专题10 切线与切点弦的应用w

学习数学领悟数学应用数学专题10切线与切点弦的应用专题10切线与切点弦的应用很多人读过西游记觉得孙悟空一个筋斗云十万八千里，瞬间就可以到西天取得真经，为啥还得陪唐一步步走着去西天，其实原因很简单，就是通过取经之路对唐僧一步步考验，换句话说就是必须通过九九八十一难才能取得真经，圆锥曲线大题就是这个思路，极点极线就是孙悟空的筋斗云了，肯定不能驾着筋斗云一下子就取得真经，但是我们可以靠极点极线的知识来分析题干，它就像一座灯塔，指引我们思考的方向，有了方向在一步一步地书写步骤就会非常容易.第一讲切线方程的应用切线本质上是一种特殊的极线，新考纲规定了不再考查直线和圆锥曲线的位置关系，但圆的切线，以及开口朝上的抛物线的切线(可看成函数)仍然是高考的考查范围结论1：点在圆上，过点作圆的切线方程为．结论2：(1)点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．(2)点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线：．结论3：(1)点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则切点弦的直线方程为．(3)点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线：．结论4：点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．若点在椭圆外，则点对应切点弦方程为结论5：点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为结论6：点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．点在抛物线外，过点对应切点弦方程为．【例1】（临沂三模）如图，已知抛物线与圆相交于，两点，且．过劣弧上的动点，作圆的切线交抛物线于，两点，分别以，为切点作抛物线的切线，，相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）求点到直线距离的最大值．【例2】设F为椭圆C：的右焦点，过椭圆C外一点P作椭圆C的切线，切点为M，若，则点P的轨迹方程为__________．【例3】（洛阳一模）若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为、，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 B． C． D．第二讲双切线模型以及切点弦的应用【例4】过点作已知直线的平行线．交双曲线于点，．（1）证明：点是线段的中点．（2）分别过点，作双曲线的切线，，证明：三条直线，，相交于同点．（3）设为直线上一动点．过点作双曲线的切线，，切点分别为，．证明：点在直线上．【例5】（荔湾期中）已知直线与圆相交，截得的弦长为．（1）求圆的方程．（2）过原点作圆的两条切线，与抛物线相交于，两点（异于原点）．证明：以为直径的圆与圆相交．（3）若抛物线上任意三个不同的点、，，满足直线和都与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并加以证明．【例6】（武侯月考）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线过点，设直线与抛物线交于、两点，与抛物线的准线交于点，（1）若，求直线斜率（2）若点在轴上的射影分别为且，，成等差数列求的值（3）设已知抛物线为，将其绕顶点按逆时针方向旋转变成．圆的圆心为点．已知点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于，，两点，若过，两点的直线垂直于，求直线的方程．【例7】抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且的外接圆圆心到准线的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值；（3）过点作圆的两条切线，与轴分别交于、两点，求面积取得最小值时对应的值．第三讲彭赛列闭合定理平面上给定两条\t"/item/%E5%BD%AD%E8%B5%9B%E5%88%97%E9%97%AD%E5%90%88%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（切、内外接）性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同。最简明的彭赛列闭合定理表示为：一个三角形外接于一个圆，内切一个圆，则外接圆可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述的同一个。彭赛列闭合定理展示了基于圆锥曲线关系上的一种“群结构”关系——“彭赛列结构”（Poncelettype），表示为：有一个满一种结构的关系存在，则所有都满足这种结构的关系都存在，可以扩展为更为高维的概念，彭赛列闭合定理只是这种结构关系的其中一种。高考题当中，通常以圆锥曲线内接三角形当中两条边与一个圆相切时，证明第三条边也与圆相切，这里我们就需要用到同构方程，再利用点到直线距离证明其等于半径.【