第二章 对偶理论及灵敏度分析

第二章对偶理论及灵敏度分析第1页，课件共146页，创作于2023年2月返回继续2.1.1线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出二、原问题与对偶问题的数学模型三、原问题与对偶问题的对应关系第2页，课件共146页，创作于2023年2月实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A

设备B调试工序利润（元）0612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出第3页，课件共146页，创作于2023年2月如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––第4页，课件共146页，创作于2023年2月设：设备A——元／时设备B––––元／时调试工序––––元／时收购付出的代价最小，且对方能接受。出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。第5页，课件共146页，创作于2023年2月设备A

设备B调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD厂家能接受的条件：收购方的意愿：单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。第6页，课件共146页，创作于2023年2月厂家对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题第7页，课件共146页，创作于2023年2月3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题一般规律第8页，课件共146页，创作于2023年2月特点：1．2．限定向量b价值向量C（资源向量）3．一个约束一个变量。4．的LP约束“”的

LP是“”的约束。5．变量都是非负限制。其它形式的对偶?第9页，课件共146页，创作于2023年2月二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。原问题对偶问题情形一：第10页，课件共146页，创作于2023年2月原问题对偶问题化为标准对称型情形二：证明对偶第11页，课件共146页，创作于2023年2月第12页，课件共146页，创作于2023年2月第13页，课件共146页，创作于2023年2月第14页，课件共146页，创作于2023年2月2、非对称形式的对偶若原问题的约束条件是等式，则原问题对偶问题第15页，课件共146页，创作于2023年2月推导:原问题第16页，课件共146页，创作于2023年2月

根据对称形式的对偶模型,可直接写出上述问题的对偶问题:第17页，课件共146页，创作于2023年2月令，得对偶问题为：证毕。第18页，课件共146页，创作于2023年2月三、原问题与对偶问题的对应关系

原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）第19页，课件共146页，创作于2023年2月例:第20页，课件共146页，创作于2023年2月对偶问题为第21页，课件共146页，创作于2023年2月解：对偶规划：例2写出下列线性规划的对偶问题第22页，课件共146页，创作于2023年2月例3写出下列线性规划的对偶问题解：上述问题的对偶规划：第23页，课件共146页，创作于2023年2月返回结束线性规划的对偶问题第24页，课件共146页，创作于2023年2月返回继续2.1.2对偶问题的基本性质引例对称性弱对偶性最优性对偶性（强对偶性）互补松弛性第25页，课件共146页，创作于2023年2月对偶问题原问题收购厂家引例第26页，课件共146页，创作于2023年2月（）原问题的变量原问题松弛变量对偶问题剩余变量对偶问题的变量化为极小问题原问题化为极小问题，最终单纯形表：第27页，课件共146页，创作于2023年2月原问题的变量原问题松弛变量对偶问题剩余变量对偶问题的变量对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表第28页，课件共146页，创作于2023年2月（）原问题的变量原问题松弛变量对偶问题剩余变量对偶问题的变量化为极小问题原问题最优解对偶问题最优解原问题化为极小问题，最终单纯形表：32154213543212/14/10002/34/10102/32/14/10012/72/154/51002/15yyyyyxxxxxxxx---第29页，课件共146页，创作于2023年2月两个问题作一比较:1.两者的最优值相同2.变量的解在两个单纯形表中互相包含原问题最优解（决策变量）对偶问题最优解（决策变量）

对偶问题的松弛变量原问题的松弛变量第30页，课件共146页，创作于2023年2月从引例中可见：原问题与对偶问题在某种意义上来说，实质上是一样的，因为第二个问题仅仅在第一个问题的另一种表达而已。理论证明：原问题与对偶问题解的关系第31页，课件共146页，创作于2023年2月

单纯形法的矩阵描述不妨设基为基变量非基变量设线性规划问题则第32页，课件共146页，创作于2023年2月

单纯形法的矩阵描述其中令得当前的基解为：当前基解约束方程组第33页，课件共146页，创作于2023年2月当前目标值目标函数令得当前的目标函数值为：

单纯形法的矩阵描述第34页，课件共146页，创作于2023年2月当前检验数

单纯形法的矩阵描述检验数其中当前对应的系数列第35页，课件共146页，创作于2023年2月矩阵单纯形法计算的描述线性规划问题化为标准型，引入松弛变量第36页，课件共146页，创作于2023年2月初始单纯形表非基变量基变量初始基变量矩阵单纯形法计算的描述第37页，课件共146页，创作于2023年2月基变量非基变量当基变量为时，新的单纯形表矩阵单纯形法计算的描述当前检验数当前基解第38页，课件共146页，创作于2023年2月第39页，课件共146页，创作于2023年2月对偶问题的基本性质一、对称定理：定理：对偶问题的对偶是原问题。设原问题（1）对偶问题（2）第40页，课件共146页，创作于2023年2月二、弱对偶性定理：

——若和分别是原问题（1）及对偶问题（2）的可行解，则有证明：对偶问题的基本性质第41页，课件共146页，创作于2023年2月从弱对偶性可得到以下重要结论：（1）极大化问题（原问题）的任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。（2）极小化问题（对偶问题）的任一可行解所对应的目标函数值是原问题最优目标函数值的上界。（3）若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶问题无可行解。第42页，课件共146页，创作于2023年2月（4）若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原问题无可行解。（5）若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界。（6）对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无界。原问题对偶问题第43页，课件共146页，创作于2023年2月三、最优性定理：

——若和分别是（1）和（2）的可行解，且有则分别是（1）和（2）的最优解。

则为（1）的最优解，反过来可知：也是（2）的最优解。证明：因为（1）的任一可行解均满足对偶问题的基本性质第44页，课件共146页，创作于2023年2月证明：原问题与对偶问题的解一般有三种情况：一个有有限最优解另一个有有限最优解。一个有无界解另一个无可行解。两个均无可行解。四、对偶定理（强对偶性）：

——若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。对偶问题的基本性质第45页，课件共146页，创作于2023年2月五、互补松弛性：

——若分别是原问题（1）与对偶问题（2）的可行解，分别为（1）、（2）的松弛变量，则：即：为最优解原问题第i条约束

A的第i行第46页，课件共146页，创作于2023年2月

说明：在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件去严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。另一方面：对偶问题的第j条约束第47页，课件共146页，创作于2023年2月互补松弛定理应用：（1）从已知的最优对偶解，求原问题最优解，反之亦然。（2）证实原问题可行解是否为最优解。（3）从不同假设来进行试算，从而研究原始、对偶问题最优解的一般性质。（4）非线性的方面的应用。以上性质同样适用于非对称形式。第48页，课件共146页，创作于2023年2月【例】已知线性规划的最优解是求对偶问题的最优解。2.2对偶性质Dualproperty第49页，课件共146页，创作于2023年2月【解】对偶问题是因为X1≠0，X2≠0，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为Y=（1，1），最优值w=26。2.2对偶性质Dualproperty第50页，课件共146页，创作于2023年2月【例2-5】已知线性规划的对偶问题的最优解为Y=（0，－2），求原问题的最优解。【解】对偶问题是2.2对偶性质Dualproperty第51页，课件共146页，创作于2023年2月解方程组得：x1=－5,x3=－1,所以原问题的最优解为X=（－5，0，－1），最优值Z=－12。因为y2≠0，所以原问题第二个松弛变量=0，则y1=0、y2=2知，松弛变量故x2=0，则原问题的约束条件为线性方程组：2.2对偶性质Dualproperty第52页，课件共146页，创作于2023年2月【例2-6】证明下列线性规划无最优解：【证】容易看出X=（4，0，0）是一可行解，故问题可行。对偶问题将三个约束的两端分别相加得而第二个约束有y2≥1，矛盾，故对偶问题无可行解，因而原问题具有无界解，即无最优解。

2.2对偶性质Dualproperty第53页，课件共146页，创作于2023年2月【例2-7】线性规划（1）用单纯形法求最优解；（2）写出每步迭代对应对偶问题的基本解；（3）从最优表中写出对偶问题的最优解；（4）用公式Y=CBB-1求对偶问题的最优解。【解】（1）加入松弛变量x4、x5后，单纯形迭代如表2-2所示。2.2对偶性质Dualproperty第54页，课件共146页，创作于2023年2月XBx1x2x3x4x5b表（1）x4x5[2]1－102410012→4λj6↑－2100表（2）x1x510－1/2[1/2]131/2－1/20113→λj01↑－5－30表（3）x1x21001460－11246λj00－11－2－2表2-22.2对偶性质Dualproperty第55页，课件共146页，创作于2023年2月最优解X=（4，6，0），最优值Z=6×4－2×6=12；（2）设对偶变量为y1、y2,松弛变量为y3、y4、y5,Y=（y1、y2、y3、y4、y5），由性质6得到对偶问题的基本解（y1、y2、y3、y4、y5）

=（－λ4，－λ5，－λ1，－λ2，－λ3），即表2－2（1）中λ=（6，－2，1，0，0），则Y（1）=（0，0，-6，2，－1）表2－2（2）中λ=（0，1，－5，－3，0），则Y（2）=（3，0，0，－1，5）表2－2（3）中λ=（0，0，－11，－2，－2），则Y（3）=（2，2，0，0，11）2.2对偶性质Dualproperty第56页，课件共146页，创作于2023年2月（3）因为表2－2（3）为最优解，故

Y（3）=（2，2，0，0，11）为对偶问题最优解；（4）表2－2（3）中的最优基

B-1为表2－2（3）中x4，x5两列的系数，即CB=（6，－2），因而2.2对偶性质Dualproperty第57页，课件共146页，创作于2023年2月已知线性规划问题:其对偶问题的最优解。试用互补松弛定理找出原问题的最优解。解：原问题的对偶问题为：由对偶问题最优解可知，由互补松弛定理，解方程组所以原问题最优解第58页，课件共146页，创作于2023年2月本节您学了六个对偶性质；这些性质是研究原问题与对偶问题解的对应关系；表2－6也许对您了解这些性质有帮助。表2－6一个问题max另一个问题min有最优解有最优解性质4无无最优解无最优解性质4最优无界解（有可行解）无可行解性质2解无可行解无界解（有可行解）应用已知最优解通过解方程求最优解性质5已知检验数检验数乘以－1求得基本解性质62.2对偶性质Dualproperty第59页，课件共146页，创作于2023年2月返回结束对偶问题的基本性质第60页，课件共146页，创作于2023年2月

假设计划期内甲乙两种产品各生产吨，设备每吨产品的加工台时可供台时数甲乙ABC359448364076利润（元/吨）3230用图解法或单纯形法可求得最优解

(元)

即在计划期内甲产品生产吨，乙产品生产8吨，可以使总利润达到最大，为元。例１：对偶最优解的经济解释—影子价格

第61页，课件共146页，创作于2023年2月第62页，课件共146页，创作于2023年2月

由强对偶定理可知，如果原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且它们的目标函数值相等，即有：其中是线性规划原问题约束条件的右端数据向量，它代表各种资源的拥有量。为对偶问题最优解，它代表在资源最优利用条件下对各种单位资源的估价，这种估计不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中所作出的贡献（如创造利润，产值等）而作出估价，为区别起见，称之为影子价格(shadowprice)。第63页，课件共146页，创作于2023年2月

影子价格的大小客观地反映了各种不同资源在系统内的稀缺程度。如果第i种资源供大于求，即在达到最优解时，该种资源没有用完，或松弛变量，由互补松弛定理，在对偶最优解中，第i种资源的影子价格。反之如果第i种资源的影子价格，那么由互补松弛定理，原问题的第i个约束为严格等式，即，这表明第i种资源已经用完，成为稀缺资源。

资源的影子价格同时也是一种机会成本，在市场经济的条件下，当某种资源的市场价格低于影子价格时，企业应买进这种资源用于扩大生产；相反当某种资源的市场价格高于影子价格时，企业应卖出这种资源。随着资源的买进卖出，企业资源的影子价格也将随之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。

第64页，课件共146页，创作于2023年2月设备每吨产品的加工台时可供台时数甲乙ABC359448364076利润（元/吨）3230例１：对偶最优解其中为设备A的影子价格，在资源最优利用的条件下，设备A每增加一个单位台时，可以使总利润增加元。若设备Ａ可供台时数＝３７，则第65页，课件共146页，创作于2023年2月返回结束影子价格第66页，课件共146页，创作于2023年2月2.1.4对偶单纯形法

对偶单纯形法的基本思路对偶单纯形法的计算步骤返回继续第67页，课件共146页，创作于2023年2月对偶单纯形法的基本思路单纯形法的基本思路：原问题基可行解最优解判断对偶问题的可行解对偶问题最优解判断对偶单纯形法基本思路第68页，课件共146页，创作于2023年2月对偶单纯形法的计算步骤线性规划问题不妨设为对偶问题的初始可行基，则。若，即表中原问题和对偶问题均为最优解，否则换基。第69页，课件共146页，创作于2023年2月换基方法：确定换出基变量

对应变量为换出基的变量确定换入基变量为主元素，为换入基变量第70页，课件共146页，创作于2023年2月初始可行基例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：对偶问题的初始可行基第71页，课件共146页，创作于2023年2月例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：使对偶问题基变量可行,换出

换出换出第72页，课件共146页，创作于2023年2月例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：第73页，课件共146页，创作于2023年2月最优解例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：第74页，课件共146页，创作于2023年2月2.5对偶单纯形法由于单纯表中同时反映原问题与对偶问题的最优解，故可以从求对偶问题最优解角度求解LP模型。例：

minz=2x1+3x2maxz'=-2x1-3x2+0x3+0x4 s.tx1+x2

3标准化s.tx1+x2-x3=3 x1+2x2

4

x1+2x2-x4=4 x1

0,x2

0 xj

0,(j=1,2,3,4)

maxz'=-2x1-3x2+0x3+0x4

s.t-x1-x2+x3=-3

-x1-2x2+x4=-4 xj

0,(j=1,2,3,4)2006/3--第2章对偶问题--第75页，课件共146页，创作于2023年2月Cj→x1x2x3x4XBbCB-1 -1 1 0-1 -2 01-2 -3 0 0-3-4x3x400cj-zj-2-300-1/2 0 1 -1/21/2 1 0-1/2x3x2-12cj-zj-1/2 00-3/2

0-31 0 -2 10 1 1-1x1x221cj-zj0 0 -1 -1-2-3列单纯表计算：2006/3--第2章对偶问题--第76页，课件共146页，创作于2023年2月对偶单纯形法步骤：1.列初始单纯形表，使得所有检验数

j0

；2.出基变量：取min{bi<0

}=bl

→x(l) 3.入基变量：min{——|alk<0}=→xk 4.主元素：[alk]5.迭代：同单纯形法，新单纯表中pk化为单位向量cj-zjalj说明：10使用对偶单纯形法时，初始表中检验数必须全部为

j

0，即使得其对偶问题为可行解，20为便于说明，这里采取从原问题角度叙述迭代步骤。2006/3--第2章对偶问题--第77页，课件共146页，创作于2023年2月【例2-8】用对偶单纯形法求解【解】先将约束不等式化为等式，再两边同乘以（－1），得到x4、x5为基变量，用对偶单纯形法，迭代过程如表2-7所示。2.3对偶单纯形法DualSimplexMethod第78页，课件共146页，创作于2023年2月XBx1x2x3x4x5b表(1)x4x5-1-1[-1]1-141001－5→－3λj41↑300表（2）x2x51[-2]1013-11015－8→λj3↑0210表（3）x2x101105/2-3/2-1/2-1/21/2－1/214λj0013/25/23/2表2-72.3对偶单纯形法DualSimplexMethod最优解：X＝(4，1，0)T；Z=17第79页，课件共146页，创作于2023年2月应当注意：（1）用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对偶问题的最优解；（2）初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别准则；（3）最小比值中的绝对值是使得比值非负，在极小化问题时λj≥0，分母aij<0这时必须取绝对值。在极大化问题中，λ≤j0分母aij<0，总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成这里λj≤0在求θk时就可以不带绝对值符号。2.3对偶单纯形法DualSimplexMethod第80页，课件共146页，创作于2023年2月（6）对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循规则，任选一个小于零的bi对应的基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样．

（4）对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变量；（5）普通单纯形法的最小比值是其目的是保证下一个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行；2.3对偶单纯形法DualSimplexMethod第81页，课件共146页，创作于2023年2月【例2-9】用对偶单纯形法求解【解】取x3、x4为初始基变量，用对偶单纯形法迭代如表2-8所示。表2－8XBx1x2x3x4

b表（1）x3x42－1[－1]21001－2→－2λj－7－3↑00

表（2）x2x4－2310－12012－6λj－130－30

第二张表中x4=－6<0且第二行的系数全部大于等于零，说明原问题无可行解。2.3对偶单纯形法DualSimplexMethod第82页，课件共146页，创作于2023年2月例2-9可用性质2.6及性质2.2来说明，表（2）的第2行对应于对偶问题的第2列（相差一个负号），检验数行对应于对偶问题的常数项（相差一个负号），比值对应于对偶问题的比值失效，也说明即对偶问题具有无界解，由性质2.2知原问题无可行解．2.3对偶单纯形法DualSimplexMethod第83页，课件共146页，创作于2023年2月本节利用对偶性质6：原问题的检验数与对偶问题的基本解的对应关系，介绍了一种特殊线性规划的求解方法—对偶单纯形法。1.对偶单纯形法的应用条件；2.出基与进基的顺序；3.如何求最小比值；4.最优解、无可行解的判断。2.3对偶单纯形法DualSimplexMethod下一节：灵敏度分析与参数分析第84页，课件共146页，创作于2023年2月对偶单纯形法的优点：不需要人工变量；当变量多于约束时，用对偶单纯形法可减少迭代次数；在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法处理简化。对偶单纯形法缺点：在初始单纯形表中对偶问题是基可行解，这点对多数线性规划问题很难做到。因此，对偶单纯形法一般不单独使用。第85页，课件共146页，创作于2023年2月练习用对偶单纯形法求解线性规划问题：第86页，课件共146页，创作于2023年2月返回结束

对偶单纯形法第87页，课件共146页，创作于2023年2月2.2.1灵敏度问题及其图解法灵敏度问题灵敏度分析——图解法第88页，课件共146页，创作于2023年2月

灵敏度问题背景：线性规划问题中，都是常数，但这些系数是估计值和预测值。市场的变化值变化；工艺的变化值变化；资源的变化值变化。第89页，课件共146页，创作于2023年2月问题：当这些系数中的一个或多个发生变化时，原最优解会怎样变化？当这些系数在什么范围内变化时，原最优解仍保持不变？若最优解发生变化，如何用最简单的方法找到现行的最优解？第90页，课件共146页，创作于2023年2月研究内容：

研究线性规划中，的变化对最优解的影响。研究方法：图解法对偶理论分析仅适用于含2个变量的线性规划问题在单纯形表中进行分析第91页，课件共146页，创作于2023年2月

MaxZ=34x1+40x24x1+6x2

482x1+2x2

182x1+x2

16x1、x2

0线性规划模型灵敏度分析——图解法

第92页，课件共146页，创作于2023年2月x218—16—14—12—10—8—6—4—2—0| | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18x14x1+6x2

482x1+2x2

182x1+x2

16ABCDE(8,0)(0,6.8)最优解(3,6)4x1+6x2=482x1+2x2=18灵敏度分析——图解法

第93页，课件共146页，创作于2023年2月灵敏度分析—图解法

18—16—14—12—10—8—6—4—2—0| | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18x14x1+6x2

482x1+2x2

182x1+x2

16ABCDE目标函数的系数 34x1 + 40x2 =Z 40x2 = -34x1 + Z x2 =- + 34x1

Z 40 40第94页，课件共146页，创作于2023年2月灵敏度分析—图解法

18—16—14—12—10—8—6—4—2—0| | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18x14x1+6x2

482x1+2x2

182x1+x2

16ABCDE目标函数的系数 34x1 + 40x2 =Z 40x2 = -34x1 + Z x2 =- +

c1x1

Z

c2

c2若c1增加（c2不变）新的最优解第95页，课件共146页，创作于2023年2月灵敏度分析—图解法

18—16—14—12—10—8—6—4—2—0| | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18x14x1+6x2

482x1+2x2

182x1+x2

16ABCDE目标函数的系数 34x1 + 40x2 =Z 40x2 = -34x1 + Z x2 =- +

c1x1

Z

c2

c2若c1减少新的最优解第96页，课件共146页，创作于2023年2月18—16—14—12—10—8—6—4—2—0| | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18x14x1+6x2

482x1+2x2

182x1+x2

16ABCDE(斜率=-1)(斜率=-2/3)

灵敏度分析—图解法

最优解不变的范围（设c1固定c2可变）第97页，课件共146页，创作于2023年2月2.2.1灵敏度问题及其图解法结束第98页，课件共146页，创作于2023年2月2.2.2灵敏度分析一、分析的变化二、分析的变化三、增加一个变量的分析四、增加一个约束条件的分析五、分析的变化第99页，课件共146页，创作于2023年2月研究内容：

研究线性规划中，的变化对最优解的影响。常用公式：第100页，课件共146页，创作于2023年2月实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A

设备B调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD第101页，课件共146页，创作于2023年2月如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––第102页，课件共146页，创作于2023年2月原问题最优解对偶问题最优解（相差负号）原问题的最终单纯形表：第103页，课件共146页，创作于2023年2月一、分析的变化

的变化仅影响的变化。设备A

设备B调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD1.52问题1：当该公司最优生产计划有何变化？第104页，课件共146页，创作于2023年2月最终单纯形表0×5/41.5×1/4+2×（-1/4）-1/80-（-1/8）=第105页，课件共146页，创作于2023年2月最终单纯形表第106页，课件共146页，创作于2023年2月换基后单纯形表为最优解第107页，课件共146页，创作于2023年2月问题2：设产品II利润为，求原最优解不变时的范围。

的变化仅影响的变化；在最后一张单纯形表中求出变化的；原最优解不变，即；由上述不等式可求出的范围。方法：第108页，课件共146页，创作于2023年2月即产品II利润为时的最终单纯形表第109页，课件共146页，创作于2023年2月二、分析的变化

的变化仅影响，即原最优解的可行性可能会变化：可行性不变，则原最优解不变。可行性改变，则原最优解改变，用对偶单纯形法，找出最优解。第110页，课件共146页，创作于2023年2月问题3：设备B的能力增加到32小时，

原最优计划有何变化？第111页，课件共146页，创作于2023年2月代入单纯形表中可行性改变，用对偶单纯形法换基求解。主元第112页，课件共146页，创作于2023年2月新的最优解换基迭代得：第113页，课件共146页，创作于2023年2月问题4：设调试工序可用时间为小时，求，原最优解保持不变。原最优解保持不变，则第114页，课件共146页，创作于2023年2月三、增加一个变量的分析增加一个变量相当于增加一种产品。分析步骤：1、计算2、计算3、若，原最优解不变；若，则按单纯形表继续迭代计算找出最优解。第115页，课件共146页，创作于2023年2月问题5：设生产第三种产品，产量为件，

对应的求最优生产计划。解：第116页，课件共146页，创作于2023年2月代入最终原单纯形表中主元第117页，课件共146页，创作于2023年2月换基后有：第118页，课件共146页，创作于2023年2月四、增加一个约束条件的分析

增加一个约束条件相当于增添一道工序。分析方法：将最优解代入新的约束中（1）若满足要求，则原最优解不变；（2）若不满足要求，则原最优解改变，将新增的约束条件添入最终的单纯形表中继续分析。第119页，课件共146页，创作于2023年2月五、分析的变化若对应的变量为基变量，B将改变。需引入人工变量求出可行解，再用单纯形法求解。若对应的变量为非基变量，参见三的分析。第120页，课件共146页，创作于2023年2月灵敏度分析的步骤归纳如下：（1）将参数的改变计算反映到最终单纯形表上；（2）检查原问题是否仍为可行解；（3）检查对偶问题是否仍为可行解；（4）按下表所列情况得出结论和决定继续计算的步骤。第121页，课件共146页，创作于2023年2月原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解问题的最优解或最优基不变可行解非可行解用单纯形法继续迭代非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭代非可行解非可行解编制新的单纯形表重新计算总之第122页，课件共146页，创作于2023年2月练习：

某厂计划生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品单位利润及生产产品所需材料、劳动力如下表：单位产品甲乙丙可使用资源量劳动力1/31/31/31材料1/34/37/33利润（元）231

第123页，课件共146页，创作于2023年2月（1）确定最优的生产方案；（2）当增大至多少时，丙产品安排生产；（3）增加3个劳动力，最优解是否改变？（4）劳动力在哪个范围内变化，对利润值的改变有利；（5）增加新的产品丁，需1个劳动力，1个单位原料，利