高中数学第8章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验训练提升新人教版选修3

8.3列联表与独立性检验课后·训练提升基础巩固1.高二第二学期期中考试,按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后,得到如下列联表:单位:人班级数学成绩合计优秀及格甲班113445乙班83745合计197190则随机变量χ2的值约为()A.0.600 B.0.828 C.2.712 D.6.004答案:A解析:根据列联表中的数据,可得随机变量χ2=90×(11×37-34×2.分类变量X和Y的列联表如下,则下列说法判断正确的是()XY合计Y1Y2X1aba+bX2cdc+d合计a+cb+da+b+c+dA.ad-bc越小,说明X和Y关系越弱B.ad-bc越大,说明X和Y关系越强C.(ad-bc)2越大,说明X与Y关系越强D.(ad-bc)2越接近于0,说明X与Y关系越强答案:C解析:2×2列联表可以较为准确地判断两个变量之间的相关关系,由χ2=(a+b+c+d)(ad-bc)2(a+b)(3.有两个分类变量X,Y,其列联表如下所示,XYY1Y2X1a20-aX215-a30+a其中a,15-a均为大于5的整数,若变量X与Y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05,则a的值为()A.8 B.9 C.8或9 D.6或8答案:C解析:根据公式,得χ2=65×[a(30+a根据a>5,且15-a>5,a∈Z,求得当a=8或9时满足题意.4.若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2≈4.013,那么可以认为两个变量有关系,这个结论犯错误的概率不超过()α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.0.005 B.0.05 C.0.01 D.0.001答案:B解析:由一个2×2列联表中的数据计算得χ2≈4.013,因为χ2≈4.013>3.841=x0.05,那么可以认为两个变量有关系,这个结论犯错误的概率不超过0.05.5.下列关于等高堆积条形图的叙述正确的是()A.从等高堆积条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B.从等高堆积条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C.从等高堆积条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D.以上说法都不对答案:C6.某大学为调查毕业学生的就业状况,抽查了100名学生毕业一个月能否就业的情况,得到2×2列联表如下:单位:人性别就业合计能就业不能就业男生401050女生302050合计7030100如果该大学认为毕业学生一个月能否找到工作与性别有关,那么犯错误的概率不会超过.

附:χ2=nα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828答案:0.05解析:由列联表数据可得,χ2=100×(40×20-10×30)250×故犯错误的概率不会超过0.05.7.某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查,30人的饮食指数如图所示.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主)甲(50岁以下)214345587476777882838590乙(50岁以上)202125262627323336373942444558617578(1)根据以上数据完成下列2×2列联表;单位:人年龄主食合计主食蔬菜主食肉类50岁以下50岁以上合计(2)根据小概率值α=0.01的独立性检验分析其亲属的饮食习惯与年龄是否有关,并写出简要分析.解(1)2×2列联表如下:单位:人年龄主食合计主食蔬菜主食肉类50岁以下481250岁以上16218合计201030(2)零假设为H0:亲属的饮食习惯与年龄无关联.根据列联表中的数据,经计算得到χ2=30×(4×2-16×8)2根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.8.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了55名市民,得到数据如下表所示:单位:人年龄是否喜欢合计喜欢不喜欢大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555(1)根据小概率值α=0.005的独立性检验分析喜欢“人文景观”景点与年龄是否有关.(2)用分层随机抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查,将这6名市民作为一个样本,从中任选2人,求恰有1名大于40岁的市民和1名20岁至40岁的市民的概率.解(1)零假设为H0:喜欢“人文景观”景点与年龄无关联.根据列联表中的数据,经计算得χ2=55×(20×20-5×10)225×根据小概率值α=0.005的独立性检验,推断H0不成立,因此可以认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4人,20岁至40岁的市民有2人,分别记为B1,B2,B3,B4,C1,C2,从中任选2人的可能结果有(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,B4),(B2,C1),(B2,C2),(B3,B4),(B3,C1),(B3,C2),(B4,C1),(B4,C2),(C1,C2),共15个,其中恰有1名大于40岁的市民和1名20岁至40岁的市民的结果有(B1,C1),(B1,C2),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(B4,C1),(B4,C2),共8个,因此恰有1名大于40岁的市民和1名20岁至40岁的市民的概率为8159.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参与问卷调查的100人的得分(满分:100分)数据,统计结果如表所示.组别[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)男235151812女051010713(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”,请列出2×2列联表,根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析“环保关注者”是否与性别有关.(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”,视频率为概率:①在我市所有“环保达人”中,随机抽取3人,求抽取的3人中,既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率;②为了鼓励市民关注环保,针对此次的调查制定了如下奖励方案:“环保达人”获得两次抽奖机会;其他参与的市民获得一次抽奖机会,每次抽奖获得红包的金额和对应的概率如下表:红包金额/元1020概率31现某市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获得的红包金额,求X的分布列及均值.附表及公式:χ2=n(ad-χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)零假设为H0:“环保关注者”与性别无关联.由题中表格可得2×2列联表如下:单位:人性别是否为“环保关注者”合计非“环保关注者”“环保关注者”男104555女153045合计2575100将2×2列联表中的数据代入公式χ2=n(ad-得χ2=100×(10×30-45×15)255×根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为性别与“环保关注者”无关联.(2)视频率为概率,则抽取1人为男“环保达人”的概率为35,为女“环保达人”的概率为2①抽取的3人中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为P=1-25②X的取值为10,20,30,40;P(X=10)=12P(X=20)=12P(X=30)=C2P(X=40)=12故X的分布列为X10203040P31331E(X)=10×38+20×1332+30×316+40能力提升1.(多选题)针对当下的“短视频热”,某校团委对“学生性别和喜欢短视频是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢短视频的人数占男生人数的45,女生喜欢短视频的人数占女生人数的35.若认为喜欢短视频和性别有关犯错误的概率不大于0.05,则调查中男生的人数可能是(α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附:χ2=n(A.25 B.35 C.45 D.55答案:CD解析:设男生的人数为5n(n∈N*),根据题意列出2×2列联表如表所示:是否喜欢短视频性别合计男生女生喜欢4n3n7n不喜欢n2n3n合计5n5n10n则χ2=10n因为认为喜欢短视频和性别有关犯错误的概率不大于0.05,则χ2≥3.841,即10n21≥3.841,得n≥8.因为n∈N*,所以n的可能取值有9,10,11,…,所以调查人数中男生人数可能是45,50,55,….2.某校为了解学生对餐厅食品质量的态度(满意或不满意),对在餐厅就餐的学生随机做了一次调查.其中被调查的男生、女生人数相同,有16的男生态度是“不满意”,有13的女生态度是“不满意”,根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验得到男生和女生对餐厅食品质量的态度有差异,则调查的总人数可能为(A.120 B.160 C.240 D.260答案:C解析:设调查的总人数为x,则男生人数有x2人,女生人数有x2由题意完成2×2列联表如下:性别态度合计满意不满意男生5xxx女生xxx合计3xxx根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验得到男生和女生对餐厅食品质量的态度有差异,则χ2=x·5x12·x6-x3·x122结合选项知,调查的总人数可能为240或260,又260×112≈21.7,不符合题意,故选C3.为研究某新药的疗效,给100名患者服用此药,跟踪调查后得到数据如下表所示:单位:人性别是否有效果合计无效有效男性患者153550女性患者64450合计2179100设H0:服用此药的效果与患者的性别无关,则χ2≈(结果精确到0.1).

答案:4.9解析:由公式计算得χ2≈4.9.4.为了研究玉米品种对产量的影响,某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究,现采用分层随机抽样方法抽取50株作为样本,统计结果如下:单位:株玉米粒的形状植株的高矮合计高茎矮茎圆粒102030皱粒14620合计242650(1)现采用分层随机抽样的方法,先从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米,再从这6株玉米中随机选出2株,求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率;(2)根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析玉米粒的形状与植株的高矮有无关联.解:(1)依题意,取出的6株圆粒玉米中含高茎2株,记为a,b;矮茎4株,记为A,B,C,D,从中随机选取2株有如下15种情况:aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,ab,AB,AC,AD,BC,BD,CD.其中满足题意的共有aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共8种,则所求概率为P=815(2)零假设为H0:玉米粒的形状与植株的高矮之间无关联.根据已知列联表,得χ2=50×(10×6-14×20)230×20×24×26≈6.464>3.841=x0.05,根据小概率值α5.为比较注射A,B两种药物产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A,另一组注射药物B.表1和表2所示的分别是注射药物A和药物B后皮肤疱疹面积的频数分布.(疱疹面积单位:mm2)表1疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80]频数30402010表2疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85]频数1025203015(1)完成图①和图②所示的分别注射药物A,B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图,并求注射药物A后疱疹面积的中位数;图①图②(2)完成2×2列联表,根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析疱疹面积是否与注射两种药物有关.单位:只注射药物疱疹面积合计疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2注射药物Aa=b=注射药物Bc=d=合计附:χ2=n(ad-χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)根据题意,完成图①和图②的频率分布直方图,如图所示:图①图②注射药物A后疱疹面积的中位数为x=65+5×0.20.4(2)零假设为H0:疱疹面积与注射两种药物独立,即疱疹面积与注射两种药物无关.单位:只注射药物疱疹面积合计疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2注射药物Aa=70b=30100注射药物Bc=35d=65100合计10595200得χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为疱疹面积与注射两种药物有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.6.高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从某市移动支付用户中随机抽取100名进行调查,得到如下数据:每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上男10873215女5464630合计1512137845(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,依据小概率值α=0.005的χ2独立性检验,分析“移动支付活跃用户”与性别是否有关.(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”,视频率为概率,在该市所有“移动