专题11 极点极线与定点定值

学习数学领悟数学应用数学专题11极点与极线专题11极点极线与定值定点第一讲极点极线原理介绍极点极线显威力———运用高观点例析圆锥曲线中的完全四点形问题如图1，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线．若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线．由图1同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线．因而将称为自极三点形．任意一点对应的极线为另外两点的连线．设直线交圆锥曲线于点两点，则恰为圆锥曲线的两条切线．图1只有“站得高”，遇到问题才能够从容面对．解析几何一直是学生乃至部分中学数学老师所害怕的内容，如果能从高等数学的视角去看待这些问题，有时候处理起来将会变得非常容易．极点、极线是高等几何中的内容，但在中学里会经常涉及．统一结论：已知圆锥曲线：，则点对应的极线方程为：．以椭圆为例，我们来证明一下极点极线的结论如图M是椭圆外一点，过P作两条直线分别与椭圆交于A，B和C，D两点．N是AD与CD的交点，证明N点在直线上接下来我们推广到更一般的形式，设和交于点，类似的方法我们也可以证明从而一定在直线上，那么点和均在直线上，随着四点的运动，所有的点和的轨迹就构成了直线，即点对应的极线为，同样的以点为研究对象，可以得出其对应的极线是两点的连线所在的直线，同样的以点为研究对象，可以得出其对应的极线是两点的连线所在的直线除此之外，极点极线还有如下结论，是椭圆外一点，是对应的极线上位于椭圆内的任一点，连接交椭圆于两点，则，且现证明如下设M是椭圆外一点，MA，MB均与椭圆相切，O为椭圆的中心，直线MO与AB交于点N，交椭圆于E，F．则，且此结论还可以用定比点差法来证明，参见定比点差法那一节第二讲应用极点极线的解决定值定点【例9】（武汉模拟）已知，分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于，两点（点，异于，，则直线，的斜率之比（）A． B． C． D．【例10】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，过x轴上一点作一直线PQ与椭圆交于P，Q两点（异于A，B），若直线AP和BQ的交点为N，记直线MN和AP的斜率分别为，，则（）A． B． C． D．【例11】（沙坪坝期中）设，分别是双曲线的左右顶点，设过的直线，与双曲线分别交于点，，直线交轴于点，过的直线交双曲线的于，两点，且，则的面积（）A． B． C． D．【例12】（济南二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆的一个顶点，且右焦点到双曲线渐近线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于、两点．①若，为邻边的平行四边形为菱形，求的取值范围；②若直线过定点，且线段上存在点，满足，证明：点在定直线上．【例13】（2013•江西）椭圆的离心率，．（1）求椭圆的方程；（2）如图，，，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点直线交于点，设的斜率为，的斜率为，证明为定值．【例14】(湖北十一校联考)已知直线与抛物线相交于A，B两点，满足．定点，，M是抛物线上一动点，设直线CM，DM与抛物线的另一个交点分别是E，F．(1)求抛物线的方程；(2)求证：当M点在抛物线上变动时(只要点E、F存在且不重合)，直线EF恒过一个定点；并求出这个定点的坐标.第三讲非典型极点极线解决定值定点（平行情况）圆锥曲线上四点构成的四边形为梯形时，如图，，无法构成自极三角形，则点对应的极线过，所在直线的交点，且极线与平行．（设，交于,可以认为直线和的交于无限远处的一点，按照极点极线模型可知为点对应的极线，则与，的交点都在无限远处，所以）这种情况我们称之为非典型极点极线．推论1：四线平行模型：设AC，BD交于点，则点对应的极线为一条经过点的直线，并且与AC，BD都平行(图中未画出)，且与点对应的极线也平行．设，则点对应极线方程为，其斜率为，故（双曲线中，抛物线中），这三个和中点弦的斜率形式一模一样，非常好记．推论2：特别地，如右图若AD∥BC∥y轴，由对称性知AC，BD的交点Q在x轴上，则点的极线过点Q，且与y轴平行，结合上一节中的结论2，有．（我们把这个模型称之为模型），由对称性可知此时为等腰梯形，则四点共圆，由圆的曲线系可知此时（证明过程参见圆的曲线系那一节）．【例15】（桃城月考）已知椭圆内有一定点，过点的两条直线，分别与椭圆交于、和、两点，且满足，，若变化时，直线的斜率总为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【例16】（泉州模拟）已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点．若直线的斜率为，则的离心率为（）A． B． C． D．【例17】（湖北省预赛题）设为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且．（1）证明：直线AB的斜率为定值；（2）过点P作AB的平行线，与椭圆交于E、F两点，证明：点P平分线段E、F．【例18】已知抛物线，斜率为的动直线l与抛物线交于两点A、B，抛物线内的定点为直线l外一点，若直线AP、BP分别与抛物线交于另一点C、D，问直线AD、BC是否相交于定点？若是，求出定点坐标：若不是，说明理由．很多考题的命题背景是极点极线，熟练使用极点极线的结论，解题方向会更加清晰.【例19】已知抛物线，过点作直线与抛物线交于两点，若两点纵坐标之积为．（1）求抛物线的方程；（2）斜率为1的直线不经过点且与抛物线交于、．①求直线在轴上截距的取值范围；②若、分别与抛物线交于另一点、，证明：、交于一定点．【例20】已知抛物线E：的焦点F，是E上一点，且．（1）求E的方程：（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M