.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r2=5.圆C1和圆C2的圆心距d= —2—12+—2—42=35,又圆C1与圆C2的两半径长之和是门+「2=5+10,两半径长之差是 门一R=5—10.而5—\；10<3冷5<5+r'10，即「2—r1<dvn+「2,所以两圆的位置关系是相交.［法二代数法］将两圆的方程联立得到方程组x2+y2+4x+4y—2=0，①x2+y2—2x—8y—8=0，②由①一②得x+2y+1=0,③由③得x=—2y—1,把此式代入①，并整理得y2—1=0,④所以y1=1,y2=—1,代入x+2y+1=0得x1=—3,x2=1.所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(一3,1),(1,—1)，即两圆的位置关系是相交.几何法：将两圆的圆心距 d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.［活学活用］到点A(—1,2),B(3,—1)的距离分别为3和1的直线有 条.

解析：到点A(-1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，至U B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|= 3+1 圆系方程一般地过圆C1：x2+y2 圆系方程一般地过圆C1：x2+y2+D1X+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D?x+E?y+F2=0交点的圆的方程可设为：x2+y2+D1X+E1y+F1+心2+y2+D?x+E?y+F2)=0(入工一1),然后再由其他条件求出入即可得圆的方程. 两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(Dp-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.半径之和为3+1=4,因为5>4,所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有 4条.答案：4ma与两圆相交有关的问题ma与两圆相交有关的问题［典例］求经过两圆X2+y2+6x—4=0和x2+y2+6y-28=0的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程..■22x+y+6x-4=0,［解］法一：解方程组’2丄2丄Q C 得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2).x+y+6y-28=0,设所求圆的圆心为(a,b),因为圆心在直线 x—y-4=0上，故b=设所求圆的圆心为(a,则有a+12+a-4-32=•a+62+a-4+22,解得a=2,故圆心为2，—2,故圆的方程为％-(y+2;=89,即x2+y2-x+7y-32=0.法二：•••圆x2+y2+6y-28=0的圆心(0,-3)不在直线x-y-4=0上，故可设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+心2+y2+6y-28)=0(苗-1),其圆心为一1:入,—和：，代入x—y-4=0，求得=-7.故所求圆的方程为 x2+y2-x+7y-32=0.

公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.［活学活用］求两圆x2+y2-2x+10y—24=0和x2+y2+2x+2y—8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.x?+y2—2x+10y—24=0,解：联立两圆的方程得方程组 *2 2 两式相减得x—2y+4=0，此x2+y2+2x+2y—8=0,为两圆公共弦所在直线的方程.TOC\o"1-5"\h\zx—2y+4=0, -法一：设两圆相交于点A,B，贝UA,B两点满足方程组2 2 解得x+y+2x+2y—8=0,『 fx=—4, x=0,f 或"iy=0 y=2.所以|AB|=_—4—02+0—22=25，即公共弦长为25.法二：由x2+y2—2x+10y—24=0，得(x—1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,—5)，半径长r=5迄，圆心到直线x—2y+4=0的距离为d=|1—2 5卯.心+(—2)设公共弦长为21,由勾股定理得r2=d2+I2,即50=(35)2+I2,解得I=,5,故公共弦长21=25.直线与圆的方程的应用［典例］为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地 (如图)，它的附近有一条公路，从基地中心0处向东走1km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7km到达公路上的点B;从基地中心0向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点 D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.［解］以O为坐标原点，OB,OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2+y2=1,因为点B(8,0),C(0,8)，所以直线BC的方程为8+8=1,即卩x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时， DE为最

短距离•此时DE短距离•此时DE的最小值为1=(42—1)km.⑴审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；建系：建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际冋题中建立直线与曲线的方程；求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；还原：将运算结果还原到实际问题中去.［活学活用］一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北 40km处,(7,0)，则轮船航线(7,0)，则轮船航线解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为 x轴建立直角坐标系图所示)，其中取10km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对的圆的方程为x2+y2=9,港口所对应的点的坐标为 (0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为所在直线l的方程为X+y=1,即卩4x+7y—28=0,圆心(0,0)到1:4x+7y—28=0的距离d=28 =28 =_2^42+72=65,所以直线与圆相离•故轮船不会受到台风的影响.课晴层级训练*步步提升能力层级一学业水平达标1.已知两圆分别为圆Ci:x2+/=81和圆C2:x2+y2—6x—8y+9=0，这两圆的位置关玄阜系是B.相交D.外切B.相交D.外切C.内切解析：选C圆5的圆心为5(0,0)，半径长n=9;圆C2的方程化为标准形式为(x—3)2+(y—4)2=4,圆心为C2(3,4)，半径长r2=4，所以|GC2|=i[3—02+4—0]=5.因为冷一「2=5,所以IC1C2I=r1—%所以圆C1和圆C2内切.2.两圆x2+y2=r2,(x—3)2+(y+1)2=r2外切，则正实数r的值是( )A.10

解析：选B由题意，知2r= 32+12=.10,p-^0..圆Oi：x2+y2—6x+16y—48=0与圆O2:x2+y2+4x—8y—44=0的公切线条数为()A.4条 B.3条C.2条 D.1条解析：选C圆Oi为(x—3)2+(y+8)2=121,Oi(3,—8),r=11,圆。2为(x+2)2+(y—4)2=64,0?(—2,4),R=8,TOC\o"1-5"\h\z|。102|=寸(3+2$+(-8- =13,•••r—RvIO1O2IvR+r,•••两圆相交.•••公切线有 2条..圆x2+y2—4x+6y=0和圆x2+y2—6x=0交于A,B两点，贝VAB的垂直平分线的方程是( )A.x+y+3=0 B.2x—y—5=0C.3x—y—9=0 D.4x—3y+7=0解析：选CAB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心 (2,—3)代入，即可排除A、B、D.30km内的地区为危5.台风中心从A地以2030km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区内的时间为( )A.0.5h B.1hC.1.5h D.2h解析：选B如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得|MN|=20,二时间为1h.6.若圆x2+y2—2ax+a2=2和x2+y2—2by+b2=1外离，则a,b满足的条件是解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为 (a,0), 2和(0,b),1,因为两圆相离，所以,a2+b2>.2+1,即a2+b2>3+22.答案：a2+b2>3+227.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay—6=0(a>0)的公共弦的长为沏3,贝Va= .解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为 (x2+y2+2ay—6)—(x2+y2)=0—41?y=丄，又a>0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，a可知1= 22—3 1?a=1.答案：18.经过直线x+y+1=0与圆x2+y2=2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为解析：由已知可设所求的圆的方程为 x2+y2—2+心+y+1)=0,将(1,2)代入可得X=-3,故所求圆的方程为x2+y2—3x—3y—11=0.4 4 42 2 3 3 11c答案：x+y—4x―4y—4=09•求与圆C:x2+y2—2x=0外切且与直线l:x+3y=0相切于点M(3，—3)的圆的方程.解：圆C的方程可化为(x—1)2+y2=1,圆心C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x—a)2+(y—b)2=r2(r>0),1<p(a—12+b2=r+1,由题意可知Jx—」=—1 a=4,a—3I3丿,解得彳b=0,11|a+V3b|r L=2.—r,所以所求圆的方程为(x—4)2+y2=4.10.已知两圆x2+y2—2x—6y—1=0和x2+y2—10x—12y+m=0.m取何值时两圆外切？m取何值时两圆内切？⑶求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解：两圆的标准方程为： (x—1)2+(y—3)2=11,(x—5)2+(y—6)2=61—m,圆心分别为M(1,3),N(5,6)，半径分别为11和61—m.当两圆外切时，-：i：5—12+6—32= 11+ 61—m,解得m=25+1011.当两圆内切时，因定圆的半径 .11小于两圆圆心间距离 5,故只有，61—m—■.11=5,解得m=25—1011.两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2—2x—6y—1)—(x2+y2—10x—12y+45)=0，即4x+3y—23=0,•••公共弦长为2寸(阿—产器;；2-23几=2护.层级二应试能力达标.若圆Ci:X2+y=1与圆C2：X2+y2—6x—8y+m=0外切，则m=( )A.21 B.19C.9 D.—11解析：选C依题意可得圆C1：x2+/=1与圆C2：x2+y2—6x—8y+m=0的圆心分别为C1(0,0),C2(3,4)，则C1C2|=寸33+42=5.又R=1,「2=寸25—m，由门+"=、•_[25—m+1=5,解得m=9..若圆x2+y2=r2与圆x2+y2+2x—4y+4=0有公共点，贝Vr满足的条件是( )A.r<5+1 B.r>5+1C.|r—5|<1 D.|r—.5|<1解析：选D由x2+y2+2x—4y+4=0，得(x+1)2+(y—2)2=1，两圆圆心之间的距离为，—12+22=5.v两圆有公共点，••• |r—1|<5<r+1,a5—Kr<5+1,即一Kr—、•.：5W1,•|r—■■-:5|w1..圆(x+2)2+y2=5关于直线x—y+1=0对称的圆的方程为( )A.(x—2)2+/=5 B.x2+(y—2)2=5C.(x—1)2+(y—1)2=5 D.(x+1)2+(y+1)2=5解析：选D由圆(x+2)