清华版数字电子

第二章逻辑代数基础2.1概述基本概念

在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。此时，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。2.2逻辑代数中的三种基本运算

与（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；

以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；

三种电路代表了三种不同的因果关系：电路状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮S1S2灯电源１．与运算

(1)与逻辑:只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。与逻辑举例

逻辑真值表ABL001010110001与逻辑举例状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮逻辑表达式与逻辑：L=A·Ｂ=AB

与逻辑符号ABL&ABL电路状态表开关S1开关S2灯断断灭断合亮合合断亮合亮

２、或运算只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或逻辑关系。S1灯电源S2或逻辑举例逻辑真值表ABL001010110111或逻辑举例状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮逻辑表达式或逻辑：L=A+Ｂ

或逻辑符号ABLBL≥1A非逻辑举例状态表A灯断开亮闭合灭

3.非运算事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为非逻辑关系。非逻辑举例非逻辑符号逻辑表达式:L=A非逻辑真值表AL0110非逻辑举例状态表A灯断开亮闭合灭A1LAL两输入变量与非

逻辑真值表ABL001010111110ABLAB&L与非逻辑符号4.几种常用复合逻辑运算与非逻辑表达式L=A·B1)与非运算两输入变量或非

逻辑真值表ABL001010111000B≥1AABLL或非逻辑符号2)或非运算L=A+B或非逻辑表达式

3)异或逻辑若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。异或逻辑真值表ABL000101011110BAL=1ABL异或逻辑符号异或逻辑表达式L=AB+AB=A

B

4)同或运算

若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。同或逻辑真值表ABL001010111001B=ALABL同或逻辑逻辑符号同或逻辑表达式L=AB+=A

B

2.3.1基本公式

2.3.2常用公式2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式序号公式序号公式10

1′

=0;0′=110A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A证明方法：推演真值表公式（17）的证明（公式推演法）：公式（17）的证明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式序号公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′公式证明：2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理

------在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。应用举例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)应用举例：式（8）2.4.2反演定理

-------对任一逻辑式

变换顺序先括号，然后乘，最后加不属于单个变量的上的反号保留不变应用举例：2.4.3对偶定理对偶定理：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等对偶式：2.5.1逻辑函数Y=F(A,B,C,······)

------若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。因此输入/输出之间是一种函数关系。注：在二值逻辑中， 输入/输出都只有两种取值0/1。2.5逻辑函数及其表示方法2.5.2逻辑函数的表示方法真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换真值表输入变量ABC····输出Y1Y2

····遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表例：ABCY00000010010001101000101111011111真值表举重裁判电路逻辑式

将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。逻辑式：例：逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。逻辑图：例：波形图

将输入变量所有可能取值与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。ABCYooootttt卡诺图EDA中的描述方式

HDL(HardwareDescriptionLanguage)VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)VerilogHDL EDIF DTIF。。。

真值表逻辑式：1.找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。3.将这些乘积项相加即得Y。4.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表各种表现形式的相互转换：例：奇偶判别函数的真值表（判断1的个数的奇偶）A=0,B=1,C=1使A′BC=1A=1,B=0,C=1使AB′C=1A=1,B=1,C=0使ABC′=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以Y=?ABCY00000010010001111000101111011110逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。逻辑式逻辑图2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。

波形图真值表

1.从波形图中找出每个时间段内输入变量与函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就得到了真值表。

2.将真值表中所有的输入变量与对应的输出变量取值依次排列画成以时间为横轴的波形，就得到了所求的波形图。例：ABCYoooottttABC0000010100110010111011101100101Y真值表最小项m：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。对于n变量函数有2n个最小项2.5.3逻辑函数的两种标准形式

最小项之和最大项之积

最小项举例：两变量A,B的最小项三变量A,B,C的最小项最小项的编号：最小项取值对应编号ABC十进制数0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1。任何两个最小项之积为0。两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。

------相邻：仅一个变量不同的最小项如逻辑函数最小项之和的形式：例：1.将给定的逻辑函数式化成若干乘积项之和的形式2.利用将每个乘积项中缺少的因子补全。例：2.6逻辑函数的化简法逻辑函数的最简形式

在与或逻辑函数式中，包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。2.6.1公式化简法反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。

1）并项法例：2）吸收法例：3）消去法例：4）取消法例：5）配项法例：F=AˊBC+(A+B′)C

F=ABD+AB′CD′+AC′DE+A

练习：2.6.2卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示法1.N变量最小项的卡诺图

以2n个小方块分别代表n变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。

表示最小项的卡诺图4变量的卡诺图二变量卡诺图三变量的卡诺图五变量的卡诺图1.将函数表示为最小项之和的形式。2.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0。用卡诺图表示逻辑函数例：用卡诺图化简函数原理：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。

在用卡诺图表示逻辑函数时，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。合并最小项的原则：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子四个相邻最小项可合并为一项，消去两对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子化简步骤：

------用卡诺图表示逻辑函数

------找出可合并的最小项

------化简后的乘积项相加 （项数最少，每项因子最少）

用卡诺图化简函数卡诺图化简的的原则化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即覆盖图中所有的1。乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少。每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大。例：

00

01

11

1001ABC例：

00

01

11

100011111101ABC例：

00

01

11

100011111101ABC例：化简结果不唯一例：0001111000011110ABCD例：00011110001001011001111111101111ABCD2.7具有无关项的逻辑函数及其化简

2.7.1约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项在逻辑函数中，对输入变量取值的限制，在这些取值下为1的最小项称为约束项例如A，B，C表示电机的正转，反转和停止的命令，A=1正转，B=1反转，C=1停止，电机的工作状态的逻辑函数可以写成：约束项ABC取值只能是100，010，001不能为000，011，101，110，111逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。在输入变量某些取值下，函数值为1或为0不影响逻辑电路的功能，在这些取值下为1的最小项称为任意项例如电机的电路设计成当ABC中出现两个以上1或者全为0时，电机自动断电停止，Y1,Y2,Y3等于1还是等于0已无关紧要，电机已断电停止。任意项既然可以认为无关项包含于函数中，也可以不包含在函数式中，那么在卡诺图中对应的位置上就可以填入1，也可以是0，为此在卡诺图中用x表示无关项，在化简逻辑函数时既可以认为它是1，也可以是0。2.7.2无关项在化简逻辑函数中的应用合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少······

从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形圈最大，矩形组合数最少。0001111000101111101ABCD000111100001x0010x1011x0xx101x0xABCD000111100001x0010x1011x0xx101x0xABCD例：00011110000001011x0111xxxx1010xxABCD第一章习题2.将下列二进制整数转化为等值的十进制数5.将下列二进制整数转化为等值的八进制数和十六进制数6.将下列十六进制整数转化为等值的二进制数11.写出下列带符号位二进制数的反码和补码13.计算下列用补码表示的二进制数的代数和（5）11011101+01001011=00101000110111010100101100101000+（8）11111001+10001000=11111111111110011000100010000001+15.用二进制补码运算下列各式(7).-12-5-12：原码：101100，反码：110011，补码：110100-5：原码：100101，反码：111010，补码：111011110100111011101111+101111的原码：110001(8).-16-14-16：原码：110000，反码：101111，补码：110000-14：原码：101110，反码：110001，补码：110010110000110010100010+100010的原码：111110第二章习题3.已知逻辑函数Y1和Y2的真值表如下图所示，写出

Y1和Y2的逻辑函数式4.已知逻辑函数Y1和Y2的真值表如下图所示，写出

Y1和Y2的逻辑函数式6.写出图2.6(a),2.6(b)所示的电路的逻辑函数式7.写出图2.7(a),2.7(b)所示的电路的逻辑函数式10.将下列各函数式化为最小项之和的形式14.利用逻辑代数的基本公式和常用公式化简下列各式15.利用逻辑代数的基本公式和常用公式化简下列各式16.写出图2.16中各卡诺图所表示的逻辑函数式17.用卡诺图化简法化简以下逻辑函数00011110000111111111011ABCD000111100011110111111101111ABCD23.将下列具有无关项的逻辑函数化为最简的与或逻辑式

00

01

11

10011111XXABC0001111000XX1X01X1111110X1AB