专题7 抛物线的综合问题VIP

学习数学领悟数学应用数学专题7抛物线综合问题专题7宗远功长——抛物线综合问题无结论，不圆锥，可以看出二级结论在圆锥中是多么重要，而抛物线正是这一观点集中体现，接下来我们将从垂直和定值定点两方面来说明二级结论的重要性．第一讲 抛物线中的垂直问题抛物线中与垂直有关的有以下结论1．如果抛物线弦过拋物线的焦点，那么以为直径的圆与准线相切，设切点为则：(1)(2) 且有以下更进一步的结论：设两点在准线上的射影分别为和，则以线段为直径的圆与相切，切点为(3)△的面积的最小值为．此时垂直于轴(4)过点和点分别作抛物线的切线交于点，则，且在抛物线的准线上，反之过准线上任一点做抛物线的两条切线，则两切点的连线经过焦点(这种情况下开口朝上的抛物线考试出现得更多)2．若，则弦必过定点【例1】（鼓楼模拟）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，直线与的准线交于点，于，若△的面积等于，则（）A． B． C． D．【例2】（山西期中）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，其准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，．若，且的面积为，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．【例3】（黄冈期中）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若，则（）A． B． C． D．【例4】（贵阳二模）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A． B． C． D．第二讲定值定点问题过抛物线焦点弦的几何性质图1-3-1图1-3-2重要结论1．． 2．．3．． 4．设，则．5．设交准线于点，则；．抛物线中其他定值定点结论:1．对于抛物线上两点，经过焦点，则，，，推广到更一般的形式，若经过点则，．2．若直线与抛物线交于、两点，为抛物线上一点，且，则直线必过定点．特别地，当点位于抛物线顶点时，直线必过定点．3．过定点的直线与抛物线交于，两点，与直线交于点，若，，则．【例1】（长沙模拟）已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于坐标原点的任意一点，过点的直线交轴的正半轴于点，且，同在一个以为圆心的圆上，另有直线，且与抛物线相切于点，则直线经过的定点的坐标是（）A． B． C． D．【例2】（湖北月考）已知为抛物线的焦点，点、在该抛物线上且位于轴的两侧，而且为坐标原点），若与的面积分别为和．则最小值是（）A． B． C． D．【例3】（遂宁期末）设为抛物线的焦点，、、为该抛物线上不同的三点，且，为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则（）A． B． C． D．【例4】（湖南长沙高三模拟题）已知点、，．是平面上一动点，且满足．⑴求点的轨迹的方程；⑵已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦、，且、的斜率、满足．试推断：动直线是否过定点，证明你的结论．【例5】（渝中区月考）设直线与抛物线相交于，两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有2条，则的取值范围是（）A． B． C． D．本题用到了结论：是抛物线的一条弦，弦中点为，则【例6】如图，已知点，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．⑴求动点的轨迹的方程；⑵过点的直线交轨迹于、两点，交直线于点，且，，求的值．推广到更一般的结论，就是本节最开始的结论三：过定点的直线与抛物线交于，两点，与直线交于点，若，，则．【例7】（香坊区期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线，两点，直线，分别与抛物线交于，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A． B． C． D．【例8】过点作直线，与抛物线相交，其中与抛物线相交于，两点，与抛物线相交于，两点，过焦点，若，的斜率，满足，求证：第三讲抛物线的最值问题抛物线里的最值多与焦点准线相关，还经常用到数形结合和函数的值域求法，一般都要代数和几何相结合，用的方法较综合而全面．【例1】（汉中二模）直线过抛物线的焦点且与抛物线交于，两点，若线段，的长分别为，则的最小值是（）A． B． C． D．【例2】（重庆期末）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点．是线段上的点，．则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．【例3】（三明期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，，点在线段上，点在的延长线上，且．则面积的最小值为（）A． B． C． D．第四讲与抛物线中点弦有关的性质

【例1】（苏锡常镇二模）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,准线为,过点且斜率大于0的直线交抛物线于两点,过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线于点.判断线段与长度的大小关系,并证明你的结论.此模型的结论还有很多:（1）过点作平行的直线,与抛物线交于两点,则此时有过点作平行的直线,则此直线为抛物线在点处的切线;均为抛物线的切线,过直线上(抛物线外部)任意一点作抛物线的切线,

切点弦的中点均在上,且互相平行.【例2】在平面直角坐标系中,已知抛物线,直线与抛物线交于两点,过分别作抛物线的切线,两切线的交点在直线上.若，求点的坐标.事实上作轴，由切点弦的性质知平分，我们先来证明这一结论：关于抛物线中点弦的轨迹也是高考常考题（2016全国三卷考过大题，见本书习题部分）现在也和大家介绍一下：设抛物线有一条过点的弦与抛物线交于两点，求中点的轨迹方程.解：设,则①且,化简整理有并且当时,也满足上述方程，故