第三节正项级数

第三节正项级数第1页，课件共19页，创作于2023年2月道，单调有界数列必有极限，所以如果部分和数列定义设级数级数对于正项级数，由于机动目录上页下页返回结束所以正项级数即则数列正项级数收敛；反之，若正项级数收敛，即为正项级数。则称，若，因而必为单调增加数列的部分和数列有界，则由数列极限存在准则知存在，此时必有界，由此得到如下定理：第2页，课件共19页，创作于2023年2月定理二(比较判别法)(1)如果级数则级数且成立，则有收敛,也收敛;(2)如果级数则级数发散,也发散。和对于正项级数机动目录上页下页返回结束定理一正项级数收敛的充要条件是它的部分和数即“大”的收敛，“小”的一定也收敛即“小”的发散，“大”的一定也发散有界。列第3页，课件共19页，创作于2023年2月因此这说明级数也发散。因此对一切有由定理1可知,也收敛。则有(2)如果级数发散,(1)如果级数则有收敛,级数机动目录上页下页返回结束都有设对一切证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨分别表示级数和的部分和,则有第4页，课件共19页，创作于2023年2月通俗地说，若一个级数收敛，那么每项都比它小比较判别法需要与一个已知敛散性的级数比较，在实际应用中也可以对级数自身相邻项分析来判断级数的敛散性。

有时用比较判别法的极限形式更方便，对于正项则级数有着相同的敛散性。机动目录上页下页返回结束项都比它大的那个级数肯定也发散。的那个级数肯定也收敛；若一个级数发散，那么每级数和和，若满足第5页，课件共19页，创作于2023年2月例1.判定调和级数

解:

的敛散性。机动目录上页下页返回结束第6页，课件共19页，创作于2023年2月事实上当即调和级数大于一般项为机动目录上页下页返回结束的正项级数是发散的。有此外，对于广义调和级数时收敛，=的正项级数。由定理二可得，调和级数也是发散的。，也可以证明当时发散。显然由于一般项为第7页，课件共19页，创作于2023年2月机动目录上页下页返回结束即故有界，级数是收敛的。，，所以有上界，又对任意n有第8页，课件共19页，创作于2023年2月证明级数收敛。证明:因为级数的一般项满足例2.机动目录上页下页返回结束而等比级数是收敛的，根据定理二可得，级数收敛。第9页，课件共19页，创作于2023年2月定理三比较判别法(达浪贝尔判别法)，如果，则（2）当（1）当设正项级数机动目录上页下页返回结束（3）当（此时要用其他方法判定）证明略。时，级数收敛；时，级数发散；时，级数可能收敛也可能发散。第10页，课件共19页，创作于2023年2月定理四（3）当证明略。（1）当根值判别法（柯西判别法），设正项级数（2）当机动目录上页下页返回结束的一般项（此时要用其他方法判定）则次根的极限满足的时，级数收敛；时，级数发散；时，级数可能收敛也可能发散。第11页，课件共19页，创作于2023年2月例3.判定级数解利用Mathematica软件求极限机动目录上页下页返回结束Out[2]=的敛散性。发散。由于极限大于１，根据定理三可得，级数第12页，课件共19页，创作于2023年2月由于例4

判别级数解

对于级数由于极限小于１，根据定理三可知，级数机动目录上页下页返回结束的敛散性。再根据定理二可得，级数，利用Mathematic软件求极限收敛。收敛，第13页，课件共19页，创作于2023年2月本节小结1.正项级数的定义机动目录上页下页返回结束2.正项级数敛散性的判别法：（1）比较判别法；（2）比值判别法（达朗贝尔判别法）；（3）根值判别法（柯西判别法）。第14页，课件共19页，创作于2023年2月课堂练习：习题10-31.选择题（1）下列命题正确的是（）；机动目录上页下页返回结束A．若正项级数B．若正项级数必收敛C．若正项级数D．若必收敛，则必有，则，则，则级数第15页，课件共19页，创作于2023年2月习题10-31.选择题（2）下列正项级数收敛的是（）.机动目录上页下页返回结束第16页，课件共19页，创作于2023年2月习题10-32.用比较判别法判定下列级数的收敛性：

机动目录上页下页返回结束3.用比值判别法判定下列级数的收敛性：

第17页，课件共19页，创作于2023年2月习题10-34.判定下列级数的收敛性：

机动目录上页下页返回结束