天津市南开中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页天津市南开中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知等差数列an，a1=1，a3=3，则数列1A.1011 B.911 C.9103.设an是公差d=−2的等差数列，如果a1A.−182 B.−78 C.−1484.在数列{an}中，a1=A.65 B.76 C.545.已知数列{an}是等比数列，a2⋅a6⋅a10=A.32 B.34 C.36.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(

)A.32f B.322f 7.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0A.12 B.1 C.32 8.在等差数列an中，若a9a8<-1，且前n项和Sn有最大值，则使得SA.15 B.16 C.17 D.189.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前A.440 B.330 C.220 D.110二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）10.已知等差数列an中，a1=4，a4+11.已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a12.在数列an中，a1=1，an+2+(−1)13.设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有14.已知O为坐标原点，A、B分别是双曲线C:x24−y23=1的左、右顶点，M是双曲线C上不同于A、B的动点，直线AM、B三、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(本小题12.0分)已知等比数列{an}中，a1=3(1)求数列(2)求证：数列{bnn}16.(本小题12.0分)设椭圆x2a2+y2b2=(1)求椭圆的离心率(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x+17.(本小题12.0分)已知数列an满足an+2=an(1)求d的值和(2)设bn=−2an⋅答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的函数性质，属于中档题．

根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】

解：设数列an的首项为a1，

若an为递增数列，

则an+1−an=a1qn−1q−1>0对∀n∈N*恒成立，

2.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查裂项相消法求和，同时考查等差数列的通项公式，属于一般题．

求出通项，利用裂项相消法求数列的前n项和．【解答】

解：因为等差数列an，a1=所以d=所以an∴1anan+1=1故B，C，D错误．故选：A．3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查等差数列的通项及性质，属于基础题．

由a3【解答】

解：{an}是公差为−2的等差数列，

因为a1+a4+a74.【答案】A

【解析】【分析】本题考查数列的递推关系，属于基础题．

根据递推关系依次求出

a2,【解答】解：∵∴a2=2−1a1故选：A．5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质与等比数列的性质，属于基础题．

由等比数列性质可知a4·a【解答】

解：由数列an是等比数列，

则a2⋅a6⋅a10=a63=33⇒a6=3，6.【答案】D

【解析】【分析】本题考查等比数列的应用，考查计算能力，属于基础题．

根据等比数列的通项公式进行求解即可．【解答】

解：由题意，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．

若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：(122)77.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．

根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0【解答】

解：∵抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，

则8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出

a8+a9<0

．

由题可得

d<0

，则

a8+【解答】

解：

∵

前n项和Sn有最大值，∴∵a9a8<-∴S15=15使得Sn>0的最大值n故选：A．9.【答案】A

【解析】【分析】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于较难题．

由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1−2−【解答】

解：由题意可知，数列可看作：第一项20，第二项：20,21，第三项：20,21,22，…，第n项：20,21,22,…,2n−1，

根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，…，2n−1，

每项含有的项数为：1，2，3，…，n，

总共的项数为N=1+2+3+…+n=(1+n)n2，

所有项数的和为Sn=21−1+2210.【答案】5

【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的基本量计算，属于基础题．

设等差数列an的公差为d，依题意得到方程，求出公差d【解答】解：设等差数列an的公差为d因为a1=4，a4+a6=12故答案为：5．11.【答案】2n【解析】【分析】本题考查等比数列的性质，数列{an}的前n项和求法，是基本知识的考查．

利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{【解答】

解：数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，

可得a1a4=8，解得a1=1，a12.【答案】930

【解析】【分析】本题考查数列求和的方法，并项求和，以及等差数列的求和公式的运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．

利用数列的递推关系式，通过n为奇数与偶数，分别判断数列的奇数项和偶数项的特点，然后求解数列的和即可．【解答】

解：当

n

为偶数时，

an+2+an=2

，

所以数列

an

前60项中偶数项的和

(a2+a4)+(a6+a8)+⋯+(a58+a60)=15×2=30

，13.【答案】1941【解析】【分析】本题考查等差数列的性质和求和公式，属于中档题．

根据等差数列的性质得a9b5+b7+a【解答】

解：∵{an}，{bn}为等差数列，

∴a9b514.【答案】3

【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系及其应用，属于中档题．

求得

A,B

坐标，设出

M

点坐标，求得直线

AM,BM

的方程，由此求得

P【解答】

解：依题意

A(−设

Mx0,y0

直线

AM

的方程为

y=y0x0直线

BM

的方程为

y=y0x0所以

|OP故答案为：3．15.【答案】解：(1)设等比数列

{an}

的公比为q，依题意，

(3q)2=所以数列

{an}

的通项公式为

(2)显然，

b1=3

，由

nb所以数列

{bnn}

是以

b11=3于是得

bn=4n−n2

，由

bn≥0

得

0≤n≤4

，而

n∈N因此数列

{bn}

前4项和与前3项和相等并且最大，其值为

所以数列

{bn}

前

n

【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属中档题．

(1)设出等比数列

{an}

(2)将给定等式

nbn+116.【答案】解：(1)设

F1(−c因为

|PF2|=|F1整理得

2(ca)2+ca−1=0

所以

e=1(2)由(1)知

a=2c

，

b=直线

PF2

的方程为

yA，B两点的坐标满足方程组为

3x2消去y并整理，得

5x2−8cx=0

，解得：得方程组的解

x1=0y1=-不妨设：

A(85c,3所以

|AB|=(圆心

(−1,3)

到直线

PF因为

d2+|MN|整理得：

7c2+12c−52=0

，得

c所以椭圆方程为：

x216

【解析】本题考查求椭圆的离心率解题关键是找到关于a，b，c的等量关系，第二问的关键是联立直线与椭圆方程求出交点坐标，利用距离公式建立等量关系，求出c是求出椭圆方程的关键．

(1)由

|PF2|=|F1F2(2)联立直线

PF2

和椭圆的方程，利用两点间距离公式求得

|AB|

17.【答案】解：(1)数列an满足

所以

a3=所以a2由于a1=1所以a2+a且