专题13 定比点差体系

学习数学领悟数学应用数学专题13定比点差体系专题13无所不在的定比点差法第一讲圆锥曲线上的点作为定比分点的λ+μ为定值问题 定比分点的概念定比分点：为经过两个不同的定点、的直线上的一点，且满足，则：（为参数，）.圆雉曲线上的点作为定比分点的为定值问题1.如下图所示，若A，B为椭圆C：（）上的两点，直线AB与x轴交于点P，与y轴交于点Q，且，.（1）P为左（右）焦点；（2）.则①②互为充要条件.2.在抛物线中，A，B为抛物线上两点，P，Q分别在x轴，y轴上，，.①P为焦点；②.则①②互为充要条件3.双曲线一定有：①P为焦点；②.综合拓展：①（t为定值）；②P为x轴一定点.则两者互为充要条件：.【例1】已知是椭圆C：（）上的一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且.（1）求椭圆C的标准方程.（2）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，与椭圆C的短轴交于点Q，若，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【例2】已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点.过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点.（1）若直线l与圆O：相切，求直线l的方程；（2）若直线l与y轴的交点为D，且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.第二讲利用定比分点和调和分点证明特征直线的方程1.调和点列的概念如下图①，点P在线段AB上，则满足（）的点P是唯一存在的.但是，如果将线段AB改为直线AB，此时，满足的点有两个，如下图②，不妨记另一个点为Q，则（），在此种情况下，我们称点A、P、B、Q为调和点列，或者称点P、Q调和分割点A、B.2.调和点列的性质如下图所示：对于线段AB的内分点C和外分点D满足C、D调和分割线段AB，即，设O为线段AB的中点，则有以下结论成立：（1）点A、B也调和分割C、D，即；（2）（AB是AC与AD的调和平均数）.【例3】（2011•山东）设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（），（），且，则称A3、A4调和分割A1、A2，已知平面上的点C、D调和分割A、B，则下面说法正确的是（）A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点C.C、D可能同时在线段AB上 D.C、D不可能同时在线段AB的延长线上3.定比分点和调和分点支配下的圆锥曲线在椭圆或双曲线中，设A，B为椭圆或双曲线上的两点，若存在P，Q两点，满足，，则一定有：在抛物线中，设A，B为抛物线上的两点.若存在P，Q两点，满足，，一定有.定比点差的原理谜题解开，就是两个互为调和的定比分点坐标满足圆雉曲线的特征方程.【例3】（2015・四川卷改编）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为F1、F2，M是C的上顶点，，且.（1）求椭圆C的方程；（2）当过点的动直线l与椭圆C相交于不同两点A、B时，线段AB上取点Q，且Q满足，证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线的方程.【例4】设抛物线C：（）的焦点为F，过点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，当F在l上时，直线l的斜率为-2.（1）求抛物线的方程；（2）在线段AB上取点D，满足，证明：点D总在定直线上.第三讲坐标轴上定点弦与定比点差法的妙用轴点弦坐标与比值转换定理：类型一定点在x轴过定点的直线与椭圆（）相交于A、B两点，设（），，，则在直线AB上一定存在点Q满足，根据定比点差法可知.一定有类型二定点在y轴过定点的直线与椭圆（）相交于A、B两点，设（），，，则在直线AB上一定存在点Q满足，根据定比点差法可知.同理：.由于在考试当中我们经常要拿出这三个等式，故我们称之为：“三炮齐鸣，天下太平”类型三抛物线三炮齐鸣过定点的直线AB和抛物线（）相交，设，，，则有：，即【例5】（2018•浙江高考）已知点，椭圆（）上两点A、B满足，则当时，点B横坐标的绝对值最大.【例6】（2022全国甲卷）已知抛物线C：（）焦点为F，点过焦点F做直线l交抛物线于M，N两点，当轴时，.（1）求抛物线方程；（2）若直线MD，ND与抛物线的另一个交点分别为A，B.若直线MN，AB的倾斜角为，，当最大时，求AB的方程.【例7】（2020•北京）已知椭圆C：过点，且.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求的值.【例8】（2016•山东）已知椭圆C：（）的长轴长为4，焦距为.（1）求椭圆C的方程；（2）过动点（）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.（i）设直线PM，QM的斜率分别为，，证明为定值；（ii）求直线AB的斜率的最小值.【例9】（2018•北京文）已知椭圆M：（）的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A、B.（1）求椭圆M的方程；（2）若k=1，求|AB|的最大值；（3）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点共线，求k.【例10】（2018-全国卷I）设椭圆C：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.【例11】已知椭圆C：（）的左右焦点分别为F1，F2，点在C上，且.（1）求C的标准方程；（2）设C的左右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l过右焦点F2且不与坐标轴垂直，l与C交于M，N两点，直线AM与直线BN相交于点Q，证明点Q在定直线上.【例12】（2020•新课标I）已知A，B分别为椭圆E：（）的左、右顶点，G为E的上顶点，.P为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【例13】（2022浙江卷）如图，已知椭圆.设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点.（I）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（II）求|CD|的最小值.第四讲非轴点弦的定比点差法与三炮齐鸣定比点差法的一般变形公式椭圆（），点、是椭圆上的点，且，，则：（非轴点弦三炮齐鸣）点、的坐标都可以用只含有（或）的式子表示出来.【例14】（2022全国乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足.证明：直线HN过定点.【例15】如图，已知椭圆E：（）的离心率为，点在椭圆E上，射线AO与椭圆E的另一交点为B，点在椭圆E内部，射线AP、BP与椭圆E的另一交点分别为C、D.（1）求椭圆E的方程；（2）求证：直线CD的斜率为定值.第五讲蝴蝶定理与坎迪定理坎迪定理：，，，．其中逻辑和证明，大家可以看例题来理解．【例16】（2021•江苏模拟）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，焦点到相应准线的距离是3．（1）求，的值；（2）已知、是椭圆上关于原点对称的两点，在轴的上方，，连接、并分别延长交椭圆于、两点，证明：直线过定点．【例17】已知椭圆，为平面上一点，AB为椭圆上两点，且AP，BP分别交椭圆于C，D，求证：CD//AB【例18】（2021•新课改卷模拟）已知是椭圆的右焦点，直线MN交椭圆于，两点，交轴于点，点，若，，．（1）求椭圆的离心率；（2）经过椭圆作直线