人教版2019高中数学必修第二册 直线与直线平行 课件

8.5.1直线与直线平行第八章立体几何初步2023/9/128.5空间直线、平面的平行引

入

在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理.类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容.本节我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质.引

入问题1

在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？直观感知1

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB，则DC与A1B1平行吗？A'ABB'CC'观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗?1.平行的传递性——基本事实4：探究新知基本事实4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据将空间两条直线的平行问题转化为平面两条直线的平行问题推广：在空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行.abc符号语言图形语言文字语言降“维”思想探究新知balba在平面

α

内画直线

a//l,在平面

β

内画直线

b//l,根据基本事实4即得a//b.问题2

已知平面a∩b=l,分别在α，β内画直线a，b,请问怎样画才能使a∥b？练习1垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A．平行

B．相交C．异面D．A、B、C均有可能DB′ACBA′C′DD′注意：平面几何中成立的结论，在立体几何不一定成立例题讲解例1

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形.解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法.记得步骤要规范哦！证明：连接BD.例题讲解变式1

例1中，再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?EHFGABCD四边形EFGH是菱形.变式2

例1中，四边形EFGH是长方形，那么AC和BD满足什么条件？AC⊥BD变式3

例1中，F,G分别是CB,CD上的点,且

，那么四边形EFGH是什么图形?四边形EFGH为梯形.变式4若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．6探究新知【归纳】证明空间两直线平行的方法：(1)定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证两直线没有公共点(反证法)(2)基本事实4：空间问题转化为平面问题(3)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．

…探究新知问题3

在平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.空间中这一结论是否仍然成立呢？当空间中两个角的两边分别对应平行时，这两个角有如下图所示的两种位置：等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．探究新知如图8.5-5，分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD，AE和A'D'，A'E'，使得AD=A'D'，AE=A'E'.连接AA'，DD'，EE'，DE，D'E'，∴四边形ADD'A'是平行四边形，同理可证

．∴四边形DD'E'E是平行四边形，∴DE=D'E'，∴△ADE

≌

△A'D'E'，∴∠BAC=∠B'A'C'．显然，当A'C'的方向与上述情形相反时，∠BAC与∠B'A'C'互补．探究新知等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2.等角定理两边方向均相同，两边方向一边相同，一边相反，则两角互补.两边都相反呢？则两角相等;或相反，例题讲解例2

已知E，E1分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.[思路点拨]欲证两个角相等，可先证角的两边分别平行，然后再通过等角定理来说明这两个角相等．∴四边形A1E1EA为平行四边形，

解：连接EE1.∵E，E1分别为AD，A1D1的中点，∴A1E1AE，又∵A1AB1B，∴E1EB1B，∴A1AE1E.∴四边形E1EBB1是平行四边形，∴E1B1∥EB.同理可证E1C1∥EC.又∵E1B1与EB方向相同，E1C1与EC方向相同，

∴∠BEC＝∠B1E1C1.例题讲解Q课堂练习练习2.

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1

中,E，F

分别是AA1、C

C1的中点，求证:D1,E

，F，B共面.思路.证明ED1

∥BF证明:如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.∵F为CC1的中点，所以BG∥FC1，且BG＝FC1.∴四边形BFC1G是▱

∴BF∥GC1，BF＝GC1，①又∵EG∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，∴EG∥C1D1，EG＝C1D1.∴四边形EGC1D1是▱.∴ED1∥GC1，ED1＝GC1②，由①②知BF∥ED1，即D1,E

，F，B共面G.课堂练习3.如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求证：GH∥MN.Q.课堂练习教材135页1.如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？根据基本事实4，这些折痕互相平行.2.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与棱AA′平行的棱共有几条？分别是什么？3条，分别是BB′，CC′，DD′.课堂练习证明：3.如图，AA′，BB′，CC′不共面，且AA′

BB′，BB′CC′.求证：△ABC≌△

A′B′C′.∵AA′BB′，BB′CC′.AA′CC′，∴四边形ABB′A′，BCC′B′都是平行四边形.∴AB=A′B′，BC=B′C′，∴四边形ACC′A′是平行四边形.又由AA′BB′，BB′CC′可得

∴AC=A′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.教材135页课堂练习解：4.如图，在四面体A-BCD′中，E,F,G分别为AB,AC,AD上的点.若EF//BC,FG//CD，则△EFG和△BCD有什么关系？为什么？∵EF//BC，FG//C