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文档简介

极坐标系下二重积分计算

二、二重积分极坐标转化及计算一、极坐标与直角坐标系关系1/18什么是极坐标?在平面内取一个定点O，引一条射线OX，这么就建立了一个极坐标系。叫做极点。叫做极轴,对于平面内任一点M,记|OM|=r,XOr

M（r，

）就叫做点M极坐标。∠XOM=

,平面上任一点（r，

）2/18一、极坐标与直角坐标系关系两坐标系中变量间关系：3/18设积分区域D为平面有界区域,而且从原点发出射线与D边界限交点不多于两个,则区域D被分割情形见下列图.二重积分中被积函数求极坐标下积分元素表示方法。二、二重积分极坐标转化及计算1、二重积分极坐标转化4/18图中分割其中一小块面积为略去高阶无穷小

则有

r

r

,故d=rdrd

.于是,二重积分5/18二、极坐标系下二重积分化为累次积分三种情形1、区域特征如图D：6/182、区域特征如图D：7/18极坐标系下区域面积3、区域特征如图8/18例1将化为在极坐标系下二次积分。1）4）2）3）9/181）解：在极坐标系中，闭区域D可表示为10/182）在极坐标系中，闭区域D可表示为11/183）在极坐标系中，闭区域D可表示为12/184）在极坐标系中，闭区域D可表示为13/18例2求D:x2+y2

R2

(R>0).解在极坐标下D:0

r

R,0

2.利用极坐标计算二重积分14/18例3求D:x2+y2

2ax(a>0).

解积分区域D如图,在极坐标下D:0

r2acos

,15/18

例4求(a>0).解积分区域D见图,采取极坐标计算,原式=y=xx2+y2=2ay16/18例5求值.

解考虑区域D:0

x+,0y+,记故17/18小

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