高中数学第8章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用训练提升新人教版选修3

8.2一元线性回归模型及其应用课后·训练提升基础巩固1.(多选题)研究变量x,y得到一组样本数据,进行回归分析,以下说法正确的是()A.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好B.用决定系数R2来刻画拟合效果,R2越小说明拟合效果越好C.在经验回归方程y^=0.2x+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量y^平均增加0.D.若变量y和x之间的样本相关系数为r=-0.9462,则变量y和x之间的负相关性很强答案:ACD解析:对于A,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故A正确;对于B,用决定系数R2来刻画拟合效果,R2越大,说明拟合效果越好,故B错误;对于C,在经验回归方程y^=0.2x+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量y^平均增加0.2个单位,故C对于D,若变量y和x之间的样本相关系数为r=-0.9462,r的绝对值趋向于1,则变量y和x之间的负相关性很强,故D正确.2.有一名同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计得到了一个热饮销售杯数y与当天气温x(单位:℃)之间的线性关系,其经验回归方程为y^=-2.35x+155.47.如果某天气温为4℃,那么该小卖部大约能卖出热饮的杯数是(A.140 B.146 C.151 D.164答案:B解析:当某天气温为4℃时,即x=4,则y^=-2.35×4+155.47=146.07≈1463.某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:x16171819y50344131由上表可得经验回归方程y^=b^x+a^中的b^=-5,据此模型预测当零售价为14.5A.51 B.50 C.54 D.48答案:C解析:由题意知x=17.5,y=39,代入经验回归方程得a^=126.5,经验回归方程为y^=-5x+126.5,当x=14.5时,y^=126.5-14.5×5=54,4.某产品的销售额y(单位:万元)与月份x的统计数据如表.用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程为y^=7x+a^,则实数a^=x3456y25304045A.3 B.3.5 C.4 D.10.5答案:B解析:x=3+4+5+64=y=25+30+40+45样本点的中心为(4.5,35),代入y^=7x+a^,得35=7×4.5+a^,即a^=5.某校课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,由实验数据得到的散点图如图所示.由此散点图,在10℃至40℃之间,最适宜作为发芽率y和温度x的经验回归方程类型的是()A.y=a+bx B.y=a+blnxC.y=a+bex D.y=a+bx2答案:B解析:由题中散点图知,在10℃至40℃之间,发芽率y和温度x所对应的点(x,y),分布在一个对数函数的图象附近,因此最适合作为发芽率y和温度x的经验回归方程类型的是y=a+blnx.故选B.6.对变量x,y进行回归分析时,依据得到的4个不同的回归模型画出残差图,则下列模型拟合精度最高的是()答案:A解析:用残差图判断模型的拟合效果,残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高.7.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=12x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为.答案:1解析:根据样本相关系数的定义可知,所有样本点都在一条直线上,又12>0,故样本相关系数为18.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出经验回归方程,设z=lny,将其变换后得到经验回归方程z^=0.2x+3,则c,k的值分别是,.答案:e30.2解析:由题意,y=cekx,等式两边同时取对数可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=kx+lnc.因为z=lny,所以z=kx+lnc.因为z^=0.2x+3,所以k=0.2,lnc=3,所以c=e3,k=0.29.关于x与y有如下数据:x24568y3040605070有以下两个线性模型:①y^=6.5x+17.②y^=7x+17试比较哪一个模型拟合效果更好.解:由①可得yi-y^i与yi-yyi-y-0.5-3.510-6.50.5yi-y-20-1010020∴∑i=15(yi-y^i)2=(-0.5)2+(-3.5)2+102+(-6.5)2+0∑i=15(yi-y)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202∴R12=1-∑i=15(yi-由②可得yi-y^i与yi-yyi-y-1-58-9-3yi-y-20-1010020∴∑i=15(yi-y^i)2=(-1)2+(-5)2+82+(-9)2+(∑i=15(yi-y)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202∴R22=1-∑i=15(yi-由于R12=0.845,R22=0.82,0.845>0.82,∴R110.某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:次数x3033353739444650成绩y3034373942464851(1)作出散点图;(2)求出经验回归方程;(3)作出残差图;(4)计算R2;(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩.解:(1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图,如图,由散点图可知,它们之间具有线性相关关系.(2)计算可得x=39.25,y=40.875,∑i=18xi2=12656,∑设经验回归方程为y^=b则b^=∑i=18xiy故经验回归方程为y^=1.04148x-0.00309(3)作残差图如图.(4)计算得R2≈0.9855.(5)将x=47和x=55分别代入该方程可得y^≈49和y^≈故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.能力提升1.对于经验回归方程y^=b^x+a^(A.当x增加一个单位时,y^的值平均增加bB.点(x,y)一定在y^C.当x=t时,一定有y=b^t+D.当x=t时,y的值近似为b^t+答案:C解析:经验回归方程是一个模拟函数,它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律,因此有些散点不一定在经验回归直线上.2.符合下列数据的函数模型为()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A.y=2+13x B.y=2eC.y=2e1x D.y=2+答案:D解析:分别将x值代入解析式判断知满足y=2+lnx.3.为了考查两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两名同学各自独立地做了100次和150次试验,并且利用最小二乘法求得的经验回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值都是t,那么下列说法中正确的是()A.l1与l2有交点(s,t)B.l1与l2相交,但交点不一定是(s,t)C.l1与l2必定平行D.l1与l2必定重合答案:A解析:经验回归直线l1,l2都过样本点的中心(s,t),但它们的斜率不确定,故选项A正确.4.研究两个变量的相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=ebx+a的周围.令z^=lny,求得经验回归方程为z^=0.25x-2.58,则该模型的经验回归方程为.答案:y^=e0.25x-2.解析:因为z^=0.25x-2.58,z^=ln所以y^=e0.25x-2.585.已知样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)的经验回归方程为y^=2x+a^,若样本点(r,1)与(1,s)的残差相同,则s与r的关系式为答案:s=3-2r解析:∵经验回归方程为y^=2x+a^,样本点(r,1)与(1,s)的残差相同,∴1-(2r+a^)=s-(2+a^),即s=3故答案为s=3-2r.6.已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为Pi(xi,yi)(i=1,2,…,6),经验回归方程为y^=2x+a^,若OP1+OP2+…+OP6=答案:-1解析:由题意可得,x=16(x1+x2+…+x6)=126=2,y=16(y1+y2+…+y因为经验回归方程为y^=2x+a所以3=2×2+a^,解得a^=-7.某市春节期间7家超市的广告费支出xi(单位:万元)和销售额yi(单位:万元)的数据如下:超市ABCDEFG广告费支出xi1246111319销售额yi19324044525354(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系,求y关于x的经验回归方程.(2)若用对数回归模型拟合y与x的关系,可得经验回归方程y^=12lnx+22,经计算得出线性回归模型和对数回归模型的R2分别约为0.75和0.97,请用R2说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额参考数据及公式:x=8,y=42,∑i=17xiyi=2794,∑i=17xi2=解:(1)b^=∑ia^=y-故y关于x的经验回归方程是y^=1.7x+28.4(2)因为0.75<0.97,所以对数回归模型更合适.当x=8时,y^=12×ln8+22≈47.2,预测A超市销售额为47.2万元8.假设关于某设备的使用年限x(单位:年)和支出的维修费用y(单位:万元),统计资料如下表所示:使用年限x/年23456维修费用y/万元2.23.85.56.57.0若由资料知y关于x呈线性相关关系,试求:(1)经验回归方程y^=b(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?(3)计算残差平方和.(4)求R2并说明模型的拟合效果.解:(1)将已知条件制成下表.i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x4